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VEERAVRRK ==−+=−== 2550, Ω 55010501025, VVERAV =−=−+==−+⋅⋅⋅=− VERA +=

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Academic year: 2021

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(1)

ESERCIZIO E1:

Il diodo D1 nel circuito della figura 1 è ideale. La sorgente EO genera un segnale a gradino di ampiezza 5V (EO = 0V quando t≤≤≤≤0 ed EO =5V quando t>0). Si desidera determinare la tensione del terminale Z nell’istante di tempo t=0s, supponendo che il circuito sia a regime (3 punti).Si determini la tensione del terminale Z quando t>0 (6 punti). Si tracci il diagramma della corrente ID che scorre attraverso il diodo D1(1 punto). Si conosce: AO=50µµµµA;

VDD =10V; R1=5KΩΩ; R2=50KΩΩΩΩ; C1=10nF. (Appello −−−− 10 febbraio 2009)

Si tratta di un circuito con il diodo D1, supposto ideale, alimentato da un segnale in tensione che si presenta come un gradino di ampiezza E0 = 5V per t > 0.

Per il diodo D1 si richiede l’utilizzo del modello lineare a tratti di prima specie con i due tratti di caratteristica fra loro perpendicolari ed intersecantesi nell’origine degli assi coordinati VAK, ID. In sostanza si considera nulla tanto la tensione di soglia Vγγγγ, quanto la tensione di conduzione VDON =0,7V del diodo. Una strategia di analisi iniziale del circuito, così come esplicitato dalla traccia, è quella di ritenere che la rete nella condizione di regime relativa allo istante t=0s sia caratterizzata, contemporaneamente, dal diodo D1 posto nello stato di interdizione e verificare se la configurazione circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con l’ipotesi formulata. In questa ottica la rete da analizzare è mostrata nella figura 1a in cui il condensatore supposto carico a regime ed il diodo D1 interdetto sono modellati, rispettivamente, come bipoli circuito aperto e il generatore indipendente di tensione a gradino presenta EO = 0V.

In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si evincecheVZ =−−−−VC1,laresistenzaR2 è percorsa dalla corrente AO del generatore indipendente e che l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni all’unica maglia chiusa presente nella rete consente di relazionare come segue:

V

Z

+ E

1

= R A

2 O , da cui si ottiene:

V V E R A

V

Z

= −

C

= − +

O

=

= − + ⋅ ⋅ ⋅

= −

1 1 2

3 6

5 50 10 50 10 2 5 ,

Poiché VZ=VA1K1=−−−−2,5V viene confermata la effettiva condizione di interdizione del diodo D1. Si osservi, poi, che la parte di circuito racchiuso nel rettangolo bleu, attesa la sua caratteristica di linearità, ammette l’equivalente Thevenin mostrato infigura1c.La comparazionefra la figure1b e la figura1c mostra chiaramenteleseguentiposizioni:

V

Z

= E

TH

= − E

1

+ R A

2 O

= − 2 5 , V R

TH

= R

2

= 50 K

C1

(figura - 1) R1

R2

++++−−−− D1 −−−−5V

EO

Z +10V

AO

++++−−−−

VC1

(figura - 1b: rete valida a t = 0s) R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

0V

Z

K1

VZ

(figura - 1c: equivalente Thevenin)

−−−−++++

R2

E1

5V

VDD

10V ++++−−−−

AO

ETH

−−−−++++

RTH

ETH

VZ

−−−−++++

VC1

(figura - 1a: rete valida a t = 0s) R1

R2

++++−−−−

E1

5V A1

EO

0V

Z

VDD

10V ++++−−−−

K1

AO

VZ

ID

(2)

Per tanto, all’istante t=0s, la condizione di regime per il circuito di figura 1 si caratterizza tramite le seguenti posizioni:

E

O

= 0 V

;

D

1

= OFF, I

D

= 0 A; V

Z

= −−−−2,5 V e V

C1

(0) = −−−−V

Z

= +2,5 V

. All’istantet=0+ lasorgenteindipendente di tensione EOgenerailgradinod’ampiezza EO=5V ai suoi morsetti; poiché la tensione VC1 ai morsetti del condensatore è una variabile di stato, quindi

funzione temporalmente continua che non può subire istantanee variazioni, consente di esplicitare la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso della rete di figura 1b nella forma seguente:

V

Z

( 0

+

) + V

C1

( 0

+

) − E

O

= 0

, ovvero si ha:

V

Z

( 0

+

) = E

O

V

C1

( 0

+

) = − 5 2 5 , = 2 5 , V

La tensione VZ risente integralmente della variazione introdotta da EO subendo l’intero gradiente associato all’ampiezza del gradino. Inoltre, per ispezione diretta si evince che: VA1=VZ, VK1=0V, da cui VA1K1>0.Il valore positivo di VZ porta il diodo D1 in conduzione e, quindi, modellato dal bipolo corto circuito, così come mostrato nella figura1d.Il condensatoreiniziailtransitoriochecaratterizzal’evoluzione temporale della tensione VC1(t) ai suoi morsetti in ossequio alla scrittura che di seguito si riporta:

v

C

t v

C

v

C

v

C

e

t

1

( ) =

1

( ) [ ∞ −

1

( ) ∞ −

1

( )] 0 ⋅

τ

Neconsegueche,istante per istanteenell’ipotesidisussistenzadellostatodiconduzionedeldiodo D1, devono ritenersi valide le posizioni che a seguire si esplicitano:

v

Z

( ) t = E

O

v

C1

( ) t = E

O

v

C1

( ) ∞ + [ v

C1

( ) ∞ − v

C1

( )] 0 ⋅ e

t τ

i

D

( ) t = v

Z

( ) t R

1

Le reti mostrate in figura 1e ed in figura 1f consentono, rispettivamente, di determinare i valori della tensionevC1(∞∞∞∞)e della costantedi tempo ττττ=C·Req.Tenutipoiinconsiderazioneivaloricalcolati in

precedenzadiRTH =R2 =50KΩΩΩΩediETH =−−−−2,5V,l’applicazionedellaleggedelpartitore resistivo di tensione consente di relazionare come segue:

v E R

R R E V

C O

TH 1 TH

1 1

5 5 2 5

5 50 5 2 5 11

57 5

11 5 2273

( ) ( , ) , ,

∞ = − ,

+ ⋅ = − ⋅ −

+ = + = =

( ) ( )

R V

I R R R R R R

R R K

EQ TX

TX

= =

TH

= = ⋅

+ = ⋅

+ = =

1 1 2 1 2

1 2

5 50 5 50

250 55

50 11 Ω

La costante di tempo che caratterizza il transitorio del condensatore assume il valore fornito da:

τ = C R

1

EQ

= ⋅ 10 10

9

⋅ ( 50 11 10 ) ⋅

3

= ( 500 11 10 ) ⋅

6

= ( 500 11 ) µ s

++++−−−−

(figura - 1d: rete valida a t = 0+) R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

5V

Z

K1

VZ

ID

VC1(0+)

++++−−−−

(figura - 1e: rete valida per t→→→∞→∞∞)∞ R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

5V

Z

K1

VZ

ID

VC1(∞∞∞∞)

(figura - 1f: rete per il calcolo di ττττ) R1

RTH

++++







 A1

Z

K1

VZ

ITX

VTX

(3)

L’andamento temporale della tensione del terminale Z è, pertanto, determinato dalla relazione:

v

Z

( ) t , , e

t

e

t

V

, ,

( )

[ ]

= − +  −

  

  ⋅

− ⋅ ⋅ −

= − + ⋅

5 57 5

11

57 5

11 2 5 2 5

11 30 11

11 500 10 6 22000

i t v t R

v t

e mA

D

Z Z t

( ) ( ) ( ) ,

[ ]

= =

⋅ = − + ⋅

1 3

22000

50 10

2 5 550

30 550

Si osservi che per t→→→→0s, ovvero per t = 0+, istante in cui il generatore EO manifesta la presenza del gradino, si verifica la correttezza del valore precedentemente calcolato di VZ=+2,5V.

Lasituazioneafferentel’evoluzione temporaledivC(t)èrelativaallacondizionespecificaesplicitata dal diodo D in conduzione. Si deve, pertanto, verificare se è possibile che il diodo D si riporti nello stato d’interdizione prima che il condensatore consegua lo stato di regime. Come esplicitato nella figura 1e, il conseguimento del regime del condensatore, attesa la valenza della legge di Kirchhoff delle tensioni, imporrebbe la validità della seguente relazione:

v

Z

( ) t + v

C1

( ) ∞ − E

o

= 0 ⇒ v

Z

( ) t = − v

C1

( ) ∞ + E

o , ovvero:

v

Z

( ) t , , , V

= − 57 5 + = − + = − = − , 11 5 57 5 55

11

2 5

11 0 2273

Questo valore negativo di tensione implica, ovviamente, che il diodo deve di necessità interdirsi e ciò accade all’istante t* allorché si verifica VZ(t*)=0V e, quindi, prima che il condensatore abbia conseguito la nuova condizione di regime. La condizione VZ(t*) = 0V implica la seguente scrittura:

v

Z

( *) t = − v

C

( *) t + E

o

= ⇒ v

C

( *) t = E

o

1

0

1

Ne consegue che:

v

C

t v

C

v

C

v

C

e

t

1

( *) =

1

( ) ∞ − [

1

( ) ∞ −

1

( )] 0 ⋅

*τ , ovvero con le necessarie sostituzioni:

v

C

t e

t

V

1

11 500 10 6

57 5 11

57 5

11 2 5

( *) , ,

,

* ( )

[ ]

= −  −

  

 

− ⋅ ⋅ −

Come di anzi citato, all’istante t* si verifica VZ(t*)=0V, pertanto vale la scrittura che di seguito si riporta:

v

C

t E

o

e e

t t

1

11 500 10 6

11 500 10 6

5 57 5 11

30 11

2 5 11

30

( *) , , 11

* *

= ⇒ = − ⋅

⇒ = ⋅

⋅ − − ⋅

⋅ −

Procedendo con i dovuti passaggi algebrici si perviene alle relazioni seguenti:

2 5 30

11 500 10

2 5 30

5 10

11 2 485 113

11 500 10 6

6

,

4

ln ,

,

* *

= ⇒ − ⋅

*

⋅ = 

  

  ⇒ = ⋅ ≅

− ⋅

⋅ − −

e t

t s

t

µ

Come verifica della correttezza del risultato conseguito si determina l’istante t* ricordando quanto già affermato e precisamente che all’istante t* si verifica VZ(t*)=0V; quindi, si ottiene la scrittura:

v

Z

( *) t , e

t

e

t

*

,

*

= − 2 5 + ⋅

= ⇒ = ⋅

11 30

11

22000

0 2 5 30

22000

da cui, applicando l’operatore logaritmo ad entrambe i membri, si ricava:

( )

ln ,

ln

*

* ,

2 5

30

22000

22000 2 4849

  

  = e

t

⇒ − ⋅ = − t

In conclusione, si perviene alla relazione seguente che conferma quanto in precedenza ottenuto:

(4)

t * = − , s

− 2 4849 ≅

22000 113 µ

All’istante t=t* il diodo D1 si porta nello stato di interdizione; le due reti valide rispettivamente agli istanti t=t* e t→→→→∞∞ sono riportate in figura 1g ed in figura 1h. ∞∞

Il condensatore C1 conseguirà il nuovo stato di regime con una costante di tempo determinata da ττττ2 =C1·RTH, ovvero: ττττ2 = C1·R2 = 10·10−−−−9·50·103 = 500·10−−−−6 = 500 µµµµs = 0,5 ms.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia coinvolgente i generatori EO, ETH il condensatore a regime C1e la resistenza RTH consente di relazionare come segue:

E

TH

+ v

C1

( ) ∞ − E

o

= 0 ⇒ v

C1

( ) ∞ = E

o

E

TH

= − − 5 ( 2 5 , ) = 7 5 , V

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia coinvolgente il generatore EO, il condensatore C1e la tensione VZ(∞) giustifica la relazione che di seguito si riporta:

v

Z

( ) ∞ + v

C

( ) ∞ − E

o

= ⇒ v

Z

( ) ∞ = E

o

v

C

( ) ∞ = − ( , ) = − , V

1

0

1

5 7 5 2 5

Per tutti gli istanti di tempo t tali che t* <t < ∞∞∞, come ∞ mostrato in figura 1g bis, si ottiene:

v

Z

( ) t = E

o

v

C

( ) t

1

v

C

t v

C

v

C

v

C

t e

t t 1

( )

1

( ) [

1

( )

1

( *)]

2

*

= ∞ − ∞ −

− −τ

Sostituendo i valori delle grandezze note, si ottiene:

v

C

t e

t t

1

0,5 10 3

7 5 7 5 5

( ) = , − [ , − ⋅ ]

− −( *) ( ⋅ − )

v

C

t e

t t

V

1

7 5 2 5

2000

( ) = , − , ⋅

⋅ −( *)

[ ]

Atteso quanto ottenuto, si perviene facilmente alla scrittura di seguito esplicitata:

( )

v

Z

( ) t = E

o

v

C

( ) t = − , − , ⋅ e

⋅ −(t t*)

= − , + , ⋅ e

⋅ −(t t*)

[ ] V

1

2000 2000

5 7 5 2 5 2 5 2 5

Al fine di procedere per una adeguata rappresentazione grafica temporale delle grandezze VZ ed ID, come richiesto dalla traccia, si riordinano nel prospetto che segue tutti i valori ad esse relativi.

t ≤≤≤≤ 0 0 ≤≤≤≤ t < (t* = 113 µµµµs) t* ≤≤≤≤ t < ∞ ∞ ∞ I

D

= 0 A I

D

= −−−−(2,5/550)+(30/550) e

-t/ττττ1

[mA] I

D

= 0 A

V

Z

= −−−−2,5 V V

Z

= −−−−(2,5/11)+(30/11)·e

-t/ττττ1

[V] V

Z

= −−−−2,5 +2,5·e

(t*-t)/ττττ2

[V]

Nella figura 1m, viene mostrato l’andamento temporale della tensione vZ(t), presente al terminale Z, che rappresenta una funzione discontinua definita nell’intervallo aperto (t ≤≤≤≤ 0]v(0 < t <+∞∞∞∞).

Nello stesso intervallo in figura 1n è mostrato l’andamento della corrente ID nel diodo D1. ++++−−−−

(figura - 1g: rete valida per t→→→→t*) R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

5V

Z

K1

VZ=0

ID =0 VC1(t*)

++++−−−−

(figura - 1h: rete valida per t→→→∞→∞∞)∞ R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

5V

Z

K1

VZ(∞∞)

ID =0 VC1(∞∞)

++++−−−−

(figura - 1g bis: rete valida per t*<t<∞∞∞∞) R1

RTH

++++−−−−

ETH

A1

EO

5V

Z

K1

VZ(t)

ID=0 VC1(t)

(5)

(figura 1m – Andamento temporale della tensione VZ al morsetto Z)

(figura 1n – Andamento temporale della corrente ID nel diodo D1)

(6)

ESERCIZIO E2:

Si determini il “punto operativo” del circuito di figura 2, sapendo che l’amplificatore operazionale è ideale (7 punti). Si determini la corrente di cross-conduzione dei MOSFET e la potenza dissipata da ciascuno di essi (3 punti). Vengono assegnati i seguenti dati:

VDD =5V; VT= 1V; K= 250µµµµAV−−−−2. (Appello −−−− 10 febbraio 2009)

Si tratta di un circuito che utilizza un amplificatore operazionale con reazione negativa, connesso nella configurazione di amplificatore non invertente noto come inseguitore. Pertanto: VZ = VA.

Poiché l’amplificatore operazionale non può assorbire corrente sia dal morsetto NON invertente, sia dal morsetto invertente, la corrente IDP delMOSa canale P e la corrente IDN del MOS a canale N dovranno essere uguali, cioè IDN =IDP. Inoltre dallo esamedellafigura2 si evince cheVA =VGSN =VDSN =VZ eche, pertanto, VDSN >(VGSN −−−−VT), ovvero il MOS a canale N risulta acceso ed opera in zona di saturazione. Da quanto asserito si deduce che anche per il MOS a canale P valgono le relazioni che di seguito si esplicitano:

V

SGP

= V

DD

−−−− V

GSN

V

SDP

= V

DD

−−−− V

DSN

Poiché si è già constatato che VGSN=VDSN, consegue, pertanto, che è valida anche la posizione seguente: VSGP = VSDP.

PoichéidueMOS presentano le stesse caratteristicheinquanto hanno lo stesso K=250µµµµAV−−−−2 e la stessa tensione di soglia



VT=1V, dovranno avere la stessa tensione fra gate e source.

Ciò implica che i due MOS presentano lo stesso punto di riposo. Infatti, si verifica quanto segue:

V

DD

= V

SGP

+ V

GSN

⇒ ⇒ ⇒ V

GSN

= V

SGP

= (V

DD

/2) = (5/2) = 2,5 V

La corrente IDN = IDP, rispettivamente, del MOS a canale N e del MOS a canale P, che in siffatto contesto definisce la corrente di cross-conduzione, è determinata dalla relazione seguente:

I

DN

= I

DP

= ⋅ K ( V

GS N

V

T

)

2

= 250 10 ⋅

6

⋅ ( , 2 5 1 − )

2

= 250 10 ⋅

6

⋅ 1 5 ,

2

ovvero:

I

DN

= I

DP

= 250 10 ⋅

6

⋅ 2 25 , = 562 5 10 , ⋅

6

= 562 5 , µ A

Il MOS a canale N ed il MOS a canale P operano in zona di saturazione ed il loro punto di riposo è determinato dai seguenti valori:

MOS a canale N

V

GS

= 2,5 V V

DS

= 2,5 V I

DN

= 562,5 µµµµA

MOS a canale P

V

SG

= 2,5 V V

SD

= 2,5 V I

DP

= 562,5 µµµµA

La potenza dissipata da ciascuno dei due MOS, in tale condizione di funzionamento, è determinata dalle relazioni di seguito esplicitate:

P

MOS N

= V

DS N DS N

I = 2 5 562 5 10 , ⋅ , ⋅

6

= 1 40625 , mW P

MOS P

= V

SDP SDP

I = 2 5 562 5 10 , ⋅ , ⋅

6

= 1 40625 , mW

ESERCIZIO E3:

Le porte logiche del circuito di figura 3 sono alimentate a 2V e sono ideali a menodelritardodipropagazionedegliINVERTERcheèpariatd =1ns. I segnali AeB sono onde quadre ideali di periodo TO =50ns e di ampiezza VP =2V. Il duty-cycle dell’onda A è 0.5, mentre quello dell’onda B è 0,1. Si determinino gli andamenti analitici delle tensioni X, Y e Z

(6 punti). Si tracci poi il diagramma in funzione del tempo delle tre tensioni X, Y e Z (2 punti). Si determini la potenza dissipata dalla porta NAND trascurando l’eventuale fenomeno di cross- conduzione (2 punti). Sono noti: R1=1KΩΩΩΩ; R2=1KΩΩ; CΩΩ 1=6pF; C2=7pF;C3=1pF.

(Appello −−−− 10 febbraio 2009)

La struttura circuitale della figura 3 utilizza due porte logiche NOT, dotate ciascuna del ritardo di (figura - 2)

++++

−−−−

VDD

MP

MN

A Z

(7)

propagazione pari a td =1ns, e l’operatore “universale” o “funzionalmente completo” NAND; si tratta, infatti, di una porta logica adue ingressi avente funzione costitutiva espressa dalla tabella di verità mostrata in figura 3a e che consente la lettura operativa che di seguito si esplicita:

quando la porta NAND riceve agli ingressi lo stesso stato logico, allora l’uscita assume lo stato logico corrispondente alla complementazione logica degli ingressi (1ª e 4ª riga della true table);

quando uno dei due ingressi della porta NAND si trova a stato logico zero (0L), allora l’uscita si porta allo stato logico uno (1L) qualunque sia lo stato logico dell’altro ingresso (1ª e 2ª riga della tabella di verità);

quando uno dei due ingressi della porta NAND assume lo stato logico uno (1L), allora lo stato logico dell’uscita coincide con la complementazione logica dello stato logico caratterizzante il secondo ingresso (3ª e 4ª riga della tabella di verità);

Atteso quanto premesso, si deve determinare l’evoluzione temporale ed il conseguente stato logico dei segnali richiesti dalla traccia ai morsetti X, Y e Z.

L’onda quadra ideale afferente l’ingresso A presenta un duty-cycle del 50% per cui la durata del livello alto A=1L→→→ VA =2V è valutata in TAH =25ns, mentre l’onda quadra ideale relativa allo ingresso B, presentando un duty-cycle del 10%, si caratterizza per la durata del livello alto B=1L

VB =2V pari a TBH = 5 ns. Le forme d’onda dei segnali VA e VB sono mostrati, anche se non in scala, nella figura 3b.

Per ispezione diretta si evince che le tensioni vX(t) e vY(t) agli ingressi X e Y assumono valori temporali analogici caratteristici tipici di una rete RC di tipo passa basso. Per tanto, l’evoluzione temporale delle tensioni ai morsetti dei condensatori C1 e C2 resta univocamente determinata dalla relazione costitutiva seguente:

v

c

( ) t = v

c

( ) [ ∞ − v

c

( ) ∞ − v

c

( )] t

o

e

− −(t to) τ

Poiché ciascuno degli operatori NOT forza un ritardo di propagazione dei rispettivi ingressi pari a td =1ns, si deduce che l’onda quadra relativa all’ingresso A verrà trasferita e, quindi, sarà presente al morsetto d’uscita A* del secondo operatore logico NOT, in ritardo di un tempo dato da TD =2·td =2ns, così come evidenziato nella figura 3b.

Tabella di verità

X Y XY

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

(figura – 3a)

V

A

*

2ns

t

2V

V

A

25ns 25ns

t

2V

C1 Z X

R2

R1

C3

Y C2

A

B

(figura - 3)

(8)

All’istante t=0−−−− gli ingressi AeB sitrovano,datempo,entrambiallostatologico basso, cioè A=0L

e B = 0L, con i condensatori C1 e C2 ipotizzati inizialmente scarichi, pertanto: vC1(0)=0V, a cui corrisponde X=0L e,parimenti, vC2(0)=0V,acuicorrisponde Y=0L.Conseguentemente siottiene:

Z = X • = Y 0 • = = 0 0 1

All’istante t=0 i due ingressi A e B si portano contemporaneamente allo stato logico alto, ovvero A=B=1L; il condensatore C2 da subito inizia il transitorio di carica regolatodallacostanteditempo ττττ2= C2·R2 ed espresso dalla relazione di seguito richiamata:

v

c

t v

c

v

c

v

c

e

t

e

t

2 2 2 2

2 7 10 9

0 2 2

( ) = ( ) ∞ − [ ( ) ∞ − ( )] ⋅

τ

= − ⋅

( ⋅ − )

in cui si è posto, con ovvietà, i seguenti valori:

v

c

V

BH

V v

c

V C R ns

2 2 2 2 2 3 12

2 0 0 7 10 10 7

( ) ∞ = = ; ( ) = ; τ = = ⋅ ⋅

=

Il transitorio di carica relativo al condensatore C1, dato che ogni porta NOT è affetta dal ritardo tD =1ns, ha inizio a TD =2ns dopo, è regolato dalla costante di tempo ττττ1 =C1·R1 e resta espresso dalla relazione seguente:

v

c

t v

c

v

c

v

c

e

t TD

e

t TD

1 1 1 1 1 6 10 9

0 2 2

( ) = ( ) ∞ − [ ( ) ∞ − ( )] ⋅

− −( ) τ

= − ⋅

− −( ) ( ⋅ − )

in cui si è posto, con ovvietà i seguenti valori:

v

c

V

AH

V v

c

v

c

T

D

V

1

( ) ∞ = = 2 ;

1

( ) 0 =

1

( ) = 0 τ

1

= C R

1 1

= ⋅ 6 10

3

⋅ 10

12

= ⋅ 6 10

9

= 6 ns

Le tensioni vC1(t) e vC2(t) evolvono nel tempo onde perseguire lo stato di regime corrispondente ad un valore di tensione di 2 V. Tuttavia, quando all’istante tββββ la tensione vC2(tββββ) raggiunge il valore vC2(tββββ)=1V,corrispondentealla tensionediscatto,laportaNANDsente che l’ingressoYhaassunto lostatologicoY=1L. La determinazione dell’intervalloditempo(tββββ -0)=tββββ impiegatodall’ingresso Y per passare dallo stato logico Y=0L allo stato logico Y=1L è affidato alla relazione seguente:

v

c

t e

t

e

t

e

t

2

2 2 2

2 1 1 2 2 1 2

(

β

) = ⋅ − (

β τ

) ⇒ = − ⋅

β τ

⇒ = ⋅

β τ

dalla quale si evince quanto si riporta:

e

tβ τ2

= 2 ⇒ t

β

= τ

2

⋅ log 2 ⇒ t

β

≅ ⋅ 7 10

9

⋅ 0 693147 , = 4 852 , ns

Poiché l’ingresso B è un’onda quadra caratterizzata da TBH = 5ns, risulta che TBH >tββββ e, per tanto, si conclude che per l’ingresso Y è consentita la commutazione dallo stato logico Y=0L allo stato logico Y=1L.

All’istante t=TBH =5ns la tensione vC2(t) ai morsettidelcondensatoreC2ha conseguito il valore dato dalla scrittura seguente:

v

c

T

BH

e

TBH

e V

2

2 5 7

2 1 2 1 2 1 0 48954 1 0209

( ) = ⋅ − (

τ

) = ⋅ − (

) ≅ ⋅ − ( , ) = ,

Quando all’istante t=tαααα la tensione vC1(t) ai morsetti del condensatore C1 ha raggiunto il valore vC1(tαααα) =1V, a cui corrisponde la tensione di scatto, la porta logica NAND sente che l’ingresso X ha raggiunto lo stato logico X=1L. La determinazione dell’intervallo di tempo (tααα α−−−−TD) impegnato

V

B

t

5ns

45ns 2V

(figura – 3b)

(9)

dall’ingresso X per commutare dallo stato logico X=0L allo stato logico X=1L è stabilito dalla relazione che di seguito si riporta:

v

c

t e

t TD

e

t TD

1

(

α

) = ⋅ − 2 1 [

( α ) τ1

] ⇒ 1 = − ⋅ 2 2

( α ) τ1 , ovvero:

2 log )

( 2

1 = ⋅ e

(tαTD)τ1

t

α

T

D

= τ

1

, da cui si deduce che:

( t

α

T

D

) 0 693147 6 10 , ⋅ ⋅

9

= 4 158883 , ns

In conclusione, si perviene al valore

t

αααα

= (t

αααα

- T

D

) + T

D

= 4,158883 + 2 = 6,158883 ns

.

IlcondensatoreC1prosegueiltransitoriodicaricafinoall’istante

t

εεεεincui,tenutocontodeltempo TD di propagazione delle due porte NOT, ha termine l’impulso relativo al segnale all’ingresso A.

Poiché TA*H =(tεεεε -TD)=25ns>4ττττ1, il condensatore C1tende acaricarsicompletamentee ilvalore della tensione vC1(tεεεε) è definito dalla relazione di seguito esplicitata:

) 1

( 2 ) 1

( 2 ] 1

[ 2 )

(

( ) 1 * 1 25 6

1

− −

= ⋅ − = ⋅ −

= e e e

t

v

c ε tε TD τ TA H τ

Svolgendo i calcoli necessari, si perviene al valore:

v

c1

( ) t

ε

= ⋅ − 2 1 ( e

25 6

) ≅ ⋅ − 2 1 0 155 ( , ) = 1 96899 , V

All’istante t=TBH ha termine l’impulso costituente il segnale all’ingresso B per cui il condensatore C2 inizia il transitorio di scarica governato, sempre, dalla costante di tempo ττττ2 =C2·R2 e con una tensione, caratterizzante la condizione iniziale, vC2(TBH)=1,0209V. L’evoluzione temporale della tensione vC2(t) è definita dalla seguente relazione:

v

c

t v

c

v

c

v

c

T

BH

e

TBH t

2 2 2 2

( ) = ( ) [ ∞ − ( ) ∞ − ( )] ⋅

( ) τ2 , ovvero, sostituendo:

v

c

t e

TBH t

e

TBH t

2

2 2

0 0 1 0209 1 0209

( ) = − ( − , ) ⋅

( ) τ

= , ⋅

( ) τ

All’istante t=tγγγγ la tensione ai morsetti del condensatore C2, nel suo tipico andamento monotono decrescente,assumedinuovoilvalore vC2(tγγγγ)=1V,corrispondentealla tensione di scatto, e la porta NAND sente che l’ingresso Y ha assunto lo stato logico Y = 0L. La determinazione dell’istante tγγγγ a cui afferisce l’evento ora descritto è affidata alla relazione che di seguito si evidenzia:

v

c

t e

TBH t

e

TBH t

2

2 2

1 0209 1 1 0209

( )

γ

= , ⋅

( γ τ)

⇒ = , ⋅

( γ τ) , ovvero:

e

(TBH t )

T

BH

t

, ( ) log

,

= ⇒ − = 

  

 

γ τ2

1

γ

τ

2

1 0209

1

1 0209

, da cui si ottiene:

t

γ

= T

BH

− τ  t

γ

V

  

  ⇒ ≅ ⋅

− ⋅ − =

2

1

9

1 0209 5 10 7 0 0207 5 1449

log , ( , ) ,

Inoltre, si evince che tra gli istanti

t

αααα,

t

ββββ e

t

γγγγ sussiste la seguente relazione:

t

ββββ

< t

γγγγ

< t

αααα.

Il condensatore C2 riesce a scaricarsi completamente, essendo TBL = (TB −−−− TBH) = 45ns >> 5·ττττ2, riportandosi, così, nei confronti di un nuovo impulso sull’ingresso B, nelle stesse condizioni che lo caratterizzavano all’istante iniziale t = 0.

All’istante t=TAH=25ns inizia il semiperiodo caratterizzante il valore VA=0V dell’onda quadra presente all’ingresso A, a cui corrisponde lo stato logico A=0L. Tale situazione si trasferisce alla uscitaA*,avalledelledueporteNOT, con un ritardodi TD=2ns.Pertanto,all’istantetεεεε=TA*H+TD

la tensione ai morsetti della rete R1C1 si porta al valore VA*=0V ed il condensatore C1 inizia il transitorio di scarica partendo dal valore iniziale vC1(tεεεε)=1,96899V. L’evoluzione temporale della tensione vC1(t), relativa al conseguimento del regime vC1(∞∞)=0V, avviene con la costante di tempo ττττ1 = C1R1 ed è governato dalla relazione che di seguito si riporta:

(10)

v t v v v t e

e e

C C C C

t t

t t t t

1 1 1 1

1

1 1

0 0 1 96899 1 96899

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( , ) ,

( )

( ) ( )

= ∞ − ∞ − ⋅ =

= − − ⋅ = ⋅

− −

− −

ε ε τ

ε τ ε τ

All’istante t=tδδδδ la tensione aimorsettidelcondensatore C1,che è unafunzione temporale monotona decrescente, consegue il valore vC1(tδδδδ)=1V, corrispondente alla tensione di scatto, e la porta NAND sente che l’ingresso X ha assunto lo stato logico X=0L. La determinazione dell’istante tδδδδ impiegato dall’ingresso X per passare dallo stato logico X=1L allo stato logico X=0L è affidato alla seguente relazione:

v

C

t e

t t

e

t t

1

1 1

1 96899 1 1 96899

( )

δ

= , ⋅

( ε δ τ )

⇒ = , ⋅

( ε δ τ ) , ovvero:

e

(tε δ τt ) 1

= ( 1 1 96899 , ) ⇒ ( t

ε

t

δ

) = τ

1

log( 1 1 96899 , )

, da cui si ha:

( t

ε

t

δ

) = ⋅ 6 10

9

log( , 0 507874 ) ⇒ ( t

ε

t

δ

) = ⋅ 6 10

9

( 0 67752188 , )

Pertanto, si perviene al seguente risultato:

( t

ε

t

δ

) = − 4 06513 10 ,

9

t

δ

= t

ε

+ 4 06513 10 ,

9 , a cui corrisponde:

t

δ

= t

ε

+ 4 06513 10 ,

9

= 27 10

9

+ 4 06513 10 ,

9

= 31 06513 , ns

Negli istanti successivi a tδδδδ la tensione vC1(t) ai morsetti del condensatore C1 tende a vC1(∞∞∞∞)=0V.

In particolare, all’istante t=TA* =(TA +TD)=52ns viene conseguito il seguente valore:

] 10 6 10 ) 2 50 27 ( [ )

( 1 9 9

1

( T + T ) = 1 , 96899 ⋅ e

= 1 , 96899 ⋅ e

v

C A D tε TA TD τ

V e

T T

v

C

(

A D

) 1 , 96899

256

1 , 96899 0 , 0155 0 , 030527

1

+ = ⋅

= ⋅ =

Il condensatore C1 riesce a scaricarsi completamente, essendo TAL = (TA −−−− TAH) = 25 ns > 4·ττττ1, riportandosi, così, nei confronti di un nuovo impulso sull’ingresso A, nelle stesse condizioni che lo caratterizzavano all’istante iniziale t=0s.

Tempo A

[V]

A*

[V]

B

[V]

v

C1[V]

v

C2[V]

X Y Z

t = 0

−−−−

0 0 0 0 0 0

L

0

L

1

L

0 ≤≤≤≤ t < T

D

2 0 2 0 <1 0

L

0

L

1

L

T

D

≤≤≤≤ t < t

ββββ

2 2 2 <1 <1 0

L

0

L

1

L

t

ββββ

≤≤≤≤ t < T

BH

2 2 2 <1 ≥≥≥≥1 0

L

1

L

1

L

T

BH

≤≤≤≤ t < t

γγγγ

2 2 0 <1 ≥≥≥≥1 0

L

1

L

1

L

t

γγγγ

≤≤≤≤ t < t

αααα

2 2 0 <1 <1 0

L

0

L

1

L

t

αααα

≤≤≤≤ t < t

AH

2 2 0 ≥≥≥≥1 <1 1

L

0

L

1

L

t

AH

≤≤≤≤ t < t

εεεε

0 2 0 >1 <1 1

L

0

L

1

L

t

εεεε

≤≤≤≤ t < t

δδδδ

0 0 0 >1 <1 1

L

0

L

1

L

t

δδδδ

≤≤≤≤ t < T

B

0 0 0 <1 0 0

L

0

L

1

L

Al fine di rendere agevole la costruzione e relativa lettura dei grafici si riportano in ordine tutti i tempi di interesse sia forniti dalla traccia, sia desunti dalla trattazione analitica sopra svolta.

TAH = 25 ns TAL = 25 ns TA = 50 ns Onda quadra ingresso A TA*H = 25 ns TA*L = 25 ns TA* = 50 ns Onda quadra ingresso A*

TBH = 25 ns TBL = 25 ns TB = 50 ns Onda quadra ingresso B

TD=2·td = 2 ns tββββ = 4,852 ns tγγγγ = 5,1449 ns tαααα = 6,15888 ns tεεεε = 52 ns tδδδδ = 31,065 ns In figura 3c e in figura 3d sono mostrati i grafici temporali relativi ai segnali richiesti dalla traccia.

(11)

(figura 3c – Segnali ad Onda quadra degli ingressi A, A* e B)

(figura 3d – Tensione ai morsetti dei condensatori e relativi segnali logici X e Y – Uscita Z)

(12)

In relazione alla richiesta dellatracciarelativaalladeterminazionedellapotenzadissipatadalla porta NAND, trascurando l’eventuale fenomeno di cross-conduzione, si osserva che, come si evince dalla tabella e dai grafici sopra riportati, a causa del ritardo TD=2·td =2ns introdotto dalle due porte NOT gli ingressi logici X e Y afferenti la porta NAND MAI si trovano contemporaneamente allo stato logico alto X=Y=1L; consegue, pertanto, che il segnale di uscita Z della porta logica NAND si trova costantemente allo stato logico alto, ovvero Z=1L, a cui corrisponde.

Tale circostanza rende evidente e necessario assumere che non può sussiste alcuna carica o scarica

“istantanea”da parte del condensatore C3 il quale,sottoposto alla tensionecostante vZ(t)=2V, si comporta da circuito aperto.

Conseguentemente,amenodeifenomenidi“cross-conduzione”chesitrascurano,laportaNAND NON viene attraversata da corrente e ciò attesta che la potenza da essa dissipata è nulla, ovvero:

PNAND =0W.

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