P) uno spazio di probabilità filtrato standard su cui è definito un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0

IV Appello di Analisi Stocastica 2009/10 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

14 settembre 2010 Matricola:

Esercizio 1. Sia (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) uno spazio di probabilità filtrato standard su cui è definito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Supporremo per semplicità che le traiettorie t 7→ B_t(ω) siano continue per ogni (e non solo per quasi ogni) ω ∈ Ω. Definiamo Y_s:= B_s+1− B_s per s ∈ [0, ∞) e introduciamo la variabile aleatoria τ : Ω → [0, +∞] definita da

τ := inf{s ≥ 0 : Y_s= 0} = inf{s ≥ 0 : B_s = B_s+1} . Definiamo quindi le due variabili aleatorie T⁺, T⁻: Ω → N0∪ {+∞} ponendo

T⁺ := inf{n ∈ N0 : Yn> 0} , T⁻ := inf{n ∈ N0 : Yn< 0} , dove N0 := {0, 1, 2, . . .}.

(a) Si mostri che le variabili {Y_n}_n∈N0 sono indipendenti e identicamente distribuite.

(b) Si mostri che P(T⁺= n) = P(T⁻= n) = ₂n+1¹ per ogni n ∈ N0. Si deduca che q.c. T⁺ < ∞ e T⁻< ∞.

(c) (*) Si dimostrino le seguenti inclusioni di eventi:

{T⁺ < ∞, T⁻< ∞} ⊆ [

n,m∈N0, n<m

{Y_n> 0, Y_m< 0 o Y_n< 0, Y_m > 0} , e inoltre, per ogni n, m ∈ N0 con n < m,

{Y_n> 0, Ym < 0 o Yn< 0, Ym> 0} ⊆ {∃s ∈ (n, m) : Ys= 0} ⊆ {τ < ∞} . (d) Si deduca che q.c. τ < ∞.

(e) (*) Si mostri che il processo {X_t:= Bτ +t− B_τ}_t≥0 non è un moto browniano.

[Sugg.: si studi la legge di X_t per un opportuno valore di t.]

(f) Si concluda che τ non è un tempo d’arresto.

Soluzione 1. (a) Per definizione, il moto browniano ha incrementi indipendenti, cioè per ogni N ∈ N le variabili aleatorie {Yn = B_n+1− B_n}_0≤n≤N sono indipendenti. Dato che l’indi- pendenza di una famiglia finita è per definizione l’indipendenza di ogni sottofamiglia finita, segue che le variabili {Y_n}_n∈N0 sono indipendenti. Inoltre, sempre per definizione di moto browniano, B_t− B_s ∼ N (0, t − s) e dunque Y_n = B_n+1− B_n ∼ N (0, 1) per ogni n ∈ N0, quindi le variabili sono anche identicamente distribuite.

(b) Dato che Y_n∼ N (0, 1), si ha P(Y_n> 0) = P(Yn< 0) = ¹₂. Dall’indipendenza delle variabili {Y_n}_n∈N0 si ottiene dunque per ogni n ∈ N0

P(T⁺= n) = P(Y1< 0, . . . , Yn−1< 0, Yn> 0) =

n−1

Y

i=0

P(Yi< 0)

!

P(Yn> 0) =  1 2

n+1

, da cui P(T⁺ < ∞) =P

n∈N0P(T⁺ = n) =P

n∈N0

1

2ⁿ⁺¹ = 1. L’argomento per T⁻ è analogo.

(c) Per definizione di T⁺ e T⁻, se ω ∈ {T⁺< ∞, T⁻< ∞}, ossia se T⁺(ω) < ∞ e T⁺(ω) < ∞, si ha Y_T+(ω)(ω) > 0 e Y_T⁻_(ω)(ω) < 0; in particolare, a seconda che T⁺(ω) < T⁻(ω) o viceversa T⁺(ω) > T⁻(ω), esistono n, m ∈ N0 con n < m tali che Y_n(ω) > 0, Y_m(ω) < 0 oppure Y_n(ω) < 0, Ym(ω) > 0 (basta scegliere n = T^±(ω) e m = T^∓(ω)). Ciò dimostra l’inclusione presente nella prima equazione.

Venendo alla seconda equazione, per ipotesi la funzione s 7→ Y_s(ω) = Bs+1(ω) − Bs(ω) è continua per ogni ω ∈ Ω. Se Y_n(ω) > 0 e Y_m(ω) < 0 (o viceversa Y_n(ω) < 0 e Y_m(ω) > 0),

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segue allora dal teorema degli zeri che ∃s = s(ω) ∈ (n, m) tale che Y_s(ω) = 0. Ciò dimostra la prima inclusione. La seconda inclusione segue immediatamente dalla definizione di τ . (d) Per il punto precedente, {T⁺< ∞, T⁻< ∞} ⊆ {τ < ∞}. Ricordando quanto mostrato al

punto (b), si ottiene 1 = P(T⁺< ∞, T⁻ < ∞) ≤ P(τ < ∞), quindi P(τ < ∞) = 1.

(e) Segue dalla definizione di τ che X₁(ω) = B_{τ (ω)+1}(ω) − B_{τ (ω)}(ω) = 1 per ogni ω ∈ Ω per cui τ (ω) < ∞. Dato che τ < ∞ q.c., si ha dunque X1= 1 q.c.. In particolare, X1 6∼ N (0, 1) e dunque {X_t}_t≥0 non è un moto browniano.

(f) Se τ fosse un tempo d’arresto, per il punto (d) potremmo applicare la proprietà di Markov forte e {X_t}_t≥0sarebbe un moto browniano, in contraddizione con quanto mostrato al punto precedente.

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Esercizio 2. Sia (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) uno spazio di probabilità filtrato standard su cui è defi- nito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:









 dX_t =

s

1 + X_t² 3 + X_t²dB_t X0 = 0

. (?)

(a) Si mostri che, per ogni T > 0, esiste un processo continuo e adattato {X_t}_{t∈[0,T ]} ∈ M²[0, T ] definito su Ω, unico a meno di indistinguibilità, che risolve l’equazione (?).

Supporremo d’ora in avanti che la soluzione X = {X_t}_t∈[0,∞) ∈ M² dell’equazione (?) sia definita per ogni t ∈ [0, ∞). Definiamo la variabile aleatoria

τ := inf{t ≥ 0 : |X_t| ≥ 1} , e introduciamo il processo M = {M_t}_t∈[0,∞) definito da

Mt := X_t² − Z t

0

1 + X_s² 3 + X_s² ds .

(b) Si mostri che M è un processo di Itô e se ne calcoli il differenziale stocastico. Si mostri che M è una martingala (non solo una martingala locale).

(c) Si deduca che per ogni t > 0 vale l’uguaglianza E X_t∧τ²

= E

Z t∧τ 0

1 + X_s² 3 + X_s²ds

 . (d) Si mostri che per ogni t ≥ 0 valgono le disuguaglianze

X_t∧τ² ≤ 1 e

Z t∧τ 0

1 + X_s²

3 + X_s² ds ≥ 1

3(t ∧ τ ) . (e) Si concluda che E(τ ) ≤ 3.

Soluzione 2. (a) La funzione σ(x) :=

q1+x²

3+x² è di classe C¹su tutto R. Dato che limx→±∞σ(x) = 1, segue che σ è limitata. La sua derivata vale

σ⁰(x) = 1 2

r3 + x² 1 + x²

2x(3 + x²) − 2x(1 + x²)

(3 + x²)² = 2x

p(1 + x²)(3 + x²)³.

Dato che σ⁰ è una funzione continua con lim_x→±∞σ⁰(x) = 0, segue che σ⁰ è limitata: esiste L ∈ (0, ∞) tale che |σ⁰(x)| ≤ L per ogni x ∈ R. Per il teorema di Lagrange, se x < y possiamo scrivere σ(y)−σ(x) = σ⁰(ξ)(y−x), per un opportuno ξ ∈ (x, y), quindi |σ(y)−σ(x)| ≤ L|y−x|.

In particolare, sono soddisfatte le ipotesi standard del teorema di esistenza di soluzioni forti e di unicità per traiettorie per equazioni differenziali stocastiche.

(b) M è un processo di Itô perché differenza di due processi di Itô: infatti X_t² è funzione C² del processo di Itô X eRt

0 1+X_s²

3+X_s² ds è un processo a variazione finita. Dato che dhXi_t= ^1+X_3+X^t22 t

dt, dalla formula di Itô si ottiene

dM_t = 2X_tdX_t + dhXi_t − 1 + X_t²

3 + X_t² dt = 2X_t s

1 + X_t²

3 + X_t²dB_t =: ϕ_tdB_t,

da cui segue che M è una martingala locale. Dato che |ϕ_t| ≤ 2|X_t| e sappiamo che X ∈ M², segue che anche {ϕ_t}_t∈[0,∞)∈ M², quindi M è una vera martingala.

Una dimostrazione alternativa è la seguente: dato che la funzione σ(·) è limitata, il processo (progressivamente misurabile) ψ_t := σ(X_t) = p

(1 + X_t²)/(3 + X_t²) è limitato e

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dunque {ψ_t}_t∈[0,∞) ∈ M². Dato che X_t=Rt

0ψsdB_s, per un noto teorema visto a lezione si ha che X è una martingala di quadrato integrabile con variazione quadratica hXi_t=Rt

0ψ_s²ds;

in particolare, il processo X_t²− hXi_t= M_t è una vera martingala.

(c) Dato che M è una martingala e t ∧ τ è un tempo d’arresto (perché?) limitato, per il teorema d’arresto si ha che E(M_t∧τ) = E(M0) per ogni t ≥ 0. Essendo M0 = 0, si ottiene l’uguaglianza cercata.

(d) La prima disuguaglianza è immediata dalla definizione di τ , la seconda segue dal fatto che

1+x²

3+x² ≥ ¹₃ per ogni x ∈ R.

(e) Dai due punti precedenti segue che E(t ∧ τ ) ≤ 3 per ogni t ≥ 0. Passando al limite t → +∞

e usando il teorema di convergenza monotona, si ottiene la conclusione.