Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, ciascuna con distribuzione N (0, 1)

Metodi Statistici per la Biologia Cognome:

Laurea Triennale in Biologia Nome:

24 luglio 2008 Matricola:

Tema A

1. Parte A

1.1. Quattro rilevazioni di una certa variabile danno i seguenti risultati: 0, −3, 1, x, dove x `e un valore incognito. Quale dei seguenti numeri certamente non pu`o essere la mediana?

 0.2

 0

 1

 −1

1.2. Tirando due dadi regolari a sei facce, qual `e la probabilit`a di ottenere due numeri diversi?

 ⁵₆

 ¹₆

 ₃₆⁵

 ²⁵₃₆

1.3. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, ciascuna con distribuzione N (0, 1). Quale delle seguenti variabili `e standardizzata (cio`e ha media zero e varianza uno)?

 X + Y

 ¹₂(X + Y )

 ¹₂(X − Y )

 ^√1₂(X − Y )

1.4. Siano X1, X2, X3, . . . variabili i.i.d. con valore atteso µ. Fissato un arbitrario ε > 0, quale delle seguenti relazioni `e una conseguenza della Legge dei Grandi Numeri?

 limn→∞P ^X1+...+X_n ⁿ < µ + ε
= 1

 limn→∞P ^X1+...+X_n ⁿ > µ − ε
= 0

 limn→∞P

X1+...+X√ n

n < µ

= ¹₂

 limn→∞P (X1+ . . . + Xn− nµ > ε) = 0

1.5. Effettuando un test d’ipotesi di livello di significativit`a α sono sicuro che

 P (accetto H0 quando `e corretta) ≤ α

 P (accetto H0 quando `e sbagliata) ≤ α

 P (rifiuto H0 quando `e corretta) ≤ α

 P (rifiuto H0 quando `e sbagliata) ≥ α

1

1.6. Si vuole capire quale di due farmaci sia pi`u efficace nel diminuire la frequenza cardiaca a riposo. A tal fine si prendono due gruppi distinti di persone e si somministra il primo farmaco agli individui del primo gruppo e il secondo farmaco a quelli del secondo gruppo, misurando la variazione di frequenza cardiaca. Quale test occorre usare per analizzare i dati?

 un test χ² di indipendenza

 un test χ² di adattamento

 un test per il confronto di medie di campioni indipendenti

 un test per il confronto di medie di dati appaiati

1.7. Si vuole stimare la media µ di una variabile con distribuzione normale di varianza in- cognita. Calcolando l’intervallo di confidenza al 95% su un campione di taglia 20, si ottiene I₁ = [4.21, 4.56]. Si ricalcola quindi l’intervallo di confidenza al 95% su un secondo campione, sempre di taglia 20, ottendendo I₂ = [4.59, 4.73]. Da questi dati si pu`o concludere che:

 la media µ `e certamente compresa tra 4.56 e 4.59

 la media µ cade in uno dei due intervalli I1, I₂ con probabilit`a almeno del 10%

 la media µ potrebbe non appartenere a nessuno dei due intervalli I1, I2

 `e stato commesso un errore nelle misurazioni o nei calcoli, perch´e I1 e I₂ non possono essere disgiunti

2. Parte B 2.1. Esercizio 1

La teoria del decadimento radioattivo predice che un certo materiale emetta ogni msec. un numero di particelle radioattive che ha distribuzione P o(1). Inoltre, i numeri di particelle emesse in due intervalli di tempo disgiunti sono variabili aleatorie indipendenti.

a) Qual `e la distribuzione del numero di particelle emesse in un intervallo di 50 msec.?

b) Usando l’approssimazione normale, calcolare approssimativamente la probabilit`a che in un intervallo di 50 msec. vengano emesse pi`u di 55 (> 55) particelle radioattive.

Soluzione.

a) Sia X1, X2, . . . , X50 i numeri di particelle emesse nei 50 intervalli adiacenti di lunghezza 1 msec. che formano il dato intervallo di 50 msec. Le X_i∼ P o(1) e sono indipendenti. Il numero totale di particelle emesse `e X := X₁+ X₂+ · · · + X₅₀∼ P o(50).

b) Usando anche la correzione di continuit`a, posto Z ∼ N (0, 1), P (X > 55) = P (X > 55.5) = P (X − 50

√

50 > 55.5 − 50

√

50 ) ' P (Z > 0.78)

= 1 − P (Z ≤ 0.78) ' 1 − 0.78 = 0.22.

2.2. Esercizio 2

Per accedere alle scuole americane di dottorato `e necessario sostenere il Graduate Record Exam (GRE). In una certa Universit`a si vogliono confrontare i punteggi nel GRE di studenti che hanno terminato il dottorato in meno di 4 anni con quello degli studenti che hanno impiegato pi`u di 4 anni. Viene selezionato un campione casuale di 25 studenti per ognuna delle due categorie. Per il campione di studenti che hanno ottenuto il dottorato in meno di 4 anni, i punteggi nel GRE forniscono una media campionaria di 1056 e una deviazione standard campionaria di 295. Per quelli che hanno impiegato pi`u di 4 anni la media campionaria `e 912 e la deviazione standard campionaria 270. Quali conclusioni si possono trarre da questi dati? (Effettuare un test al 5%;

si assuma la normalit`a della distribuzione del punteggio nel GRE, e l’uguaglianza delle varianze nelle due popolazioni).

Soluzione. Usiamo un test di uguaglianza di medie per campioni normali indipendenti.

sp =

r295²+ 270²

2 ' 282.78.

Come ipotesi nulla scegliamo H₀ : µ_x = µ_y (x = punteggio di uno studente che ha impiegato meno di 4 anni). La statistica test `e

t = 1056 − 912 282.78

q2 25

=' 1.8.

Essendo t48,0.025 ' 2.01, H₀ viene accettata al 5%: a questo livello di significativit`a i dati non dimostrano una differenza significativa nel punteggio medio tra i due gruppi.

2.3. Esercizio 3

In una verifica sugli errori tipografici, vengono contati gli errori per pagina in un’edizione di un libro. Si ottengono i seguenti risultati:

N. errori 0 1 2 3 4 5 6 o pi`u N. di pagine 13 24 31 18 11 3 0

Questi dati sono coerenti con l’ipotesi che il numero di errori per pagina abbia distribuzione di Poisson? (Effettuare un test al 5%).

Soluzione. Effettuiamo un test χ² di buon adattamento. Se x `e il numero di errori per pagina, i dati forniscono x = 1.99. Calcoliamo le frequenze attese per un P o(1.99). Per i = 0, 1, 2, 3, 4:

fi = 100e^−1.991.99ⁱ i!

Inoltre, raggruppando tutti i valori maggiori o uguali a 5 in un unica classe, otteniamo f5= 100 −

4

X

i=0

fi.

Svolgendo i calcoli, si trova la statistica test (oi= frequenze osservate)

5

X

i=0

(fi− o_i)²

f_i ' 2.37.

Confrontando questo valore con il percentile χ²_4,0.05 = 9.48, si trova che il campione non cade nella regione critica: dati sono coerenti con l’ipotesi che il numero di errori per pagina abbia distribuzione di Poisson.