Tutorato di CSMN AA 2018/2019
Esercitazione del 12/12/2018
1. Esercizio 5, prova scritta di CSMN del 31/01/2018
Determinare la forma di Lagrange del polinomio che interpola la tabella xi -1 0 1 2
yi 7 1 -1 -17
Calcolare il valore assunto dal polinomio nel punto di ascissa x = −2.
SOLUZIONE.
Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange `e pn(x) =
n
X
j=0
yjLj(x)
dove gli Lj(x), polinomi caratteristici di Lagrange dati da
n
Y
k=0k6=j
x − xk xj− xk
sono dei polinomi di grado n ben definiti. Nel nostro caso il polinomio interpolante sar`a:
p3(x) = 7L0(x) + L1(x) − L2(x) − 17L3(x) con polinomi caratteristici
L0(x) = −1
6x(x − 1)(x − 2), L1(x) = 1
2(x2− 1)(x − 2), L2(x) = −1
2x(x + 1)(x − 2), L3(x) = 1
6x(x2− 1).
Quindi p3(x) = −7
6x(x−1)(x−2)+1
2(x2−1)(x−2)+1
2x(x+1)(x−2)−17
6 x(x2−1) 1
Svolgendo i calcoli si trova
p3(x) = −3x3+ 2x2− x + 1 e valutandolo nel punto di ascissa x = −2 si ha
p3(−2) = 35.
2. Esercizio 3, prova scritta di CSMN del 23/03/2018
Determinare la forma di Lagrange del polinomio che interpola la fun- zione
f (x) = cos(x) − sin(x)
nei punti di ascissa 0,π4,π2 e valutarlo poi nel punto di ascissa x = 1.
SOLUZIONE
x0 = 0, x1 = π
4, x2 = π 2 y0 = 1, y1 = 0, y2 = −1
p2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) = L0(x) − L2(x) dove
L0(x) = 8
π2(x − π/4)(x − π/2), L2(x) = 8
π2x(x − π/4).
Quindi il polinomio sar`a dato da p(x) = −4
πx + 1 e valutato il x = 1 `e pari a π−4π .
3. Esercizio 5, prova scritta di CSMN del 04/07/2018 Costruire il polinomio che interpola la tabella di dati
xi 0 1 3 yi 3 -1 -3
2
sia in forma canonica che utilizzando la rappresentazione di Lagrange.
Calcolare inoltre il valore assunto dai due polinomio nel punto di ascissa x = 2.
SOLUZIONE.
Il polinomio interpolante nella base canonica `e dato da
p2(x) =
n
X
j=0
ajxj
imponendo le condizioni di interpolazione si ottiene il sistema lineare
2
X
j=0
xjiaj = yi, i = 0, 1, 2
la cui matrice dei coefficienti `e la matrice di Vandermonde
X =
1 x0 x20 1 x1 x21 1 x2 x22
.
Il sistema risultante, la cui soluzione fornisce appunto i coefficienti della combinazione lineare che fornisce l’espressione canonica del polinomio interpolante, quindi sar`a
1 0 0 1 1 1 1 3 9
a0
a1 a2
=
3
−1
−3
.
Risolvendo tale sistema con l’algoritmo di Gauss con pivoting troviamo a0 = 3, , a1 = −5, a2 = 1
quindi il polinomio interpolante nella base canonica `e p2(x) = x2− 5x + 3.
Per l’unicit`a del polinomio interpolante troviamo lo stesso risultato usando la rappresentazione di Lagrange.
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