Logica booleana
Logica di Boole o Logica Booleana è la teoria che tratta la manipolazione di variabili booleane.
L’aritmetica è la teoria che tratta la manipolazione dei numeri
La Logica Booleana fa uso di alcuni operatori
In aritmetica gli operatori sono ad esempio: + e –
La combinazione degli operatori e delle variabili
permette di definire le funzioni booleane.
Variabili Booleane
• Variabile booleana = quantità che può assumere solo due valori
• I due valori hanno il significato di: vero o falso
• Per convenzione si rappresentano come:
Vero=1
Falso=0
Le funzioni Booleane
Le funzioni booleane sono caratterizzate da una o più variabili di ingresso e una variabile di uscita.
In aritmetica una funzione ha il seguente aspetto:
z=3 x + 2 y
dove x e y sono variabili di ingresso e z è la variabile di uscita Le variabili di ingresso sono dette indipendenti, cioè possono assumere liberamente qualsiasi valore.
La variabile di uscita è detta dipendente, cioè una volta stabilito il valore assunto dalle variabili di ingresso, è obbligata ad assumere un valore.
Rappresentazione degli operatori della logica booleana
Esistono due modi per rappresentare gli operatori booleani:
rappresentazione algebrica rappresentazione circuitale
Rappresentazione Algebrica: per rappresentare gli operatori si utilizzano dei simboli.
Rappresentazione Circuitale: è una rappresentazione grafica dove gli operatori sono rappresentati mediante porte collegate da
segmenti.
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Rappresentazione Circuitale
Nella rappresentazione circuitale il valore delle variabili è un segnale.
Un segnale è qualcosa (attività elettrica) che può essere presente o assente.
Per convenzione se presente è identificato con il valore 1 se assente con il valore 0.
Il segnale può fluire in una unica direzione.
Si può pensare alle porte logiche come a piccoli dispositivi che prendono in ingresso un segnale e restituiscono in uscita un segnale trasformato.
Tabella della verità
Una funzione booleana può essere rappresentata in modo
esaustivo (ma non compatto) tramite una tabella della verità.
La tabella contiene:
• una colonna per ogni variabile di ingresso
• una colonna per ogni variabile di uscita
• una riga per ogni combinazione delle variabili di ingresso
• tante righe quante sono tutte le possibili combinazioni di valori che gli ingressi possono assumere
• in corrispondenza dei valori di ingresso è riportato il valore assunto dalla variabile di uscita
Esempio di tabella di verità
Funzione in rappresentazione algebrica:
U= ((X.Y) + X.Z) ⊕ Y
Funzione in rappresentazione tabellare:
Esempio di rappresentazione tabellare in aritme<ca
Funzione in rappresentazione algebrica:
Y=1+2X
Funzione in rappresentazione tabellare:
Operatori booleani
Gli operatori sono:
• NOT: inversione
• AND : e
• OR: o
• EXOR o XOR: uno dei due
1° Esempio
Esercizio 1
Esercizio 1
X = Temperatura > 170°
Y = Pressione > 2 atm
Z = Affluenza combus<bile
Esercizio 1
Tavola di verità Porte logiche
Esercizio 3
L’esercizio prevede delle condizioni ridondan, per poter verificare che aOraverso l’u<lizzo delle proprietà dell’algebra booleana, la funzione che deriva dall’insieme delle condizioni, può essere eventualmente ridoOa in forma più semplice.
Per oOenere uno sconto speciale in un negozio, un cliente deve ricadere in una delle seguen< condizioni:
1. Deve possedere una tessera socio donna e cliente da almeno 5 anni 2. Deve possedere una tessera socio uomo e cliente da almeno 5 anni
3. Non deve possedere una tessera socio, deve essere una cliente da almeno 5 anni 4. Deve essere un cliente da almeno 5 anni e non deve aver compiuto ancora 30 anni 5. Deve essere un cliente da almeno 5 anni ed avere più di 30 anni
Possiamo verificare che così come poste le condizioni, basterebbe essere cliente da almeno 5 anni per poter oOenere uno sconto.
Variabili
• S: tessera socio;
• C: cliente da 5 anni;
• Z: > 30 anni;
• G: uomo =1; donna =0
Esercizio 3
1. Deve possedere una tessera socio donna e cliente da almeno 5 anni 2. Deve possedere una tessera socio uomo e cliente da almeno 5 anni
3. Non deve possedere una tessera socio, deve essere una cliente da almeno 5 anni
4. Deve essere un cliente da almeno 5 anni e non deve aver compiuto ancora 30 anni
5. Deve essere un cliente da almeno 5 anni ed avere più di 30 anni
Codizioni
Esercizio 3
S C Ğ S C G Š C Ğ C Ž C Z
Variabili
• S: tessera socio;
• C: cliente da 5 anni;
• Z: > 30 anni;
• G: uomo =1; donna =0
1. Deve possedere una tessera socio donna e cliente da almeno 5 anni 2. Deve possedere una tessera socio uomo e cliente da almeno 5 anni
3. Non deve possedere una tessera socio, deve essere una cliente da almeno 5 anni
4. Deve essere un cliente da almeno 5 anni e non deve aver compiuto ancora 30 anni
5. Deve essere un cliente da almeno 5 anni ed avere più di 30 anni
(S C Ğ) + (S C G) + (Š C Ğ) + (C Ž) + (C Z) = SC(Ğ + G) + C(Š Ğ + Ž + Z) =
SC + C(SG + 1) = SC + C =
C(S + 1) = C
(Ğ + G = 1) e (Ž + Z = 1) (SG + 1 = 1)
(S + 1 = 1)
Esercizio 3
L’elemento + il suo complemento = 1 L’elemento + 1 = 1
