Esame da 6 CFU  Esame da 9 CFU  Esercizi (1) (7 punti

Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I del 20/09/2018 Corso di laurea in INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA

Docente: Christian Casalvieri

NOME ... COGNOME ...

MATRICOLA ...

Esame da 6 CFU  Esame da 9 CFU  Esercizi

(1) (7 punti ) - Determinare l’estremo superiore, l’estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e gli eventuali punti di non derivabilit`a della funzione f : R → R cos`ı definita:

f (x) =







arctan(x²− 1) x < 1

8x−8

x² x ≥ 1

e disegnarne un grafico qualitativo.

(3) (6 punti ) - Calcolare il seguente integrale:

Z 2 − x x(x²+ 1)dx.

(2) (5 punti ) - Determinare il carattere (convergente, divergente, irregolare) della seguente serie:

∞

X

k=1

k¹⁰+ 10 (k + 10)!.

(4) (riservato all’esame da 9 CFU) (6 punti ) - Calcolare, purch´e esista, il seguente limite:

x→0lim

3 sin(2x) − 2 arctan(3x) 2x³cos(x) − 3 arctan (x⁵).

Domande teoriche

(a) (3 punti ) - Enunciare il teorema del valor medio di Lagrange e fornirne una interpre- tazione grafica.

(b) (2 punti ) - Costruire l’esempio di una funzione 2π-periodica e tale che f (1) = −1.

(c) (3 punti ) - Stabilire se la funzione f (x) = √

x + 2 `e invertibile nel suo dominio e, in caso affermativo, scrivere l’espressione esplicita della funzione inversa, precisandone il dominio e l’immagine.

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