1 I tassi di interesse 7

Indice

1 I tassi di interesse 7

1.1 Generalit`a . . . . 9

1.1.1 L’Italia nel ventesimo secolo . . . . 10

1.1.2 I tassi del mercato monetario . . . . 11

1.1.3 L’inflazione . . . . 15

1.2 Struttura per scadenza dei tassi d’interesse . . . . 19

1.3 I contratti derivati . . . . 22

1.3.1 I forward . . . . 23

1.3.2 I futures . . . . 25

1.3.3 Gli swap . . . . 25

1.3.4 Le opzioni . . . . 26

1.4 Il mercato dei derivati . . . . 28

1.5 Modelli di struttura a termine dei tassi d’interesse . . . . 29

1.5.1 Modelli a singolo fattore . . . . 30

1.5.2 Modelli multifattoriali . . . . 33

1.5.3 Modelli alla Heath, Jarrow e Morton . . . . 34

1.6 Equazione della term structure e modelli affini . . . . 37

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Introduzione

Questo lavoro si inserisce nel ricco filone degli studi interdisciplinari che applicano le metodologie e i modelli della fisica al mondo finanziario.

L’obiettivo che ci si propone `e quello di analizzare in particolare l’efficacia di alcuni me- todi recentemente proposti, finalizzati alla determinazione dei parametri caratteristici del modello di Cox, Ingersoll e Ros. Si tratta di un modello diffusivo proposto nel 1985 per simulare l’andamento dei tassi di interesse e valutare il conseguente valore dei contratti ad essi correlati. Una precisa calibrazione dei parametri rende possibile l’utilizzo del modello in ambito economico, garantendo la possibilit`a di stimare pi`u o meno efficacemente il ri- schio correlato alle varie operazioni finanziarie.

Il ragionamento si sviluppa in sezioni distinte, articolate in tre parti:

Una prima parte, preliminare, permette di introdurre tutti quegli aspetti inerenti i con- cetti basilari legati all’economia, e meno abituali per uno studente di fisica, che verranno utilizzati nella trattazione della seconda parte. In particolare si `e analizzata la tematica dei tassi di interesse e dei contratti legati al loro andamento, in modo da sfatare l’errata convinzione che la finalit`a prima delle attivit`a in questo settore sia quella speculativa; al- cuni cenni sulla situazione italiana nell’ultimo secolo vengono forniti per far capire come l’evoluzione dei tassi di interesse possa riflettere effettivamente la storia di una nazione.

Segue quindi una parte relativa al mercato dei derivati, e al vasto panorama dei modelli previsionali con i quali si `e tentato e si tenta di effettuare il loro pricing. Con questo termine - traducibile in italiano come prezzaggio, o meglio valutazione - si intende la pratica

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di cercare di prevedere il valore che assumeranno ad istanti futuri determinati contratti, ad esempio per permettere ad aziende e singoli imprenditori di valutare il rischio a cui si sottopongono prendendo parte alle varie operazioni finanziarie.

La seconda parte `e interamente dedicata ai metodi di calibrazione del modello di Cox, Ingersoll e Ross (CIR); i motivi che giustificano la scelta di tale modello sono stati di- scussi in un apposito paragrafo. In primo luogo vengono esposte le basi teoriche a monte di ciascuna metodologia adottata: in particolare si utilizzano gli stimatori di martinga- la, confrontando la loro efficacia con quella dei metodi di massima verosimiglianza, e un metodo di calibratura proposto da De Felice e Moriconi nel 1987. E’ stato poi necessario sottoporre a verifica l’adeguatezza e l’utilit`a degli strumenti di valutazione e calibrazione a nostra disposizione; in particolare la rapidit`a di convergenza degli stimatori utilizzati, la quantit`a di simulazioni necessarie ad ottenere risultati ragionevoli, nonch`e il numero di dati sufficienti, utilizzando a tal fine metodi Monte Carlo.

Ci`o che abbiamo a disposizione per le nostre analisi sono delle osservazioni dei tassi di interesse protratte nel tempo, le cosiddette serie storiche.

Il caso delle serie storiche presenta una caratteristica che tende a distinguerlo da quello di altre serie di dati; questa differenza consiste nel fatto che il tempo ha una direzione, e quindi esiste la storia. In un contesto di serie storiche, infatti, la naturale tendenza di molti fenomeni ad evolversi in modo pi`u o meno regolare porta a pensare che il dato rilevato in un certo istante t sia pi`u simile a quello rilevato all’istante t-1 piuttosto che in epoche distanti; si pu`o dire, in un certo senso, che la serie storica che analizziamo ha “memoria di s`e”. Questa caratteristica `e generalmente indicata col nome di persistenza.

Si tenga inoltre presente che, supponendo di lavorare su una serie storica a campionatura

giornaliera che raccolga l’evoluzione dei tassi degli ultimi dieci anni, avremmo a disposizione

un modesto campione di circa 2500 dati. La dimensione di una serie storica costituisce

dunque la principale difficolt`a che si incontra in questo tipo di analisi, congiuntamente al

fatto di non poter ripetere pi`u volte la stessa misura, ma di doversi avvalere ogni volta di

un unico data-set.

L’ applicazione dei metodi di calibratura `e stata condotta su dati di mercato reali, venendo a costituire la parte principale del lavoro.

Una parte dei dati utilizzati, inerenti il mercato italiano, `e stata tratta dall’information provider di Bloomberg, a cui mi `e stato possibile accedere per gentile concessione della Banca Popolare di Milano, affiancati a quelli reperibili nel sito della BBA (British Ban- kers Association)

. I risultati ottenuti sono stati confrontati con quelli riportati in lavori simili, e con quanto ricavato da Chang, Karolyi, Longstaff e Sanders col loro metodo dei momenti generalizzati (a cui si fanno brevi cenni). Nelle stime si `e sperimentata anche una procedura (detta metodo dinamico) oggetto di recentissimi lavori (tra cui uno commissio- nato direttamente dal Ministero del Tesoro italiano), testandone l’efficacia. Specialmente in Italia esiste infatti una vasta tradizione legata al modello CIR.

L’ultima sezione comprende infine numerose appendici a corredo, alcune di carattere ma- tematico come complemento alla teoria utilizzata nel lavoro, ed altre di approfondimento sulle metodologie di approssimazione adottate. Senza la velleit`a di voler coprire in ma- niera esaustiva ogni argomento trattato, si `e cercato di fornire dei compendi in grado di permettere la comprensione dell’elaborato in maniera autosufficiente.

Le conclusioni del lavoro sono discusse volta per volta analiticamente a seguito di ogni sezione, dopo aver esposto i risultati numerici delle varie simulazioni. Un paragrafo con- clusivo raccoglie poi in maniera discorsiva quanto sia emerso nell’analisi delle numerose metodologie proposte.

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http://www.bba.org.uk/

Capitolo 1

I tassi di interesse

Contenuto

1.1 Generalit` a . . . . 9

1.1.1 L’Italia nel ventesimo secolo . . . . 10

1.1.2 I tassi del mercato monetario . . . . 11

1.1.3 L’inflazione . . . . 15

L’Inflazione oggi . . . . 16

1.2 Struttura per scadenza dei tassi d’interesse . . . . 19

1.3 I contratti derivati . . . . 22

1.3.1 I forward . . . . 23

1.3.2 I futures . . . . 25

1.3.3 Gli swap . . . . 25

1.3.4 Le opzioni . . . . 26

1.4 Il mercato dei derivati . . . . 28

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1.5 Modelli di struttura a termine dei tassi d’interesse . . . . 29

1.5.1 Modelli a singolo fattore . . . . 30

1.5.2 Modelli multifattoriali . . . . 33

1.5.3 Modelli alla Heath, Jarrow e Morton . . . . 34

1.6 Equazione della term structure e modelli affini . . . . 37

1.1 Generalit` a

D’anime nude [gli usurai] vidi molte gregge Che piangean tutte assai miseramente, E parea posta lor diversa legge.

Supin giaceva in terra alcuna gente;

Alcuna si sedea tutta raccolta, Ed altra andava continuamente

(DANTE ALIGHIERI, Commedia, Inferno, Canto XIV, 19-24)

Cos`ı Dante immaginava gli usurai nel girone infernale, seduti e costretti a soffrire un’in- cessante pioggia di fuoco.

Il termine latino usura stava ad indicare il logoramento dovuto all’uso di qualsiasi cosa (nel nostro caso di un capitale avuto in prestito) e di conseguenza l’usura era il prezzo pagato per l’utilizzo di tale denaro. Il verbo latino intereo significa invece essere perso; la forma sostantivata derivata dall’infinito passato interisse si `e poi sviluppata nel termine moderno di interesse. Da ci`o risulta che l’interesse non era un profitto, ma una perdita. La teoria medievale dell’interesse si svilupp`o lentamente a partire dalle eccezioni alla legge canonica contro l’usura. Ricevere un compenso per un prestito non era lecito, se esso implicava un guadagno da parte del mutuante; lo diventava per`o se tale compenso non costituiva un guadagno netto, ma piuttosto un rimborso per le privazioni o le spese sostenute.

L’interesse era dunque visto come un compenso dovuto al creditore per la perdita soppor- tata a causa del prestito che aveva concesso. Il concetto era derivato dal diritto romano, che prendeva in considerazione la differenza tra la posizione attuale del creditore, o altra parte lesa, e quella nella quale la stessa persona si sarebbe trovata se non avesse concesso il prestito.

Nell’accezione moderna il tasso d’interesse rappresenta la variazione percentuale di costo

per un finanziamento, e indica quanto occorre “pagare” per avere in prestito una somma per

l’unit`a di tempo indicata (3 mesi, 1 anno, etc.), ma rappresenta anche il premio che viene riconosciuto a chi decide di impegnare il proprio capitale per un certo lasso di tempo. Esso

`e una variabile economica chiave, che influenza in modo sostanziale l’operato di individui ed imprese.

I tassi d’interesse variano in relazione agli andamenti dei mercati finanziari e alle politi- che monetarie del Governo e delle banche centrali; la conoscenza dell’effettivo ruolo, cos`ı come delle ragioni sottostanti le loro variazioni `e cruciale per una piena comprensione dell’evolversi dei mercati finanziari e degli orientamenti di politica economica.

1.1.1 L’Italia nel ventesimo secolo

La moderna storia dei tassi di interesse italiani merita una attenzione particolare, sia in ragione del preminente ruolo finanziario ricoperto dai banchieri italiani nel Medioevo, sia perch`e l’Italia ha recentemente conquistato un posto rilevante nei mercati finanziari mondiali.

Il nuovo Regno d’Italia, proclamato nel 1861 e la cui costituzione fu portata a termine dopo il 1870, organizz`o i suoi affari alla tradizionale maniera europea. Dopo alcuni anni caratterizzati dal deficit dello Stato e da varie difficolt`a finanziarie, il governo riusc`ı attra- verso una serie di riforme attuate tra il 1893 ed il 1896, a riequilibrare il bilancio, istitu`ı la Banca d’Italia e riorganizz`o la struttura monetaria e creditizia.

Nel ventesimo secolo l’Italia ha sofferto gli effetti delle due guerre mondiali e delle gravi

inflazioni postbelliche. Vinte o perse infatti entrambe le guerre furono seguite da forti

svalutazioni monetarie e da alti tassi di interesse. La lira italiana perse pi`u del 99% del

suo valore sul dollaro nel corso del ventesimo secolo fino al 1960, la stessa perdita subita

anche dal franco francese. Tuttavia i rendimenti obbligazionari italiani inaugurarono il

ventesimo secolo su un livello molto pi`u elevato di quello dei tassi a lungo termine francesi,

e terminarono gli anni ’50 su valori non molto lontani da quelli vigenti oltralpe.

Dal grafico successivo `e possibile notare una impennata dei rendimenti tra il 1925 e il 1926, quando l’inflazione fu finalmente sconfitta e la moneta stabilizzata. Dopo questa data, i rendimenti presero a diminuire, fino al 1934. Durante la seconda guerra mondiale i tassi scesero fino a 3.22%, un tasso molto basso per l’Italia e non molto pi`u elevato del 3% vigente in Inghilterra in tempo di guerra. Subito dopo la guerra, nel 1950 i rendimenti risalirono subito fino al 5.73%, e al 6.81% nel 1957. Nonostante una lieve diminuzione nel 1960, fino a questo momento i titoli di Stato italiani si mantennero su livelli molto alti rispetto a quelli dei tassi a lungo termine inglesi e americani. Negli anni Settanta i rendimenti italiani toccarono il loro livello minimo rispetto ai tassi inglesi, ma rimasero comunque superiori ai rendimenti statunitensi; il decennio successivo vide invece un’impennata in cui i tassi salirono sia in senso relativo che assoluto. In quel periodo si trovarono in difficolt`a tutti coloro che necessitavano di stipulare un mutuo, mentre i possessori di immobili concessi in affitto, visto il conseguente aumento delle tariffe, si trovarono a possedere propriet`a che si pagavano da sole.

1.1.2 I tassi del mercato monetario

Il mercato monetario comprende tutte le operazioni e le attivit`a finanziarie relative alla

circolazione e alla quantit`a di moneta.

I tassi del mercato monetario possono essere:

• a brevissimo termine (overnight), ovvero il tasso di interesse che si riferisce a un orizzonte temporale della durata di un giorno, ed `e applicato a un prestito erogato oggi ed estinto domani

• a breve termine, della durata di 1 - 12 mesi, influenzano i tassi applicati dalle banche alla clientela privata e alle imprese

• tassi a lungo termine; sono relativi ai rendimenti delle obbligazioni e delle azioni, e sono influenzati dalle variazioni dei tassi a breve termine.

Un altro indicatore molto importante `e costituito dal prime rate, ovvero il tasso di interesse applicato dalle banche di credito alla raccolta a breve termine dei clienti pi`u affidabili sulle operazioni di finanziamento senza garanzia. Rappresenta, in altre parole, il tasso pi`u basso che le banche praticano su crediti non direttamente garantiti.

Dal 1

gennaio 1999, con la nascita dell’euro, sono entrati in vigore nel mercato monetario tassi comuni a tutti i paesi dell’Unione:

TUC: Il tasso ufficiale di controllo (prima del 1999 era il TUS, tasso ufficiale di sconto) rappresenta il costo del denaro per gli Istituti di Credito che si rifinanziano presso la Banca d’Italia, e influenza l’andamento dei tassi adottati dalle banche. Il TUC ha rilievo come segnale dell’orientamento delle autorit`a monetarie: le sue variazioni rappresentano cio`e una indicazione del fatto che la banca centrale consideri le condizioni di equilibrio macroeconomico coerenti con una discesa della struttura dei tassi o, viceversa, con un rialzo della struttura stessa, mentre ha un rilievo limitato come tasso di mercato.

Al TUC tuttavia si raccordano altri tassi d’interesse, come quelli del mercato interbancario

e quelli della provvista e dei prestiti a breve termine delle banche.

Euribor: `e il tasso interbancario di riferimento per le banche europee, rilevato giornal- mente, e stabilito da un pool di banche primarie dei vari Paesi dell’UEM. ` E il principale parametro utilizzato per i finanziamenti a tasso variabile.

Libor-Euro: `e un indice interbancario elaborato dalla BBA (British Banking Association) e rappresenta una media dei tassi che vengono offerti sul mercato interbancario londinese.

Euribor ed Libor-Euro vengono usati dalle banche come parametri di indicizzazione dei

mutui a tasso variabile.

1.1.3 L’inflazione

Il fenomeno dell’inflazione `e costituito dall’aumento continuo del livello generale dei prezzi determinato da pi`u fattori, la cui conseguenza pi`u diretta `e una diminuzione del potere di acquisto della moneta. Il medio circolante aumenta oltre i limiti rappresentati dai bisogni degli scambi generando cos`ı un aumento persistente dei prezzi dei beni. Durante un conflitto bellico, ad esempio, i governi, non potendo fronteggiare le crescenti spese pubbliche con corrispondenti entrate fiscali, emettono moneta generando un’esuberanza dei mezzi di pagamento rispetto ai beni disponibili (inflazione finanziaria).

Oltre che dai conflitti bellici, l’inflazione pu`o essere alimentata anche da un’eccessiva crea- zione del credito da parte del sistema bancario. Ci`o avvenne ad esempio negli Stati Uniti nel 1929 quando le banche sostennero la speculazione di borsa con le loro concessioni di credito (inflazione creditizia).

Il potere d’acquisto `e dato dalla quantit`a di beni e servizi che si possono acquistare con una unit`a di moneta. Pi`u sono elevati i prezzi, minore sar`a la quantit`a di beni che si possono comprare. L’inflazione viene misurata facendo una media pesata del prezzo di opportuni panieri di merci; in Italia l’ISTAT (Istituto di Statistica) utilizza principalmente tre indici:

a) indice dei prezzi all’ingrosso (rileva le transazioni commerciali fra imprese)

b) indice dei prezzi al consumo (rileva le transazioni intercorrenti fra le imprese e le famiglie) c) indice del costo della vita ( rileva i consumi di una famiglia tipo in base ad un paniere di beni che viene aggiornato periodicamente)

Se l’aumento dei prezzi non `e particolarmente elevato (2-4 %) si parler`a di inflazione stri-

sciante. Mentre se il tasso annuo supera il 5% ci sar`a un’inflazione galoppante. Nel caso in

cui il tasso aumenti del 20% si parler`a di iperinflazione.

L’Inflazione oggi

Come tanti grandi problemi non solo economici, l’inflazione `e un campo attraversato da profonde divergenze ideologiche e analitiche. Il fenomeno dell’aumento dei prezzi `e un pro- blema particolarmente sentito dalla collettivit`a per le sue implicazioni sociali. Ad esempio in Italia, dopo l’adozione dell’Euro, il dibattito sull’inflazione `e ritornato di estrema attua- lit`a soprattutto per quanto riguarda l’esattezza della sua rilevazione e la correttezza dei metodi impiegati dagli enti a ci`o preposti.

I dati forniti dall’ISTAT, secondo cui l’inflazione a gennaio era del 2,2% sono stati contestati da pi`u parti perch`e considerati poco realistici, mentre da parte sua l’istituto di ricerca Eurispes giudica non veritieri i dati ed ha valutato nella misura del 20% la perdita del potere d’acquisto tra il 2001 e il 2003.

Figura 1.1: L’inflazione in Europa

Nel prossimo futuro si prevede un andamento dell’inflazione in una prima fase decrescen-

te, ma in netta risalita a partire dalla met`a del 2004. Sebbene non sia attesa superare

significativamente il 2%, l’accelerazione dei prezzi indurr`a le autorit`a monetarie europee ad alzare i tassi d’interesse. La risalita dei tassi, infatti, oltre che frutto della necessit`a di porre un freno ad una politica fiscale eccessivamente permissiva, sar`a dettata dall’aumento dell’inflazione verso il limite massimo indicato dalla BCE. Infatti, il principale obiettivo della Banca Centrale Europea (stabilito dal proprio statuto) `e quello di mantenere il tasso di inflazione al di sotto del 2%.

Figura 1.2: Previsioni sull’andamento dell’inflazione

Infine preme sottolineare l’importanza di tenere conto dell’inflazione con un esempio. Se esaminiamo il grafico sottostante che riporta l’andamento dell’indice Comit Globale

del mercato azionario dal 1928 fino al 2002 si pu`o notare come, nonostante un andamento lievemente oscillante, il trend sul lungo periodo sia stato decisamente positivo.

Figura 1.3: Indice Comit Globale

Ci`o potrebbe indurci a ritenere un investimento sul lungo periodo come una fonte sicura di guadagni; infatti questo indice ci dice che se avessimo investito ad inizio del 1974 avremmo l’impressione di aver guadagnato oltre il 600%.

Andiamo allora ad osservare lo stesso grafico riportato al netto dell’inflazione:

Ci accorgiamo allora che con lo stesso investimento ora avremmo un controvalore decurtato di quasi il 50%.

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L’indice Comit Globale `e composto da tutte le azioni quotate sul mercato di Milano. Viene calcolato

quotidianamente in continua con i prezzi medi dei titoli ponderati con gli scambi fino a quel momento.

Figura 1.4: Indice Comit Globale

1.2 Struttura per scadenza dei tassi d’interesse

Un contratto finanziario, nella sua forma pi`u elementare, consente di scambiare poste mone- tarie (importi) disponibili in tempi diversi; tali poste monetarie risulteranno caratterizzate dal valore nominale e dalla data di scadenza (o data di disponibilit`a).

Con v(t,T,s), t≤T≤s, si rappresenta il valore in T (istante di valutazione), pattuito al tempo t (istante di stipula), di una unit`a monetaria pagabile in s (scadenza o maturity).

Tale funzione `e chiamata funzione valore, e tutte le quantit`a caratteristiche della matema-

tica finanziaria possono essere definite direttamente in riferimento all’evoluzione temporale

della stessa. Appare naturale richiedere che v(t,T,s) sia non negativa; inoltre si ipotizza

che la sua forma non dipenda dalle quantit`a di denaro trattate. Pertanto (supponendo

coincidenti la data di stipula t e l’istante di valutazione T), il valore in t di X

unit`a di

capitale pagabili in s (s>t) viene indicato come W(t,X

)=X

v(t,s). In questo modo v(t,s)

assume il significato di funzione di sconto, e l’operazione che abbiamo eseguito prende il

nome di attualizzazione del capitale; in pratica in questo modo, conoscendo la funzione valore, `e possibile valutare al tempo t un contratto di cui si conosce il valore a scadenza.

L’interesse prodotto nel periodo tra t e t+∆t `e quindi semplicemente l’incremento della funzione valore ∆v(t)=v(t+∆t)-v(t), mentre l’intensit`a di interesse `e il rapporto tra l’inte- resse e il prodotto dell’intervallo temporale considerato per il valore di v al tempo iniziale:

R(t)=∆v(t)/[∆tv(t)].

Ecco allora che possiamo introdurre l’altra grandezza fondamentale in questa sede, ovvero il tasso istantaneo di rendimento; questo viene definito, da un punto di vista teorico, come il limite per intervalli di tempo infinitesimi, dell’intensit`a di interesse, cio`e:

r(t) = lim

∆t→0

R(t) = lim

∆t→0

∆v(t)

∆tv(t) = v

(t) v(t) = d

dt log v(t) o invertendo la precedente relazione:

v(t) = e

Appare perci`o chiaro che conoscere r(t) equivale a conoscere il valore al tempo t di una obbligazione di valore unitario a scadenza .

Andiamo ora a chiarire cosa si intende per struttura per scadenza dei tassi di interesse.

La scadenza di un titolo obbligazionario `e rappresentata dalla vita residua, cio`e dal periodo di tempo che rimane prima del rimborso del capitale da parte dell’emittente; la struttura dei tassi d’interesse secondo la scadenza (term structure of interest rates) quindi non `e che una funzione che lega il tasso d’interesse ottenibile da un certo strumento finanziario alla scadenza dello strumento stesso.

La curva dei rendimenti presenta generalmente un’inclinazione positiva (normal) che sta ad

indicare un graduale aumento dei tassi d’interesse con il prolungamento della scadenza, fino

ad un progressivo appiattimento per durate molto lunghe. Se per`o l’inclinazione positiva

della curva `e eccessiva, questo rappresenta aspettative di rialzo dei tassi (expectation of an increase in rates); al contrario un’inclinazione negativa riflette l’inusuale situazione di maggiori tassi a breve rispetto ai tassi a lungo. Questo pu`o presagire un futuro calo del livello dei tassi d’interesse (expectation of a reduction in rates).

Figura 1.5: Possibili andamenti della struttura a termine dei tassi di interesse

L’analisi del comportamento degli operatori `e in grado di spiegare chiaramente l’impatto

delle aspettative sulla struttura per scadenza dei tassi d’interesse: se si ipotizza ad esempio

che sia atteso un incremento dei tassi d’interesse (si veda ancora il superiore grafico),

gli attuali detentori di attivit`a finanziarie tenteranno di evitare di rimanere impegnati in

titoli con rendimenti relativamente bassi; preferiranno investire solo per orizzonti temporali

molto brevi, nell’attesa che alla scadenza possano nuovamente concedere prestiti a tassi

d’interesse pi`u elevati. Per questi motivi ci sar`a una tendenza all’incremento dell’offerta di

fondi a breve ed una corrispondente riduzione dell’offerta di fondi a lungo termine. Allo

stesso modo per`o coloro che necessitano di prestiti vorranno impegnarsi all’attuale tasso

d’interesse pi`u basso, per la pi`u lunga durata possibile, al fine di evitare il maggior costo

per interessi futuro. In tal modo la domanda di fondi a lungo termine incrementer`a, di

fronte alle riduzioni nella domanda per fondi a breve termine. Questi cambiamenti sia nella

domanda che nell’offerta di fondi per le diverse scadenze in una situazione in cui ci sono aspettative di crescita dei tassi, evidenziano un eccesso di offerta sulla domanda nel breve termine di fronte ad un eccesso di domanda sull’offerta nel lungo periodo.

L’effetto di questa situazione sar`a pertanto il decremento dei tassi d’interesse a breve ed il corrispondente aumento dei tassi a lungo.

Evidentemente quando le aspettative sono per una futura diminuzione dei tassi, la reazio- ne degli operatori sar`a esattamente opposta alla situazione descritta precedentemente; le conseguenze saranno quindi l’incremento dei tassi d’interesse a breve e la corrispondente diminuzione dei tassi a lungo.

Queste variazioni si rifletteranno generalmente in una curva dei rendimenti pi`u piatta del normale; l’insolita curva decrescente (inverted yield curve) potr`a essere osservata solo se l’aspettativa del mercato `e per un futuro taglio del costo del denaro molto consistente e tale aspettativa si rivela essere molto fondata. In realt`a una curva dei rendimenti inclinata negativamente si `e verificata pi`u frequentemente nel Regno Unito, rispetto agli Stati Uniti (grafico sottostante) o all’Europa Occidentale.

1.3 I contratti derivati

Un derivato `e uno strumento finanziario il cui valore dipende da quello di una attivit`a sottostante negoziata per contante. Quest’ultima pu`o essere un’ azione, un’ obbligazione, un tasso di interesse, una valuta, un indice e cos`ı via...

Esistono derivati su merci, o su indici di merci. Per esempio il prezzo di una opzione su una data azione dipende dal prezzo che questa assume. Alla scadenza il valore del derivato

`e spiegato in modo completo dal valore del sottostante; prima di quel momento invece altre

variabili, quali il tempo residuo, la volatilit`a del prezzo o del rendimento, il livello del tasso

di interesse, influiscono sulla valutazione. Tale carattere distintivo dei derivati svolge un

ruolo importante nel processo di pricing dell’attivit`a.

In un mercato efficiente e completo i derivati non avrebbero ragione di esistere: in un tale contesto il flusso di cassa, o payoff del derivato potrebbe essere replicato combinando pi`u attivit`a elementari; in realt`a invece esistono frizioni che impediscono o rendono troppo costosa la replica del derivato. La prima funzione economica dei derivati `e quindi quella di completare il mercato.

Inoltre consentono il trasferimento del rischio da chi lo rifiuta a chi `e disposto ad assumerlo;

chi acquista il rischio lo fa per coprire una posizione o perch`e vuole speculare. Il possessore di azioni si copre dal rischio di ribasso acquistando una put, mentre chi vende l’opzione crede nella stabilit`a delle quotazioni e confida di guadagnare il premio.

I derivati possono essere classificati in quattro categorie:

• i contratti a termine o forward

• i futures

• gli swap

• le opzioni

I forward e le opzioni sono considerati basic building blocks, cio`e unit`a di base per costruire altri derivati. Per esempio una serie di forward pu`o dar vita ad uno swap, un’ opzione ed una obbligazione possono dar vita ad una obbligazione strutturata, etc...

1.3.1 I forward

I forward sono contratti d’acquisto o di vendita a data futura di una attivit`a od una merce

a un prezzo stabilito (prezzo di consegna o delivery price). La parte che acquista a scadenza

ha una posizione lunga nel contratto, quella che vende a scadenza ha una posizione che

si dice corta. Ciascun contraente assume il rischio di inadempienza della controparte. Il

prezzo di consegna `e stabilito all’inizio del contratto in modo che il valore dello stesso sia

per entrambi i contraenti uguale a zero; pertanto inzialmente non si avranno n`e incassi n`e versamenti tra le parti, e solo successivamente, al variare dei tassi e dei prezzi forward, il contratto diventer`a positivo o negativo. Alla scadenza la posizione di chi acquista e di chi vende il sottostante `e quella tipica di un qualsiasi compratore e venditore a un prezzo determinato (PF) rispetto a quello corrente (P); se PF `e maggiore di P, chi `e lungo `e in guadagno, e chi `e corto `e il perdita; ovviamente il risultato `e inverso se PF `e inferiore a P.

Il forward pi`u diffuso `e il Forward Rate Agreement (FRA) in cui le parti si accordano su un tasso di un deposito o di un prestito a termine. A termine significa che il deposito o il prestito non ha un inizio immediato ma lo ha differito (alla scadenza del contratto), e il tasso che lo regola `e un tasso forward. Chi acquista il FRA acquista un deposito e paga il tasso fisso, mentre chi lo vende concede un prestito e incassa il tasso fisso. Alla scadenza del contratto, se il tasso fisso (tasso contrattuale) `e maggiore di quello corrente di mercato (tasso di liquidazione), il buyer del FRA versa la differenza al seller. Se il tasso fisso `e inferiore a quello di liquidazione, il venditore versa la differenza al compratore del contratto.

In sintesi un FRA `e un negoziato per bloccare il tasso forward corrente per un dato intervallo temporale (di breve termine).

Spesso chi sottoscrive un contratto forward lo fa per coprirsi dal rischio, ed assicurarsi un guadagno indipendentemente dall’evoluzione futura del mercato: questo ad esempio sar`a il caso del contadino che, temendo gli effetti di una stagione particolarmente arida, stipuler`a un contratto forward fissando in anticipo il prezzo a cui vender`a il suo raccolto;

la controparte nel contratto sar`a rappresentata da un compratore con l’esigenza opposta, ovvero quella di assicurarsi in anticipo la disponibilit`a di un raccolto. Queste sono le cosiddette operazioni di hedging, o assicurative, in cui la cosa che interessa non `e tanto il guadagno ottenuto nell’operazione, quanto l’aver ottenuto un trasferimento del proprio rischio.

Altre volte i FRA vengono venduti o comprati per speculare sulla tendenza; lo speculatore

vende il FRA se stima che il tasso a breve aumenter`a (riceve il valore attuale della differenza tra il settlement e il contract rate), mentre lo acquista se prevede una riduzione dei tassi a breve, ricevendo la differenza tra contract e settlement.

1.3.2 I futures

I Futures sono contratti molto simili ai Forward, ed anche in questi le controparti si impe- gnano a comprare o vendere merci o attivit`a in futuro, ad un prezzo stabilito. I Futures a differenza dei forward:

- sono negoziati in mercati ufficiali - le scadenze sono rigide

- il nominale del contratto `e pari a, o un multiplo di quello stabilito dalle autorit`a di controllo del mercato

- liquidano i guadagni e le perdite ogni giorno e non solo alla scadenza del contratto - impongono il versamento di un margine iniziale di garanzia

1.3.3 Gli swap

Gli swap su tasso di interesse (IRS o interest rate swaps) e i cross currency swap coprono, per volume, il segmento pi`u grande del mercato dei derivati.

Lo swap `e l’acquisto e la vendita simultanea di una attivit`a. I sottostanti generano flussi di cassa periodici riferiti a tassi di interesse, valute e a possibili altre attivit`a finanziarie.

Gli IRS sono accordi di pagamento periodico di somme riferite a specifici tassi d’interesse;

tipicamente un pagamento `e calcolato utilizzando un tasso variabile e l’altro un tasso fisso, o un tasso variabile differente. Dunque mentre il FRA si esaurisce in un solo scambio, l’IRS

`e caratterizzato da una pluralit`a di pagamenti periodici.

Il compratore dell’IRS spera nel rialzo dei tassi come il venditore di una serie di FRA o di Futures a breve o come il debitore a tasso fisso o il creditore a tasso variabile; il venditore dell’IRS spera nel ribasso dei tassi come il compratore di una serie di FRA o di futures a breve o come il creditore a tasso fisso o il debitore a tasso variabile.

Le compagnie e gli investitori negoziano swap per copertura o per speculazione; ad esempio lo speculatore acquista uno swap se stima una riduzione dei tassi.

1.3.4 Le opzioni

A differenza degli altri derivati, le opzioni non obbligano le parti ad acquistare o vendere il sottostante, ma attribuiscono al buyer del contratto la facolt`a di ricevere o consegnare il bene o il controvalore di esso. Il seller `e l’unico ad essere obbligato a consegnare o ricevere se lo decide il compratore dell’opzione. Il contratto che attribuisce al compratore la facolt`a di decidere se acquistare il sottostante ad un prezzo stabilito si chiama call, quello che riguarda la vendita invece put.

Le opzioni il cui ritiro o la consegna avvengono solo a scadenza sono di tipo europeo; quelle che consentono l’esercizio del diritto in ogni momento della vita del contratto sono di tipo americano.

E’ come se il compratore di una call concludesse un contratto d’acquisto a termine stipu- lando una polizza assicurativa contro il ribasso del prezzo della merce acquistata. Il costo della call equivale al premio assicurativo. Tutto questo vale anche per il compratore di una opzione put, con la differenza che la polizza assicurativa protegge dal rialzo del prezzo del sottostante. Infatti chi acquista una put entra in un contratto forward di vendita di un titolo o di una merce a un prezzo stabilito e contemporaneamente acquista una polizza contro il rischio di perdita sul contratto a termine.

Le call e le put sono negoziate sia per speculare sul rialzo o il ribasso del sottostante, sia

per fini di copertura. Per esempio il possessore di azioni che teme il ribasso delle quotazioni

pu`o acquistare una put; se l’evento temuto si verifica, il guadagno sul derivato copre la

perdita sul sottostante.

1.4 Il mercato dei derivati

Il primo mercato pubblico mirato allo scambio di contratti futures nacque nel 1730 a Dochima, nel distretto di Osaka, in Giappone. Questo mercato fu voluto dal governo giapponese di allora per ridurre i rischi a cui andavano incontro i contadini soggetti alle fluttuazioni del prezzo del riso.

Per quanto riguarda l’Italia, nel 1855 a Trieste sorse la Borsa di Trieste per il caff`e e lo zucchero, e pochi mesi dopo, con regio decreto del 1855, nacque a Genova la Borsa dei grani e dei caff`e.

Attualmente sono numerose le Borse che trattano i contratti futures,e numerose sono anche le diverse attivit`a sottostanti i contratti.

L’IDEM (Italian Derivatives Market) `e il mercato regolamentato gestito dalla Borsa Italia- na S.p.A., in cui vengono negoziati contratti futures e contratti d’opzione che hanno come attivit`a sottostante indici e singoli titoli azionari. L’IDEM `e nato il 28 novembre 1994, con l’avvio delle negoziazioni telematiche sul FIB 30 (future sull’indice MIB30

). Le modalit`a di negoziazione avvengono in un’unica fase in continua, dalle 9.15 alle 17.40, in cui avviene anche la conclusione dei contratti. Le proposte di negoziazione sono immesse nel book in forma anonima e devono contenere specifiche informazioni circa lo strumento oggetto della negoziazione, la quantit`a, il tipo di operazione, il tipo di conto e le condizioni offer- te. Caratteristica principale di questo mercato `e che gli scambi possono essere effettuati soltanto attraverso la presenza di operatori chiamati market makers (iscritti nell’apposito albo), al fine ultimo di garantire la liquidit`a degli strumenti negoziati. Essi, infatti, sono degli intermediari finanziari che si impegnano a fornire in via continuativa proposte di acquisto e vendita su uno o pi`u strumenti finanziari, quotati sui mercati regolamentati,

2

Il Mib30 `e l’indice azionario che sinteticamente riassume l’andamento della borsa italiana, tramite i

30 titoli pi` u capitalizzati e scambiati sul listino. L’indice viene calcolato giornalmente durante la fase della

negoziazione continua con frequenza di un minuto sulla base dei prezzi degli ultimi contratti conclusi su

ciascuna azione componente.

per un ammontare minimo fissato di tali strumenti. Un investitore che desidera operare sugli strumenti finanziari negoziati sull’IDEM deve rivolgersi ad un intermediario, che con- fermi la sua adesione come clearing member alla Cassa di Compensazione e Garanzia; in particolare i soggetti abilitati ad operare sull’IDEM sono:

- Imprese d’investimento: SIM e imprese d’investimento comunitarie ed extra-comunitarie;

- Banche, se autorizzate dalla Banca d’Italia;

- Agenti di cambio ancora in carica, operanti solo come broker, immettendo ordini solo per i loro clienti e non propri.

Oltre all’IDEM esistono altri mercati regolamentati che trattano contratti derivati su tasso di interesse a livello internazionale, ovvero l’Eurex e il LIFFE.

Negli anni ’80 e ’90 gli scambi di contratti derivati sui mercati over the counter

e in borsa sono aumentati in maniera rapidissima; si `e dunque posta per gli operatori l’esigenza impellente di trovare metodologie in grado di studiare questi prodotti, e proteggersi dai relativi rischi...

1.5 Modelli di struttura a termine dei tassi d’interesse

Il primo passo nel processo di costruzione di un modello di pricing consiste nel caratte- rizzare l’ambiente nel quale si intende operare; le tre classiche ipotesi sul funzionamento del mercato che si `e soliti assumere sono quelle di non frizionalit` a, cio`e l’assenza di co- sti di transazione e di gravami fiscali, di completezza ovvero la disponibilit`a di titoli di scadenza qualsiasi, e infinita divisibilit`a degli stessi, e di assenza di arbitraggio, assenza di possibilit`a di guadagno non rischiose. E’chiaro che se l’insieme di ipotesi di base gene- ra un mondo molto lontano da quello reale, il modello relativo `e di scarsa utilit`a se non

3

Vengono chiamati cos`ı quei contratti che vengono negoziati in mercati privati, privi di

regolamentazione.

addirittura dannoso. Stabilite dunque le basi del modello occorre identificare i fattori che guidano l’evoluzione dei tassi.

Una prima suddivisione pu`o essere eseguita tra modelli discreti ed altri a tempo con- tinuo. Una differenza tra i due approcci consiste nel fatto che mentre nei modelli del primo tipo si parte col fare assunzioni direttamente sull’andamento di azioni, o di altri generici ”sottostanti”, in quelli del secondo si parte formulando ipotesi sull’andamento di variabili economiche (ad esempio il tasso a breve), e solo successivamente si analizzano le implicazioni del modello per i prezzi delle obbligazioni e delle opzioni.

Quest’ultimo approccio ha raggiunto la popolarit`a grazie al lavoro di Black e Scholes (1973) sul prezzaggio delle opzioni, ma anche grazie al lavoro di Merton (1973) ed altri. Ci`o nonostante in alcuni lavori di Pye (1966) `e possibile rinvenire modelli a tempo discreto capaci di catturare le meccaniche e i principi fondamentali dei modelli di term structure successivi.

1.5.1 Modelli a singolo fattore

La teoria della modellizzazione dei tassi di interesse si `e originariamente basata sull’as- sunzione di una specifica dinamica unidimensionale per il tasso istantaneo (o tasso spot) r. Modellizzare direttamente questa dinamica `e molto conveniente dato che tutte le gran- dezze fondamentali quali tassi e obbligazioni rimangono immediatamente definite, tramite argomenti di non arbitraggio, come valori di aspettazione di un funzionale opportunamente modificato del processo r.

La classe pi`u semplice di modelli di questo tipo prevede che il tasso a breve sia soluzione di una equazione differenziale stocastica della forma:

dr

= µ(r

)dt + σ(r

)dW

(1.1)

dove W `e un moto Browniano standard martingala sotto la misura di probabilit`a Q, µ : R → R e σ : R → R funzioni sufficientemente regolari da assicurare l’esistenza di una unica soluzione di 1.1.

Lo scotto da pagare per questa relativa semplicit`a `e l’impossibilit`a di far corrispondere la yield curve ad una data fissata del modello con quella del mercato.

Questa discrepanza tra la yield curve attuale e quella teorica viene eliminata introducendo, ad ogni istante corrente t, una dipendenza temporale per le variabili µ e σ, in modo che sia µ

: R × [0, ∞) → R e σ

: R × [0, ∞) → R, cos`ı che si ottinene:

dr

= µ(r

, s)ds + σ

(r

, s)dW

, s ≥ t (1.2)

Il modello calibrato (µ

, σ

) `e calcolato tramite algoritmi numerici, esempi dei quali so- no descritti in Black, Derman e Toy (1990) ed in Black e Karasinski (1992); tramite la calibrazione si pu`o ottenere un perfetto match tra yield curve teorica e di mercato.

E’ metodologia abbastanza comune poi inserire nel processo di calibratura anche informa- zioni correlate alla volatilit`a disponibili sul mercato tramite il prezzo di securities legate ad opzioni come ad esempio i cap

; in questo modo si potr`a cercare un modello in grado non solo di ricreare la yield curve del mercato, ma anche i prezzi dei cap osservati sul mercato.

Infine si tenga presente che la calibratura `e eseguita in modo da catturare le caratteristi- che di determinati oggetti finanziari, di solito quelli pi`u scambiati sul mercato, col fine di stimare, tramite una relazione che li colleghi ai precedenti, il prezzo di altri contratti meno comuni.

Supponiamo poi di aver calibrato il nostro modello al tempo t; altra pratica consueta `e quella di ricalibrarlo ad ogni istante successivo t + 1, in modo che esso resti consistente col

4

I CAPS sono un comune tipo di opzione su tasso di interesse. Gli interest rate caps appunto sono

stati creati per fornire protezione a chi contrae un prestito a tasso variabile, contro la possibilit`a che i tassi

d’interesse superino un certo livello, detto appunto cap. In pratica chi sottoscrive il contratto si garantisce

come tasso del prestito il minore tra il tasso al momento del pagamento e quello del cap.

prezzo di quegli oggetti presenti sul mercato utilizzati come benchmark; il lasso di tempo che intercorre tra una calibrazione e l’altra del modello `e uno di quei dati, affatto scontati e importantissimi a fini pratici, che `e necessario cercar di determinare.

La maggior parte, se non la totalit`a, dei modelli parametrici a singolo fattore comparsi in letteratura sono della forma:

dr

= [α

(t) + α

(t)r

+ α

(t)r

log(r

)]dt + [β

(t) + β

(t)r

]

dW

(1.3) dove naturalmente opportune restrizioni si applicano nei casi specifici ai coefficienti per richiedere l’esistenza e l’unicit`a della soluzione.

La seguente tabella riporta alcuni esempi notevoli di questa classe, indicando con

·

i coefficienti di volta in volta diversi da zero, e il valore scelto per l’esponente γ.

α

α

α

β

β

γ

Black-Derman-Toy · · · 1.0

Brennan Schwartz · · · 1.0

Cox-Ingersoll-Ross · · · 1.5

Dothan · 1.0

Merton · · 1.0

Pearson-Sun · · · · 0.5

Vasicek · · · 1.0

Il successo di modelli come quello di Vasicek (1977) e quello di Cox, Ingersoll e Ross (1985)

`e dovuto principalmente alla possibilit`a di ottenere delle soluzioni analitiche per il prezzo di obbligazioni ed opzioni; ci`o infatti li rende strumenti abbastanza semplici da maneggiare in pratica.

Riportiamo allora le caratteristiche di alcuni dei pi`u noti di questi primi modelli unifat-

toriali nella seguente tabella, dove per ognuno `e indicata la dinamica, la possibilit`a per

la variabile di assumere solo valori positivi (r > 0), la distribuzione (r˜), l’esistenza di soluzioni esplicite per il pricing di obbligazioni (AB o Analitycal Bond) ed opzioni (AO).

Modello Dinamica r > 0 r˜ AB AO

CIR dr

= α[γ − r

]dt + ρ √

r

dW

s`ı χ

non centrato S`ı S`ı Dothan dr

= αr

dt + ρr

dW

S`ı Log-normale S`ı No Hull e White dr

= α[γ

− r

]dt + ρdW

No Normale S`ı S`ı Vasicek dr

= α[γ − r

]dt + ρdW

No Normale S`ı S`ı

1.5.2 Modelli multifattoriali

Mentre i modelli a singolo fattore offrono trattabilit`a, c’`e motivo di ritenere che una singola variabile sia insufficiente per catturare ragionevolmente bene la distribuzione dei cambiamenti futuri della yield-curve.

L’evidenza econometrica in favore di questa visione include il lavoro di Chen e Scott (1992), Duffie e Singleton (1995), Dai e Singleton (1996), Litterman e Scheinkman (1988), Pearson e Sun (1994) etc..

In linea di principio la curva dei tassi trova la sua collocazione matematica ideale in uno spazio di funzioni infinito-dimensionale; per ragioni pratiche tuttavia si ricorre ad un nu- mero finito di variabili di stato, ed `e un problema pratico quello di determinare quale sia il numero di queste variabili sufficiente ad offrire ragionevolezza di risultati e trattabilit`a. Al- cuni dei lavori menzionati poco sopra suggeriscono che due o tre variabili di stato possono essere sufficienti per molti scopi pratici.

In ogni caso la forma generale `e quella di un processo X, definito in un qualche aperto D di R

, soluzione dell’equazione differenziale stocastica (SDE) vettoriale:

dX

= µ(X

)dt + σ(X

)dW

dove W `e un moto Browniano standard in R

, sotto la misura di probabilit`a Q, e dove µ : D → R

e σ : D → R

soddisfano sufficienti condizioni di regolarit`a per l’esistenza e l’unicit`a della soluzione.Si potrebbe anche aggiungere una dipendenza dal tempo di queste due funzioni, senza variare l’idea principale.

Restrizioni sui coefficienti analoghe a quelle per i modelli unifattoriali ma pi`u complicate sono mostrate nei lavori di Duffie e Kan (1996), per garantire esistenza ed unicit`a della soluzione

1.5.3 Modelli alla Heath, Jarrow e Morton

Nei casi visti fino ad ora per modellizzare la struttura a termine si `e sempre partiti da un processo per il tasso a breve della forma r

= R(X

, t), dove X risolve una data equazione differenziale stocastica. Questo approccio aveva il vantaggio di poter essere trattato in uno spazio delle fasi finito-dimensionale; l’alternativa fornita da questa nuova classe di modelli

`e quella di prendere l’intera yield curve come variabile di stato.

Vediamo sommariamente alcuni dettagli:

Il prezzo forward

al tempo t di uno zero coupon bond con inizio in τ < t, e maturity in s > τ si pu`o scrivere come il rapporto v

/v

; allora il tasso forward associato rimane

5

Una obbligazione pagher`a interessi differenti a seconda della sua durata (perch`e `e ovvio che chi decide di impegnare i propri risparmi per pi` u tempo venga in qualche modo ricompensato). Supponiamo che il tasso spot ad un anno sia il 10% , e quello a due anni sia il 10,5% annuo. Sottoscrivere una obbligazione per 2 anni al 10,5% `e come ricevere un interesse del 10% per il primo anno e dell’ 11% nel secondo anno, come si pu`o vedere qui di seguito (utilizzando per gli interessi la legge della capitalizzazione continua):

e

e

= e

Il tasso dell’ 11% `e detto tasso forward.

definito come:

Φ

≡ log(v

) − log(v

)

s − τ (1.4)

Da questo si ricava teoricamente il tasso forward istantaneo, definito per ogni istante t, e inizio in τ ≥ t :

f (t, τ ) = lim

s→τ

Φ

Risulta ora conveniente esprimere il prezzo al tempo t di uno zero coupon bond con ma- turity in s cos`ı:

v

= exp µ

− Z

t

f (t, u)du

¶

(1.5)

in modo che si pu`o ricavare la term structure dai tassi foreward istantanei e vice versa.

Scelto un modello stocastico f per i tassi foreward, si assumer`a che r

= f (t, t) definisca il processo per il tasso a breve r; ci`o vuol dire che r

verr`a trattato come il limite per una maturity che va a zero di tassi obbligazionari (per giustificazioni su questo metodo si pu`o vedere Carverhill (1994)).

Il modello HJM dei tassi foreward, per ogni fissata maturity s, `e dato da:

f (t, s) = f (0, s) + Z

0

µ(u, s)du + Z

0

σ(u, s)dW

, t ≤ s (1.6)

dove {µ(t, s) : 0 ≤ t ≤ s} e {σ(t, s) : 0 ≤ t ≤ s} sono processi a valori rispettivamente in

R ed in R

, scelti in modo che 1.6 sia ben definita. Possiamo pensare a µ ed a σ come a

funzioni misurabili su T × Ω, dove T ={(t,s)∈ R

: t ≤ s}.

Si pu`o inoltre dimostrare che sussiste una importante relazione di consistenza tra µ e σ, del tipo:

µ(t, s) = σ(t, s) Z

t

σ(t, u)

du (1.7)

Data la 1.7 possiamo utilizzare la definizione di r

= f (t, t) del tasso a breve per ottenere:

r

= f (0, t) + Z

0

σ(v, t) Z

v

σ(v, u)

dudv + Z

0

σ(v, t)d ˆ B

Vediamo pertanto che la conoscenza della volatilit`a forward σ, e della curva iniziale dei

tassi forward {f (0, s), s ≥ 0} sono sufficienti per la determinazione del prezzo di qualsiasi

oggetto finanziario.

1.6 Equazione della term structure e modelli affini

Abbiamo gi`a illustrato da un punto di vista teorico cosa si intende con struttura per scadenza; vediamo adesso in quali circostanze `e possibile ricavarne una formulazione ma- tematicamente risolubile.

Definiamo nel modo seguente il valore al tempo t > 0 di un deposito bancario effettuato al tempo t=0, con un importo iniziale unitario:

B(t) = exp

·Z

0

r(s)ds

¸

dove r(s) `e il tasso spot.

Supponiamo che r sia un processo diffusivo del tipo:

dr

= µ

dt + σ

dW

Consideriamo ora il processo di prezzo P(T) di un T-bond emesso al tempo t = 0 e con scadenza al tempo T:

P (T ) = hP (t, T ) | t ∈ [0, T ]i

con funzione di contratto a scadenza data da:

P (T, T ) = 1

Supporremo che il prezzo P(t,T) sia una funzione che dipende solo dal tasso istantaneo

P (t, T ) = F (r(t), t, T )

e che il mercato dei T-bond sia arbitrage-free.

Allora si pu`o dimostrare, utilizzando il lemma di Ito e sfruttando l’assenza di possibilit`a di arbitraggio del nostro mercato ideale, che F soddisfa l’equazione della struttura a termine ( per calcolo completo vedere [?]):

· ∂

∂t + σ

(r, t) 2

∂

∂r

+ (µ(r, t) − λ(r, t)σ(r, t)) ∂

∂r

¸

F (r, t, T ) = rF (r, t, T ), F (r, T, T ) = 1 (1.8) dove λ(r, t) indica il premio per il rischio per unit`a di volatilit`a.

Una classe di modelli di r(t) per cui 1.8 ammette soluzione in forma chiusa sono i cosiddetti modelli affini, quelli cio`e in cui sia il termine di deriva che il quadrato della volatilit`a sono funzioni lineari (o trasformazioni affini dipendenti dal tempo) del tasso spot:

µ

(r, t) = α(t)r + β(t) σ

(r, t) = γ(t)r + δ(t)

In questi casi F(r,t,T) `e della forma:

F (r, t, T ) = exp[−(χ(t, T ) + τ (t, T )r)]

dove χ e τ sono le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali di Riccati:

∂τ (t, T )

∂t + α(t)τ (t, T ) − 1

2 γ(t)τ

(t, T ) = −1 τ (T, T ) = 0

∂χ(t, T )

∂t =

· 1

2 δ(t)τ (t, T ) − β(t)

¸

τ (t, T ) χ(T, T ) = 0

in quanto dall’equazione della struttura a temine otteniamo

·

− ∂

∂t χ(t, T ) − β(t)τ (t, T ) + δ(t)

2 τ

(t, T )

¸ +r

·

− ∂

∂t τ (t, T ) − α(t)τ (t, T ) + γ(t)

2 τ

(t, T ) − 1

¸

= 0

I modelli che rientrano in questa classe sono numerosi:

• Merton:

dr

= µdt + σdW

In questo caso ad esempio si ha:

∂τ (t, T )

∂t = −1 τ (T, T ) = 0

∂χ(t, T )

∂t = σ

6 (T − t)

− µ

2 (T − t)

e

F (r, t, T ) = exp

· σ

6 (T − t)

− µ

2 (T − t)

− (T − t)r

¸

Per grandi valori di T − t il prezzo del T-bond cresce irrealisticamente come

F (r, t, T ) → exp

· σ

6 (T − t)

¸

Ci`o `e dovuto al fatto che il tasso spot pu`o assumere valori illimitati, anche negativi, contraddicendo qualsiasi ipotesi di mercato razionale.

• Vasiˇcek:

dr

= −a(r

− b)dt + σdW

Osserviamo che

E(r

) = b + e

(r

− b)

e dunque se a > 0, il processo r

tende alla posizione di equilibrio r

=b. Quindi:

α(t)r + β(t) = a(b − r) = −ar + ab γ(t)r + δ(t) = σ

e

∂

∂t τ (t, T ) − aτ (t, T ) = −1 τ (T, T ) = 0

∂

∂ χ(t, T ) =

· σ

2 τ (t, T ) − ab

¸

τ (t, T ) χ(T, T ) = 0

con soluzioni:

τ (t, T ) = Z

t

e

ds = 1 − e

a e

χ(t, T ) = Z

t

·

ab − σ

2 τ (s, T )

¸

τ (s, T )ds

ovvero

χ(t, T ) = µ

b − σ

2a

¶

(T − t − τ (t, T ) + σ

2a τ

(t, T ) Quindi:

F (r, t, T ) = exp

·

− µ

b − σ

2a

¶

(T − t − τ (t, T )) − σ

4a τ

(t, T )

¸

Questo modello consente al tasso r

di assumere valori negativi, e quindi non `e risultato adatto per i nostri scopi. Osserviamo comunque che i tassi d’interesse calcolati tenendo presente il valore dell’inflazione possono divenire negativi, e dunque tale caratteristica non deve esser vista come qualcosa di estremamente irrealistico.

• Cox, Ingersoll e Ross:

dr

= a(b − r

)dt + σ √ r

dW

In questo caso

F (r, t, T ) = exp[−χ(t, T ) − rτ (t, T )]

dove:

∂τ (t, T )

∂t − aτ (t, T ) − σ

2 τ

(t, T ) = −1 τ (T, T ) = 0

∂χ(t, T )

∂t = −abτ (t, T ) χ(T, T ) = 0

Si pu`o dimostrare che:

τ (t, T ) = sinh(γ(T − t)

γ cosh(γ(T − t)) +

sinh(γ(T − t)) e

χ(t, T ) = − 2ab σ

ln

"

γe

γ cosh(γ(T − t)) +

sinh(γ(T − t))

#

con

γ = 1 2

√ a

+ σ

Questo `e il modello di cui ci si `e occupati pi`u in dettaglio, e quindi rimandiamo la sua discussione al capitolo successivo. Riportiamo comunque un possibile andamento della funzione F (r, t, T ).

Figura 1.6: Possibile andamento della funzione F (r, t, T ), per T = 100, α = 1, γ = 0.1,

σ = 0.5 e r = 1.

• Black, Derman e Toy:

dr

r

= µ(t)dt + σ(t)dW

• Ho e Lee

dr

= µ(t)dt + σ(t)dW

• Hull e White:

dr

= −a(t)(r

− b(t))dt + σ √

r

dW