Analisi dei moti alla Couette mediante il codice Fluent 6.0.20

(1)

Capitolo 5

Analisi dei moti alla Couette mediante il codice Fluent 6.0.20

In questo capitolo si riportano i risultati delle simulazioni eseguite allo scopo di verificare l’applicabilità del codice CFD FLUENT 6.0.20 per lo studio di casi con superfici solide in movimento. Le verifiche sono state effettuate in flusso laminare, confrontando i risultati ottenuti dalle simulazioni con i risultati teorici forniti dalla letteratura, ed in turbolento, confrontando tra loro i vari modelli disponibili in Fluent.

Queste verifiche serviranno come punto di partenza per impostare le simulazioni tridimensionali del problema della scatola ad ingranaggi.

Tutti i casi trattati sono andati a convergenza soddisfacendo il criterio di

convergenza di default del codice (residui

≤0.001

) come rappresentato in Figura

5.1.

(2)

5.1 Moto alla Couette

5.1.1 Descrizione del moto alla Couette

Il moto alla Couette è il moto di un fluido contenuto nello spazio tra due cilindri coassiali lunghi di raggi a

1

e a

2

che ruotano attorno al proprio asse con velocità angolare Ω

1

e Ω

2

(Figura 5.2).

Figura 5.2. Schema del moto alla couette

Le distribuzioni di velocità e di pressione tra i due cilindri sono indipendenti da φ e z (coordinate cilindriche polari mostrate in Figura 5.2) ed inoltre la velocità ha ovunque direzione azimutale. Queste assunzioni sono l’ovvia conseguenza della simmetria geometrica, ma l’instabilità può produrre un cambiamento del flusso con una struttura più complessa alla quale la seguente teoria non è più applicabile.

L’equazione di continuità ∂u

_φ

∂ φ = 0 è automaticamente soddisfatta e le componenti azimutale e radiale dell’equazione di Navier-Stokes diventano:

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ + −

=

₂^φ ^φ ^φ₂

2

1 µ

0 r

u dr du r dr

u d

(5-1)

Ω2

r φ

Ω1

a1

a2

(3)

dr dp r

u =−

−

2

ρ φ

(5-2)

con le condizioni al contorno:

1 1

φ

Ω a

u = per

r=a₁

2 2

φ

Ω a

u = per

r=a₂

Dalla prima equazione si ricava u

φ

che viene sostituita nella seconda per ottenere p. Si osserva che la distribuzione della velocità azimutale è determinata dal bilancio delle tensioni viscose, mentre la distribuzione di pressione è determinata dal bilancio tra il gradiente di pressione radiale e la forza centrifuga associata al moto circolare.

La soluzione per u

φ

è:

r Ar B

u

_φ

= + (5-3)

dove:

2 1 2 2

2 1 1 2 2

2

Ω

a a

a A a

−

= − , ( )

2 1 2 2

2 2 2 1 2

1

Ω

a a

a B a

−

= −

5.1.2 Stabilità del moto alla Couette

I risultati ottenuti nel paragrafo 5.1.1 sono validi solo per fluissi azimutali

(moto laminare). Tuttavia i flussi non sono sempre azimutali e l’instabilità può

portare a modelli più complessi da sviluppare.

(4)

quello interno. I punti alla destra dell’asse verticale corrispondono al caso in cui i due cilindri ruotano nello stesso verso, la parte sinistra della figura corrisponde al caso in cui i due cilindri ruotano in verso opposto.

Figura 5.3. Confronto tra le condizioni teoriche e sperimentali per l'instabilità del flusso alla Cosette con a2/a1=1.14.

5.2 Studio di un caso di moto laminare

In questa fase del lavoro sono state svolte due simulazioni bidimensionali sullo schema di Figura 5.2, basandosi sui risultati di Taylor (paragrafo 5.1.2): un cilindro di raggio a

1

ruota all’interno di un cilindro di raggio a

2

, all’interno dei quali è presente solo aria. Il raggio del cilindro interno è stato assunto pari a

m

a₁ =0.07

(dimensione corrispondente al raggio primitivo della ruota dentata 0 100 200 300

-100 -200

-300 -400

-500

100 200 300 400

Instabile

Stabile Punti osservati

Punti calcolati

( )

ν Ω₁a₁ a₂ −a₁

( )

ν Ω₂a₂ a₂ −a₁

(5)

essendo il rapporto dei raggi fissato sul valore di 1.14 per la corrispondenza con la teoria di Taylor. La velocità di rotazione del cilindro è assunta nulla, mentre il cilindro interno è stato fatto ruotare ad una velocità tale che il flusso all’interno dei due cilindri risulti laminare (stabile).

Basandosi sul grafico di Figura 5.3, è stato scelto un valore per il numero di Reynolds pari a 90; di conseguenza valendo la relazione:

( )

υ Ω₁a₁ a₂ a₁

Re −

=

ed essendo ^υ ⁼ ¹ ^, ⁴⁵ ^⋅ ¹⁰

⁻⁵

[ ] ^m ^s

²

per l’aria, si ottiene come velocità di rotazione interna:

[

rad s

]

687 .

1 =1

Ω

,

La prima verifica effettuata è il confronto tra il risultato teorico (paragrafo 5.1.2) con i risultati ottenuti con il codice CFD prima imponendo la sola condizione al contorno di velocità tangenziale per il cilindro interno (primo caso).

La seconda (secondo caso) è il confronto con i risultati della simulazione

numerica eseguita con il modello MRF (paragrafo 4.3). Le simulazioni sono state

effettuate in bidimensionale, data la simmetria del problema, considerando due

circonferenze di raggi a

1

e a

2

(6)

5.2.1 Primo caso: confronto andamento teorico e risultato ottenuto imponendo la condizione al contorno di velocità

Per la simulazione del primo caso è stata creata una griglia bidimensionale con il codice di pre-processing GAMBIT 2.0, illustrata nella Figura 5.5: le pareti delle due circonferenze sono state indicate come “wall”, la regione compresa fra le due circonferenze è stata creata come mesh fluida piana e, come condizione al contorno, è stata imposta la rotazione della parete del cilindro interno (Figura 5.4).

Figura 5.4. Impostazione della velocità sulla parete interna

Per quanto riguarda la griglia della regione fluida è stata scelta una mesh

uniforme con elementi quadrati di tipo “map” (Figura 5.5 e Figura 5.6).

(7)

Figura 5.5. Griglia per lo studio del primo caso

Figura 5.6. Particolare della mesh della zona fluida

Il risultato fornito da Fluent è quello illustrato dalla Figura 5.7.

Interval count = 10 Sullo spessore

Interval count = 50 Sul quarto della circonferenza

a

2

a

1

Ω

1

“wall”

Zona fluida

(8)

Fluent e graficati in Figura 5.8, mentre nella Tabella 5.2 sono riportati i valori teorici (formula (5-3))e graficati in Figura 5.9; in entrambe i casi la prima colonna indica il punto (coordinata y espressa in metri) nel quale si sta calcolando la velocità, mentre la seconda colonna indica la velocità, espressa in m/s, relativa al punto preso in considerazione.

In Figura 5.10 sono graficati i valori della Tabella 5.1 e della Tabella 5.2,

come si vede l’accordo è ottimo.

(9)

Linea di post-processing

(10)

Laminare c.c

Coordinata y [m] Velocità tangenziale [m/s]

0.071089 0.103565 0.072178 0.089559 0.073267 0.07594 0.074356 0.062657 0.075445 0.049669 0.076533 0.036938 0.077622 0.024433 0.078711 0.012127 0.0798 0

Tabella 5.1. Velocità per il primo caso

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08

Posizione [m]

Velocità tangenziale [m/s]

Cond. Contorno

Figura 5.8. Andamento della velocità lungo x

(11)

Teorico

Coordinata y [m] Velocità tangenziale [m/s]

0.071089 0.103004608 0.072178 0.089412318 0.073267 0.076043774 0.074356 0.062889146 0.075445 0.049939171 0.076533 0.037186277 0.077622 0.024619877 0.078711 0.012233362 0.0798 1.93675E-05

Tabella 5.2. Velocità teoriche

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08

Velocità tangenziale [m/s]

Teorico

(12)

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08

Posizione [m]

Teorico

Cond. Contorno

Figura 5.10. Confronto tra teorico e laminare con condizioni al contorno

5.2.2 Secondo caso: confronto andamento teorico e risultato ottenuto con il modello MRF

Per la simulazione del secondo caso è stata creata una griglia con il codice

GAMBIT 2.0, illustrata nella Figura 5.11, caratterizzate da due regioni fluide

separate da una linea indicata come “wall”: Fluent riconosce la superficie tra le

due regioni fluide come una parete solida che deve essere cambiata in superficie

interna. La regione compresa tra le parete intermedia e la circonferenza interna è

la zona in cui è applicata la condizione di movimento per la risoluzione con il

codice Fluent (MRF). La regione esterna alla circonferenza intermedia è la

porzione di canale trascinata dalla parte in movimento, mossa per diffusione dalla

quantità di moto. Lo spessore della zona fluida interna è assunta pari

all’addendum delle ruote dentate di prova, ovvero 0.0016 metri.

(13)

Figura 5.11. Griglia per la simulazione MRF (secondo caso)

Il risultato fornito da Fluent tramite la modellazione MRF è illustrato in Figura 5.12, dove sono rappresentati i vettori velocità del fluido

Similmente a quanto fatto in precedenza l’accuratezza dei risultati è stata valutata confrontando il profilo di velocità tangenziale calcolato dal codice lungo la line di post-processing di Figura 5.7 con profilo teorico, ottenuti sfruttando la formula (5-3).

Nella Tabella 5.3 e nella Tabella 5.4 sono riportati i valori numerici ottenuti con Fluent ed i corrispondenti valori teorici, confrontati graficamente in Figura 5.15.

Grid

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, lam) Apr 29, 2004

Ω

1

“wall”

Zona fluida esterna Zona fluida inerna Circonferenza

intermedia

(14)

Velocity Vectors Colored By Velocity Magnitude (m/s)

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, lam) Apr 29, 2004 1.13e-01

1.02e-01 9.12e-02 8.05e-02 6.98e-02 5.91e-02 4.84e-02 3.77e-02 2.70e-02 1.63e-02 5.55e-03

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, lam) Apr 29, 2004 1.13e-01

1.02e-01 9.12e-02 8.05e-02 6.98e-02 5.91e-02 4.84e-02 3.77e-02 2.70e-02 1.63e-02 5.55e-03

Figura 5.12. Vettori velocità della zona fluida

(15)

Modellazione laminare MRF

Coordinata y [m] Velocità tangenziale [m/s]

0.071089 0.10347 0.072178 0.0892902 0.073267 0.0755139 0.074356 0.0621503 0.075444 0.0491607 0.076533 0.0364973 0.077622 0.0241117 0.078711 0.0119586 0.0798 0

Tabella 5.3. Velocità per il secondo caso

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08

Posizione [m]

MRF

Figura 5.13. Andamento della velocità lungo x

(16)

Teorico

Coordinata y [m] Velocità lungo x [m/s]

0.071089 0.103004608 0.072178 0.089412318 0.073267 0.076043774 0.074356 0.062889146 0.075445 0.049939171 0.076533 0.037186277 0.077622 0.024619877 0.078711 0.012233362 0.0798 1.93675E-05

Tabella 5.4. Velocità teoriche

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08

Posizione [m]

Velocità lungo x [m/s]

Teorico

Figura 5.14. Andamento teorico della velocità lungo x

(17)

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

0,07 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,08 Posizione [m]

Velocità tangenziale [m/s]

Teorico MRF

Figura 5.15. Confronto tra teorico e laminare MRF

5.2.3 Conclusioni sull’applicazione delle due tecniche di risoluzione numerica

Confrontando i risultati ottenuti con le due simulazioni si evince che

entrambe i metodi forniscono risultati confrontabili e con livello di accuratezza

elevato. Nella Tabella 5.5 si riportata la velocità tangenziale calcolata nei due casi

ed il valore teorico predetto dall’equazione (5-3). Si può notare che, anche se le

differenza percentuale cresce man mano che ci si allontana dalla parete interna, il

valore massimo è inferiore all’1 %. Lo scostamento massimo dei dati calcolati con

le due tecniche dal valore teorico (Tabella 5.5) è inferiore al 2%. Per tale motivo

per le successive simulazioni bidimensionali verrà adottata la semplice condizione

al contorno di velocità per la parete interna.

(18)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0.07 0.071 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08

Velocità lungo x [m/s]

Posizione [m]

C.C.

MRF

Figura 5.16. Confronto tra i due modelli laminari

Laminare c.c. Laminare MRF Coordinata y [m] Velocità lungo x [m/s] Velocità lungo x [m/s]

Differenza percentuale

0.071089 0.103565 0.10347 0.0917

0.072178 0.089559 0.0892902 0.3001

0.073267 0.07594 0.0755139 0.5611

0.074356 0.062657 0.0621503 0.8087

0.075444 0.049669 0.0491607 1.0234

0.076533 0.036938 0.0364973 1.1931

0.077622 0.024433 0.0241117 1.315

0.078711 0.012127 0.0119586 1.3886

0.0798 0 0 -

Tabella 5.5. Confronto tra le due modellazioni

(19)

Velocità teorica [m/s] Velocità sperimentale c.c. [m/s] Differenza percentuale

0.103004608 0.103565 0.5411

0.089412318 0.089559 0.1638

0.076043774 0.07594 0.1365

0.062889146 0.062657 0.3691

0.049939171 0.049669 0.541

0.037186277 0.036938 0.6677

0.024619877 0.024433 0.759

0.012233362 0.012127 0.8694

1.93675E-05 0 -

Tabella 5.6. Valutazione dell’errore nel caso c. c.

Velocità teorica [m/s] Velocità sperimentale MRF [m/s] Differenza percentuale

0.103004608 0.10347 0.4498

0.089412318 0.0892902 0.1366

0.076043774 0.0755139 0.6968

0.062889146 0.0621503 1.1748

0.049939171 0.0491607 1.5588

0.037186277 0.0364973 1.8528

0.024619877 0.0241117 2.0641

0.012233362 0.0119586 2.246

1.93675E-05 0

(20)

5.3 Studio di un caso turbolento

Aumentando la velocità di rotazione da 1.687 rad/sec a 1570 rad/sec la condizione di moto passa da laminare a turbolento, poiché si passa dalla condizione di stabilità sotto la curva di Figura 5.3 alla condizione di instabilità sopra la curva stessa.

Di seguito si riportano i risultati delle simulazioni eseguiti con differenti modelli turbolenti presenti in Fluent, ovvero “Spalart-Allmaras”, “k-ε”, “k-ω”,

“Reynolds Stress”

Non essendo disponibili risultati teorici, l’indipendenza dei dati calcolati dalla discretizzazione spaziale è stata valutata utilizzando differenti griglie riportate in Figura 5.17: la prima con dieci nodi sullo spessore, la seconda con venti, la terza con trenta e la quarta con quaranta. Tutte e quattro le griglie assicurano valori dei parametri caratteristici Y

⁺

ed Y

^*

sulla superficie della parete interna ed esterna corrispondenti all’intervallo di validità della “Standard Wall Function” (SWF) per il trattamento della turbolenza alla parete (paragrafo 3.4.8)

Analogamente a quanto fatto per lo studio del caso laminare, il confronto è

stato eseguito lungo la linea di post-processing (Figura 5.7), nel quale sono

calcolati i profili di velocità, pressione ed energie cinetiche turbolente.

(21)

Grid

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A)Apr 29, 2004 Grid

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske)Apr 29, 2004

10 nodi sullo spessore 20 nodi sullo spessore

Grid

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske)Apr 29, 2004 Grid

30 nodi sullo spessore 40 nodi sullo spessore

Figura 5.17. Criteri di meshatura

(22)

5.3.1 Modello turbolento “Spalart-Allmaras”

Per questa simulazione è stata usata con l’opzione di default “vorticity- based production” nel pannello “viscous model”che considera che la turbolenza si trova solo vicino la parete, dove si genera la vorticità.

Figura 5.18. Costanti per il modello

Modello di turbolenza Spalart-Allmaras

N° di nodi sullo spessore 10 20 30 40

Numero di iterazioni 1446 2363 3496 5479

Tempo di convergenza 1.07 min 2 min 5 min 10 min Parete int. 106.595 50.9026 32.7314 23.6874 Y

⁺

Parete est. 54.4049 27.9523 17.4018 12.231

Parete int. - - - -

Y

^*

Parete est. - - - -

(23)

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A) Apr 29, 2004

Iterations

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1e+04 1e+02 1e+00 1e-02 1e-04 1e-06 1e-08 1e-10 nuty-velocity x-velocity continuityResiduals

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A)Apr 29, 2004

Iterations

2500 2250 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0 1e+04 1e+02 1e+00 1e-02 1e-04 1e-06 1e-08 1e-10 nuty-velocity x-velocity continuityResiduals

10 nodi sullo spessore 20 nodi sullo spessore

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A) Apr 29, 2004

Iterations

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1e+04 1e+02 1e+00 1e-02 1e-04 1e-06 1e-08 1e-10 nuty-velocity x-velocity continuityResiduals

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A)Apr 29, 2004

Iterations

5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1e+04 1e+02 1e+00 1e-02 1e-04 1e-06 1e-08 1e-10 nuty-velocity x-velocity continuityResiduals

30 nodi sullo spessore 40 nodi sullo spessore

Figura 5.19. Criteri di convergenza per il modello Spalart-Allmaras

(24)

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A) May 21, 2004 5.73e+01

5.40e+01 5.07e+01 4.74e+01 4.41e+01 4.08e+01 3.75e+01 3.43e+01

3.10e+01 2.77e+01 2.44e+01

5.40e+01 5.07e+01 4.74e+01 4.41e+01 4.08e+01 3.75e+01 3.43e+01

3.10e+01 2.77e+01 2.44e+01

10 nodi sullo spessore

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, S-A)Apr 29, 2004 6.50e+01

6.07e+01 5.65e+01 5.22e+01 4.79e+01 4.37e+01 3.94e+01 3.51e+01 3.09e+01 2.66e+01 2.24e+01

6.46e+01 5.95e+01 5.45e+01 4.94e+01 4.44e+01 3.93e+01 3.42e+01 2.92e+01 2.41e+01 1.91e+01

6.76e+01 6.20e+01 5.63e+01 5.06e+01 4.50e+01 3.93e+01 3.37e+01 2.80e+01 2.23e+01 1.67e+01

(25)

0 20 40 60 80 100 120

0.07 0.071 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08 Posizione [m]

Velocità [m/s]

Mesh10 Mesh20 Mesh 30 Mesh 40

Figura 5.21. Modello di turbolenza Spalart-Allmaras

In Figura 5.19 sono riportati gli andamenti dei residui per le quattro griglie: tutti i casi sono andati a convergenza per il criterio richiesto (10

^-3

).

In Figura 5.20 sono riportati i vettori velocità all’interno del canale: nella prima colonna si può notare l’andamento per l’intero canale, mentre nella seconda è mostrato un ingrandimento della zona superiore; in Figura 5.21 ed in Figura 5.22 si riportano i profili di velocità e di pressione sulla linea di post-processing.

Per una discussione più dettagliata si rimanda al paragrafo 5.3.5.

(26)

Contours of Dynamic Pressure (pascal)

1.85e+03 1.68e+03 1.52e+03 1.35e+03 1.19e+03 1.02e+03 8.58e+02

6.93e+02 5.29e+02 3.64e+02

1.85e+03 1.68e+03 1.52e+03 1.35e+03 1.19e+03 1.02e+03 8.58e+02

6.93e+02 5.29e+02 3.64e+02

2.36e+03 2.13e+03 1.90e+03 1.67e+03 1.45e+03 1.22e+03 9.90e+02

7.62e+02 5.34e+02 3.06e+02

2.36e+03 2.13e+03 1.90e+03 1.67e+03 1.45e+03 1.22e+03 9.90e+02

7.62e+02 5.34e+02 3.06e+02

2.70e+03 2.42e+03 2.15e+03 1.87e+03 1.60e+03 1.32e+03 1.05e+03 7.72e+02 4.97e+02 2.22e+02

2.98e+03 2.67e+03 2.35e+03 2.04e+03 1.73e+03 1.42e+03 1.11e+03 7.94e+02 4.82e+02 1.70e+02

(27)

5.3.2 Modello turbolento “k-ε”

Per questa simulazione è stata usata come modello k-ε il modello standard e come trattamento alla parete la “standard wall fuction” (paragrafo 3.4.8) nel pannello “viscous model”.

Figura 5.23. Costanti per il modello

Modello di turbolenza k-ε

N° di nodi sullo spessore 10 20 30 40

Numero di iterazioni 587 1003 1386 1704

Tempo di convergenza 29.52 sec 1 min 1.30 min 1.50 min Parete int. 111.048 54.2184 36.2237 27.6647 Y

⁺

Parete est. 62.1394 32.1777 21.3225 15.4202 Parete int. 109.88 54.0873 36.2564 27.7306 Y

^*

Parete est. 64.3126 32.743 21.586 15.5731

(28)

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske) Apr 29, 2004

Iterations

600 500 400 300 200 100 0 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 epsilon

ky-velocity x-velocity continuityResiduals

Scaled Residuals

Iterations

1200 1000 800 600 400 200 0 1e+01

1e+00

1e-01

1e-02

1e-03

1e-04

1e-05 epsilon

10 nodi sullo spessore 20 nodi sullo spessore

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske) Apr 29, 2004

Iterations

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 epsilon

Scaled Residuals

Iterations

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1e+00

1e-01

1e-02

1e-03

1e-04

1e-05 epsilon

30 nodi sullo spessore 40 nodi sullo spessore

Figura 5.24. Criteri di convergenza per il modello k-ε

(29)

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske) May 21, 2004 5.42e+01

5.16e+01 4.89e+01 4.63e+01 4.36e+01 4.09e+01 3.83e+01 3.56e+01

3.29e+01 3.03e+01 2.76e+01

5.16e+01 4.89e+01 4.63e+01 4.36e+01 4.09e+01 3.83e+01 3.56e+01

3.29e+01 3.03e+01 2.76e+01

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, ske)Apr 29, 2004 6.15e+01

5.79e+01 5.44e+01 5.08e+01 4.73e+01 4.37e+01 4.02e+01 3.66e+01 3.31e+01 2.95e+01 2.60e+01

6.06e+01 5.65e+01 5.25e+01 4.84e+01 4.44e+01 4.03e+01 3.63e+01 3.22e+01 2.81e+01 2.41e+01

6.59e+01 6.15e+01 5.71e+01 5.27e+01 4.83e+01 4.39e+01 3.95e+01 3.51e+01 3.07e+01 2.63e+01

(30)

0 20 40 60 80 100 120

0.07 0.071 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08 Posizione [m]

Velocità [m/s]

Figura 5.26. Confronto tra le mesh per il modello k-ε

In Figura 5.24 sono riportati gli andamenti dei residui per le quattro griglie: tutti i casi sono andati a convergenza per il criterio richiesto (10

^-3

).

In Figura 5.25 sono riportati i vettori velocità all’interno del canale: nella prima colonna si può notare l’andamento per l’intero canale, mentre nella seconda è mostrato un ingrandimento della zona superiore; in Figura 5.26 ed in Figura 5.27 si riporta il profilo di velocità e di pressione sulla linea di post-processing.

Per una discussione più dettagliata si rimanda al paragrafo 5.3.5.

(31)

1.67e+03 1.54e+03 1.40e+03 1.27e+03 1.13e+03 1.00e+03 8.67e+02

7.34e+02 6.00e+02 4.67e+02

1.67e+03 1.54e+03 1.40e+03 1.27e+03 1.13e+03 1.00e+03 8.67e+02

7.34e+02 6.00e+02 4.67e+02

2.12e+03 1.93e+03 1.74e+03 1.55e+03 1.36e+03 1.17e+03 9.84e+02

7.94e+02 6.04e+02 4.14e+02

2.12e+03 1.93e+03 1.74e+03 1.55e+03 1.36e+03 1.17e+03 9.84e+02

7.94e+02 6.04e+02 4.14e+02

2.34e+03 2.12e+03 1.90e+03 1.68e+03 1.46e+03 1.24e+03 1.02e+03 7.96e+02 5.76e+02 3.56e+02

2.66e+03 2.43e+03 2.19e+03 1.95e+03 1.71e+03 1.48e+03 1.24e+03 1.00e+03 7.67e+02 5.30e+02

(32)

5.3.3 Modello turbolento “k-ω”

Per questa simulazione è stata usata come modello k-ω il modello standard e come opzione di default la “shear flow corrections” (correzione compresa nella modellazione k-ω) nel pannello “viscous model”.

Figura 5.28. Constanti del modello

Modello di turbolenza k-ω

N° di nodi sullo spessore 10 20 30 40

Numero di iterazioni 395 321 93 105

Tempo di convergenza 21.73 sec 40 sec 15 sec 20 sec Parete int. 111.489 57.8272 46.7682 36.0322 Y

⁺

Parete est. 58.5453 25.7355 6.3582 2.14762 Parete int. 114.594 61.1935 50.176 39.2521 Y

^*

Parete est. 63.0308 28.8749 8.70759 2.29509

(33)

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw) Apr 29, 2004

Iterations

400 350 300 250 200 150 100 50 0 1e+04 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 omega

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw)Apr 29, 2004

Iterations

350 300 250 200 150 100 50 0 1e+04 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 omega

10 nodi sullo spessore 20 nodi sullo spessore

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw) Apr 29, 2004

Iterations

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1e+04 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 omega

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw)Apr 29, 2004

Iterations

120 100 80 60 40 20 0 1e+04 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 omega

30 nodi sullo spessore 40 nodi sullo spessore

Figura 5.29. Criteri di convergenza per il modello k-ω

(34)

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw) May 21, 2004 5.58e+01

5.27e+01 4.96e+01 4.65e+01 4.34e+01 4.04e+01 3.73e+01 3.42e+01

3.11e+01 2.80e+01 2.49e+01

5.27e+01 4.96e+01 4.65e+01 4.34e+01 4.04e+01 3.73e+01 3.42e+01

3.11e+01 2.80e+01 2.49e+01

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, skw)Apr 29, 2004 6.04e+01

5.62e+01 5.19e+01 4.77e+01 4.35e+01 3.92e+01 3.50e+01 3.08e+01 2.65e+01 2.23e+01 1.81e+01

4.76e+01 4.27e+01 3.77e+01 3.27e+01 2.78e+01 2.28e+01 1.79e+01 1.29e+01 7.98e+00 3.03e+00

4.91e+01 4.37e+01 3.83e+01 3.29e+01 2.75e+01 2.21e+01 1.67e+01 1.13e+01 5.90e+00 5.08e-01

(35)

0 20 40 60 80 100 120

0.07 0.071 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08 Posizione [m]

Velocità [m/s]

Figura 5.31. Confronto tra le mesh per il modello k-ω

In Figura 5.29 sono riportati gli andamenti dei residui per le quattro griglie: tutti i casi sono andati a convergenza per il criterio richiesto (10

^-3

).

In Figura 5.30 sono riportati i vettori velocità all’interno del canale: nella prima colonna si può notare l’andamento per l’intero canale, mentre nella seconda è mostrato un ingrandimento della zona superiore; in Figura 5.31 ed in Figura 5.32 si riportano i profili di velocità e di pressione sulla linea di post-processing.

Per una discussione più dettagliata si rimanda al paragrafo 5.3.5.

(36)

1.85e+03 1.68e+03 1.52e+03 1.35e+03 1.19e+03 1.02e+03 8.58e+02 6.93e+02 5.29e+02 3.64e+02

2.03e+03 1.83e+03 1.62e+03 1.42e+03 1.22e+03 1.01e+03 8.10e+02

6.07e+02 4.04e+02 2.00e+02

2.03e+03 1.83e+03 1.62e+03 1.42e+03 1.22e+03 1.01e+03 8.10e+02 6.07e+02 4.04e+02 2.00e+02

1.52e+03 1.35e+03 1.19e+03 1.02e+03 8.49e+02 6.80e+02 5.12e+02

3.43e+02 1.74e+02 5.63e+00

1.52e+03 1.35e+03 1.19e+03 1.02e+03 8.49e+02 6.80e+02 5.12e+02

3.43e+02 1.74e+02 5.63e+00

1.64e+03 1.45e+03 1.27e+03 1.09e+03 9.08e+02 7.27e+02 5.45e+02

3.63e+02 1.82e+02 1.58e-01

1.64e+03 1.45e+03 1.27e+03 1.09e+03 9.08e+02 7.27e+02 5.45e+02

3.63e+02 1.82e+02 1.58e-01

(37)

5.3.4 Modello turbolento “Reynolds Stress”

Per questa simulazione sono state usate come opzioni per il modello

“Reynolds Stress” la “wall B. C. from k equation” e “wall reflection effect” e come trattamento alla parete la “standard wall fuction” nel pannello “viscous model”.

Figura 5.33. Costanti del modello

Modello di turbolenza Reynolds Stress

N° di nodi sullo spessore 10 20 30 40

Numero di iterazioni 404 472 177 211

Tempo di convergenza 25.48 sec 50 sec 30 sec 40 sec Parete int. 118.86 60.1747 47.9821 36.1072 Y

⁺

Parete est. 67.2474 32.7911 11.5281 6.14944 Parete int. 117.112 59.6953 47.8673 36.0546 Y

^*

Parete est. 67.0766 32.6111 13.7004 8.44856

(38)

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM) Apr 29, 2004

Iterations

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 uv-stress

ww-stress vv-stress uu-stress epsilon ky-velocity x-velocity continuityResiduals

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM)May 01, 2004

Iterations

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 uv-stress ww-stress vv-stress uu-stress epsilon k y-velocity x-velocity continuityResiduals

10 nodi sullo spessore 20 nodi sullo spessore

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM) May 01, 2004

Iterations

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 uv-stress ww-stress vv-stress uu-stress epsilon ky-velocity x-velocity continuityResiduals

Scaled Residuals

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM)May 01, 2004

Iterations

225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 uv-stress ww-stress vv-stress uu-stress epsilon k y-velocity x-velocity continuityResiduals

30 nodi sullo spessore 40 nodi sullo spessore

Figura 5.34. Criteri di convergenza per il modello Reynolds Stress

(39)

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM) May 21, 2004 5.01e+01

4.82e+01 4.62e+01 4.43e+01 4.24e+01 4.05e+01 3.86e+01 3.67e+01

3.48e+01 3.29e+01 3.09e+01

4.82e+01 4.62e+01 4.43e+01 4.24e+01 4.05e+01 3.86e+01 3.67e+01

3.48e+01 3.29e+01 3.09e+01

FLUENT 6.0 (2d, dp, segregated, RSM)May 01, 2004 5.50e+01

5.22e+01 4.94e+01 4.66e+01 4.38e+01 4.10e+01 3.82e+01 3.54e+01 3.26e+01 2.99e+01 2.71e+01

4.30e+01 3.91e+01 3.52e+01 3.13e+01 2.74e+01 2.35e+01 1.96e+01 1.57e+01 1.18e+01 7.90e+00

4.97e+01 4.50e+01 4.03e+01 3.57e+01 3.10e+01 2.63e+01 2.17e+01 1.70e+01 1.23e+01 7.68e+00

(40)

0 20 40 60 80 100 120

0.07 0.071 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08 Posizione [m]

Velocità [m/s]

Figura 5.36. Confronto tra le mesh per il modello Reynolds Stress

In Figura 5.34 sono riportati gli andamenti dei residui per le quattro griglie: tutti i casi sono andati a convergenza per il criterio richiesto (10

^-3

).

In Figura 5.35 sono riportati i vettori velocità all’interno del canale: nella prima colonna si può notare l’andamento per l’intero canale, mentre nella seconda è mostrato un ingrandimento della zona superiore; in Figura 5.36 ed in Figura 5.37 si riportano i profili di velocità e di pressione sulla linea di post-processing.

Per una discussione più dettagliata si rimanda al paragrafo 5.3.5.

(41)

1.44e+03 1.35e+03 1.25e+03 1.16e+03 1.06e+03 9.66e+02 8.71e+02

7.76e+02 6.82e+02 5.87e+02

1.44e+03 1.35e+03 1.25e+03 1.16e+03 1.06e+03 9.66e+02 8.71e+02

7.76e+02 6.82e+02 5.87e+02

1.72e+03 1.57e+03 1.43e+03 1.29e+03 1.15e+03 1.01e+03 8.70e+02

7.30e+02 5.89e+02 4.48e+02

1.72e+03 1.57e+03 1.43e+03 1.29e+03 1.15e+03 1.01e+03 8.70e+02

7.30e+02 5.89e+02 4.48e+02

1.22e+03 1.09e+03 9.55e+02 8.24e+02 6.93e+02 5.62e+02 4.32e+02 3.01e+02 1.70e+02 3.86e+01

1.51e+03 1.36e+03 1.21e+03 1.06e+03 9.09e+02 7.59e+02 6.08e+02 4.58e+02 3.07e+02 1.56e+02

Analisi dei moti alla Couette mediante il codice Fluent 6.0.20

Capitolo 5