Analisi Matematica 1 - Canale Lj-O
Foglio di esercizi n. 7
1. Per ciascuna funzione determinare il polinomio di Taylor centrato in x0 di ordine n.
xx, x0 = 1, n = 4
a. log
x
2 − x2
, x0 = 1, n = 3 b.
e−x2
(1 − 2x)(x2+ 1), x0 = 0, n = 4
c. log(cos(x))
1 + sin2(x), x0 = 0, n = 5 d.
arctan(x − x2)
√1 + 3x2 , x0 = 0, n = 4
e. f. p1 + cos2(x), x0 = 3π/2, n = 4
2. Calcolare i seguenti limiti:
x→+∞lim
x2cos(5/x) − (x2− x − 3)e1/x tanh(x)
a. lim
x→0 1 + tanh(x) + log(1 − x + x2)1/x2
b.
x→0lim+
x2log2(sin(x) + 1x) p1 + 2x log(x) − 1 − x log(x)
c. lim
x→π/4
2
tan(x) − 1− 1
√2 sin(x) − 1
d.
x→0lim
x2(cos(2 sin(x)) − cos(2x)) x5+ x2− sin(x2) − x5e−x
e. lim
x→+∞
log2(x) (x + 4)x (x + log(x))x− xx+1 f.
3. Per ciascuna funzione f tracciarne il grafico specificando il dominio, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, i massimi e i minimi relativi e assoluti, i punti di non derivabilit`a, gli intervalli di convessit`a/concavit`a e i flessi.
f (x) =
√2x − x2 1 − x
a. b. f (x) = e−2x2 + 1 − |x|
f (x) = |x2− 4| − 4 (x − 2)2
c. f (x) = arctan
|x| + 1 x
d.
4. Fare un esempio di:
una funzione definita in R tale che x = 0 `e un punto di minimo asso- luto, strettamente decrescente in (0, +∞) e strettamente crescente in (−∞, 0);
a.
un polinomio con almeno due punti di flesso tale che le rette tangenti in tali punti siano ortogonali;
b.
una retta y = mx + q che sta tra il grafico di log(x) e il grafico di 2 + (x − 5)2 ossia tale che ∀x > 0, log(x) ≤ mx + q ≤ 2 + (x − 5)2. c.
