Parte 5: modellazione ed analisi.

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(1)Parte 5: modellazione ed analisi. Parte 5: modellazione ed analisi.. 5.1 Impostazione del lavoro. L’oggetto di studio delle analisi eseguite è il complesso della cupola e della sottostruttura che la sostiene. In merito a tale porzione del duomo, compresa tra l’aula e la zona che comprende il presbiterio e l’abside, sono state eseguite valutazioni strutturali che consistono in una analisi statica ed una dinamica. Le analisi sono state condotte con l’ausilio di due programmi di calcolo basati sul metodo degli elementi finiti: Straus7 e NOSA-ITACA. Straus7 è un noto programma, ampiamente utilizzato nel panorama delle analisi FEM, dedicato alla risoluzione di problemi di vario genere. NOSA-ITACA è uno strumento informatico, realizzato dal Laboratorio Meccanica dei materiali e delle strutture di ISTI-CNR in collaborazione con il Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale dell’Università degli studi di Firenze, nell’ambito del Progetto PAR-FAS linea di azione 1.1.a.3, finanziato dalla Regione Toscana. Il progetto è articolato in un’attività di ricerca finalizzata allo studio di procedure che consentano di valutare la sicurezza statica e la vulnerabilità sismica di costruzioni murarie e nello sviluppo di una piattaforma integrata costituita dal codice di calcolo agli elementi finiti NOSA, sviluppato a partire dagli anni 80 dal Laboratorio di ISTI-CNR, e dal codice grafico interattivo SALOME per la definizione della geometria della struttura da analizzare e per la visualizzazione dei risultati delle analisi strutturali. Il codice NOSA fino ad oggi è stato utilizzato per lo studio di numerose costruzioni in muratura tra le quali: l’arco scenico del teatro Goldoni di Livorno, l’Arsenale Mediceo di Pisa e il campanile di Buti.. 115.

(2) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.2 Il materiale masonry-like e il codice NOSA 5.2.1 Il legame costitutivo La muratura è, in genere, un materiale eterogeneo e anisotropo il cui comportamento meccanico dipende anche dalle tecniche di costruzione. E’ quindi veramente difficile formulare un’equazione costitutiva abbastanza generale da descrivere in modo realistico la risposta del materiale e nello stesso tempo sufficientemente semplice da poter essere utilizzata per risolvere i problemi al contorno che s’incontrano nelle applicazioni. Si può tuttavia osservare che materiali come le murature, così come le rocce, che presentano un comportamento elastico in compressione, possono sopportare solo trazioni limitate: per questo, numerosi studiosi hanno pensato di trascurare la resistenza a trazione della muratura nella determinazione dello stato di tensione del continuo. Sulla base di questa ipotesi sono stati formulati legami costitutivi tra i quali quello del cosiddetto materiale “masonry-like” che è uno dei più studiati sia per quanto riguarda gli aspetti teorici sia per le possibilità applicative. In particolare Di Pasquale, Del Piero e altri hanno dimostrato importanti proprietà di questa equazione costitutiva e determinato condizione per l’ammissibilità del carico. Si tratta di un materiale elastico non lineare caratterizzato da una serie d’ipotesi che andiamo ad esaminare. Premettiamo alcune notazioni indispensabili.. Sia N lo spazio vettoriale tridimensionale e lo spazio delle applicazioni lineari da. a , i cui elementi sono detti tensori del secondo ordine, dotato del prodotto interno definito, per e ∈ , da ∙ = ( ∙ ), indicando con la traccia.. Con si indica il sottospazio di costituito da tensori simmetrici; un tensore. simmetrico si definisce semidefinito positivo se risulta. ∙ ≥ 0 , per ogni n ∈ ;. analogamente si dice semidefinito negativo se per ogni n ∈ si ha ∙ ≤ 0. E’ noto che, condizione necessaria e sufficiente affinché un tensore simmetrico sia semidefinito positivo (rispettivamente negativo) è che i suoi autovalori siano tutti non negativi (rispettivamente non positivi).. 116.

(3) Parte 5: modellazione ed analisi. Indichiamo con e i sottoinsiemi di costituiti dai tensori semidefiniti positivi e negativi, rispettivamente. Per ∈ , talvolta scriveremo ≤ 0 per. indicare che è un elemento di e ≥ 0 per indicare un elemento di . Due. tensori simmetrici e si dicono coassiali se hanno gli stessi autovettori. E’ noto che e sono coassiali se e solo se commutano, ovvero se = .. Sia il tensore degli sforzi di Cauchy ed il tensore delle deformazioni infinitesime, parte simmetrica del gradiente di spostamento.. a) Il materiale non sopporta la trazione, le eventuali tensioni devono essere di compressione e quindi le tensioni principali devono essere non positive. Pertanto si richiede che risulti ≤ 0.. b) Il tensore di deformazione può pensarsi composto additivamente da una quota elastica ed una quota anelastica . Poiché rappresenta la quota di deformazione dovuta alla presenza di fratture si richiede che: = + , ≥ 0 .. (6.1). c) Si ipotizza che sussista una relazione lineare tra il tensore degli sforzi e quello delle deformazioni elastiche :. = ! [ ]. (6.2). dove !, detto tensore di elasticità, è un tensore del quarto ordine definito. positivo. Nel caso in cui la dipendenza tra ed sia isotropa, esistono due costanti. $ e %, dette costanti di Lamè del materiale, che soddisfano la. condizione. % >0,. 2% + 3$ > 0 ,. (6.3). tali che = ! [ ] = 2% + $ ( ) ) .. (6.4). Si richiede inoltre che il lavoro necessario per la deformazione di frattura sia nullo, ∙ = 0 ;. (6.5). quest’ipotesi consente di affermare che se in una direzione si apre una fessura, ovvero se. ∙ > 0 ,. (6.6). 117.

(4) Parte 5: modellazione ed analisi. allora in quella direzione è nulla la componente normale dello sforzo, cioè ∙ = 0 .. (6.7). Un materiale masonry-like isotropo è quindi caratterizzato dalle seguenti relazioni: ∈ , + = + , ∈ , , + = ! [ ] , * ∙ = 0 .. (6.8). Il legame così definito risulta ben formulato nel senso che, assegnato comunque ,. esistono unici e che soddisfano questo sistema. Si può provare che questo. materiale è iperelastico; precisamente lo sforzo è la derivata rispetto alla deformazione della funzione scalare .() = 0 () ∙ ; pertanto il lavoro delle forze interne è nullo /. in ogni ciclo chiuso di deformazione. Inoltre , , 1 risultano coassiali;. quest’ultima proprietà, valida solo nel caso di materiali isotropi, risulta molto utile per determinare la soluzione esplicita dell’equazione costitutiva. Le condizioni poste sui coefficienti di Lamè garantiscono che il legame tra ed sia invertibile; in effetti si. ha:. = % − % (2% + 3$)( ) ) 0 0 /. 3. (6.9). Lucchesi ed al. Hanno generalizzato l’equazione costitutiva proposta da Del Piero per tener conto del fatto che le murature possono reagire, anche se debolmente, a trazione. permettendo agli sforzi principali di raggiungere un valore 45 > 0 in corrispondenza. del quale si manifesta la frattura; tale valore è da ricercarsi sperimentalmente. Per semplicità il materiale così descritto verrà chiamato comunque masonry-like. Bisogna notare tuttavia che l’applicazione di questa legge alle murature non tiene conto del fatto che due parti di un corpo separate da una frattura non possono scambiarsi tensioni: le ipotesi assunte fanno si che le parti continuino a trasmettere la massima resistenza a trazione considerata. Fino ad ora si è parlato di materiali non resistenti a trazione ed infinitamente a compressione; è talvolta opportuno considerare il materiale limitatamente resistente a compressione, oppure debolmente resistente a trazione e limitatamente a. 118.

(5) Parte 5: modellazione ed analisi. compressione, oppure debolmente resistente a trazione e infinitamente a compressione. Queste possibilità sono illustrate nei seguenti schemi.. Fig. 57. Possibili legami costitutivi impiegati.. Tuttavia è bene tenere presente che nelle applicazioni viene generalmente considerata una resistenza a trazione nulla e una resistenza a compressione limitata o illimitata. Talvolta una modesta resistenza a trazione viene utilizzata in alcune analisi preliminari per favorire la convergenza. Anche per quanto riguarda la resistenza a compressione è bene osservare che la muratura, una volta raggiunto il limite a compressione tende a sbriciolarsi e quindi non è più in grado di sopportare tensioni di compressione se non in particolari casi in cui si può avere un’efficace confinamento laterale.. 119.

(6) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.2.2. Materiale non resistente a trazione e limitata resistenza a. compressione. In questo caso valgono le seguenti ipotesi: a) Esiste una costante positiva del materiale σ chiamata “massima resistenza a compressione” tale che ∈ , ( + 4)) ∈ ;. b) Il tensore delle deformazioni infinitesime totali ∈ può essere diviso decomposto additivamente in tre quote:. -. che rappresenta la quota elastica;. 5 detto tensore delle deformazioni di frattura;. 6 detto tensore delle deformazioni di schiacciamento.. 5 e 6 risultano essere mutuamente ortogonali; in particolare si ha che:. = + 5 + 6 , 5 ∈ , 6 ∈ , 5 ∙ 6 = 0 ;. c) = 2% + $ ( ) ), con la condizione su $ e % : % > 0 e 2% + 3 $ > 0. d) La condizione di normalità è posta in questa forma: 6 = 0 ,. ∙ 5 = 0 .. Dato esiste ed è unica la soluzione (, 5 , 6 , ).. 5.2.3 Materiale debolmente resistente a trazione e limitata resistenza a compressione. In questo caso valgono le seguenti ipotesi: a) Esistono due costanti del materiale σc e σt chiamate “massima resistenza a compressione” e “massima resistenza a trazione” rispettivamente tali che ( + 46 )) ∈ , ( − 45 )) ∈ ;. b) Il tensore delle deformazioni infinitesime totali ∈ può essere diviso in tre quote:. -. Quella elastica ;. 5 detto tensore delle deformazioni di frattura; 120.

(7) Parte 5: modellazione ed analisi. -. 6 detto tensore delle deformazioni di schiacciamento.. 5 e 6 risultano essere mutuamente ortogonali; in particolare si ha che: = + 5 + 6 ,. 6 ∈ ,. 5 ∈ ,. 5 ∙ 6 = 0 ;. c) = 2% + $ ( ) ), con la condizione su $ e % : % > 0 e 2% + 3 $ > 0 ;. d) La condizione di normalità è posta in questa forma:. ( + 46 )) ∙ 5 = 0, ( − 45 )) ∙ 5 = 0 . Dato 8 esiste ed è unica la soluzione (, 5 , 6 , ).. 5.2.4. Materiale debolmente resistente a trazione ed infinitamente a. compressione. Le ipotesi in questo caso sono: a) Esiste una costante positiva del materiale σ chiamata “massima resistenza a trazione” tale che ( − 4)) ∈ ;. b) Il tensore delle deformazioni infinitesime totali può pensarsi composto da. una quota elastica ed una quota anelastica , con semidefinito positivo: , ∈ , = + , ≥ 0 ;. c) = 2% + $ ( ) ), con la condizione su $ e % : % > 0 e 2% + 3 $ > 0 ;. d) La condizione di normalità è posta in questa forma: ( − 45 )) ∙ 5 = 0 . Dato 8 esiste ed è unica la soluzione (, 5 , 6 , ).. 121.

(8) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.2.5. Materiale non resistente a trazione e infinita resistenza a. compressione. Questo caso è quello a cui si ricorre generalmente per la determinazione della stato di tensione e deformazione di un corpo soggetto a determinate condizioni al contorno. E’ per questo che esso rappresenta la situazione di maggiore interesse e che andremo a trattare compiutamente determinando la soluzione esplicita del problema. Il materiale masonry-like (conosciuto anche come materiale no tension) è un materiale. a comportamento elastico la cui funzione di sforzo ∶ → , = (), ∈ . Soddisfa le seguenti proprietà: ∈ , + = + , ∈ , , + = ! [ ] , * ∙ = 0 .. (6.10). dove il significato degli elementi che costituiscono il sistema è stato definito in precedenza. Tale sistema di equazioni rappresenta la formulazione delle caratteristiche naturali del materiale masonry-like. Nella determinazione della soluzione esplicita del problema facciamo l’ipotesi che il materiale sia isotropo. Si ricorda che il tensore degli sforzi si dice isotropo se, per ogni ∈ e ; ∈ < ℎ, si ha. (;; ) = ;(); .. (6.11). = () = ?@ ) + ?/ + ?0 0 ,. (6.12). Inoltre se > è isotropo vale la seguente rappresentazione. dove i coefficienti ?A sono funzione degli invarianti principali di .. 122.

(9) Parte 5: modellazione ed analisi. Sappiamo che il materiale masonry-like con le equazioni costitutive che lo governano è isotropo, se il tensore di elasticità ! è isotropo1.. In questo caso, essendo il materiale elastico lineare, possiamo introdurre due numeri reali $ e % che rispettano le disuguaglianze (6.3) e abbiamo che: ! / [] = 0B − 0B(0BC3) ( )) . /. 3. (6.13). Poiché ! è isotropo, e ciò porta , >, e ad essere coassiali, il sistema (6.10) può. essere riscritto come un problema di complementarietà lineare, la cui soluzione può essere calcolata in forma esplicita. Detti DE/ , E0 , EC F autovettori ortonormali di , essi sono allo stesso modo autovettori. di ed . Inoltre, siano rispettivamente (1/ , 10 , 1C ), G1/ , 10 , 1C H e ( / , 0 , C ). autovettori di , e . Quindi in virtù della relazione (6.4) valida per ogni ∈ , il sistema (6.10) è equivalente al sistema di equazioni sotto riportate:. - / = %[2G1/ − 1/ H + I(1/ + 10 + 1C − 1/ − 10 − 1C )] + 0 = %[2G10 − 10 H + I(1/ + 10 + 1C − 1/ − 10 − 1C )] + + = %[2G1 − 1 H + I(1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 )] C C / 0 C C / 0 C. / ≤ 0, 0 ≤ 0, C ≤ 0 , 1/ ≥ 0, 10 ≥ 0, 1C ≥ 0, + + +. / 1/ = 0 10 = C 1C = 0 *. . con I = . 3 B. . . . (6.14). (nel seguito assumeremo $ > 0 e quindi I ≥ 0).. Ponendo 1 = (1/ , 10 , 1C ), 1 = (1/ , 10 , 1C ), . . . problema di complementarietà lineare, dove. = ( / , 0 , C ), il sistema sopra è un. J = K, E = −K1, L = −M, N = O , con 2+I K=P I I. I 2+I I. I I Q . 2+I. 1. La dimostrazione di tale condizione è riportata al paragrafo 2.1.1, proposizione 2.9, del volume “Masonry Costructions: Mechanical Models and Numerical Applications”. 123.

(10) Parte 5: modellazione ed analisi. In virtù della condizione (6.4), essendo K definito positivo, per ogni 1, esistono e sono. unici 1 e che soddisfano le equazioni (6.10). Questo risultato fornisce una. dimostrazione alternativa dell’esistenza ed unicità della soluzione delle equazioni costitutive (6.10), nel caso di materiale isotropo. Ci proponiamo ora di calcolare in modo esplicito gli autovettori (1/ , 10 , 1C ) e . . . ( / , 0 , C ) come funzioni di (1/ , 10 , 1C ). A questo scopo, supponiamo che gli. autovettori di siano ordinati in modo tale che sia: 1/ ≤ 10 ≤ 1C. (6.15). In virtù di questa diseguaglianza, la soluzione del sistema (6.14) assume una delle seguenti forme. < 0, 1 = 0,. = 0, 1 > 0,. (6.16) (6.17). / < 0, 0 = C = 0, 1/ = 0, 10 > 0, 1C > 0, . . . / < 0, 0 < 0, C = 0, 1/ = 10 = 0, 1C > 0, . . . (6.18) (6.19). dipendente dal valore di 1/ , 10 e 1C . In conformità con (6.16) – (6.19), è naturale definire il seguente sottoinsieme di ,. S/ = D ∈ | 21C + I < 0F, S0 = D ∈ | 1C > 0F,. SC = D ∈ | 1/ < 0, I1/ + 2(1 + I)10 > 0F,. SV = D ∈ | I1/ + 2(1 + I)10 < 0, 21C + I > 0F,. (6.19) (6.20) (6.21) (6.22). dove = 1/ + 10 + 1C . Inoltre, definiamo le seguenti interfacce tra le regioni. S/ , S0 , SC , SV e SC , SV , rispettivamente, come. X W/,V = D ∈ | Y/V () = 21C + I = 0F, X W0,C = D ∈ | Y0C () = 1/ = 0F,. X WC,V = D ∈ | YCV () = I1/ + 2(1 + I)10 = 0F.. (6.23) (6.24) (6.25). 124.

(11) Parte 5: modellazione ed analisi. Le regioni SA caratterizzano il differente tipo di comportamento del materiale. Nella. regione S/ il materiale è compresso in tutte le direzioni e si comporta come un. materiale elastico lineare. Al contrario, nella regione S0 il materiale è soggetto a. deformazioni semidefinite positive, e la tensione è nulla. Le regioni SC e SV presentano. un comportamento misto; in particolare, esse contengono rispettivamente due direzioni e una direzione lungo le quali la tensione risulta nulla e il materiale può fratturarsi lungo quelle direzioni. Dalla risoluzione del sistema (6.10) possiamo ottenere gli autovalori di e ,. X se ∈ S/ ∪ W/,V allora 1/ = 0, . 10 = 0, . 1C = 0, . (6.26). / = %[(2 + I)1/ + I(10 + 1C )] ,. 0 = %[(2 + I)10 + I(1/ + 1C )] ,. C = %[(2 + I)1C + I(1/ + 10 )] ; X se ∈ S0 ∪ W0,V allora 1/ = 1/ , . 10 = 10 , . 1C = 1C , . (6.27). / = 0,. 0 = 0,. C = 0;. X se ∈ SC ∪ WC,V allora 1/ = 0, . 10 = 10 + 0(/[) 1/ , . [. 125.

(12) Parte 5: modellazione ed analisi. 1C = 1C + . / = 81/,. [ 1 , 0(/[) /. (6.28). 0 = 0,. C = 0; se ∈ SV allora 1/ = 0, . 10 = 0, . 1C = 1C + 0 [ (1/ + 10 ), . [. (6.29). / = [2(1 + I)1/ + I10 ] 0 [ 0B. 0 = 0 [ [I1/ + 2(1 + I)10 ], 0B. C = 0,. dove = %(2% + 3$)/(% + $) è il modulo di Young.. Pertanto, dato un tensore simmetrico = ∑CA_/ 1/ EA ⊗ EA e determinata la regione a cui appartiene, la soluzione delle equazioni costitutive (6.10) è data da = ∑CA_/ 1/ EA ⊗ EA , . = () = ∑CA_/ A EA ⊗ EA ,. (6.30) (6.31). dove 1/ e A sono le funzioni di (1/ , 10 , 1C ) mostrate in (6.26) – (6.29). . E’ importante notare che la relazione (6.31) è coerente con la condizione di isotropia di espressa dalla (6.11).. Si nota che, in virtù di (6.15), 1/ , 10 , 1C e quindi ?@ , ?/ , ?0 possono essere espressi come. funzioni degli invarianti principali di 8.. 126.

(13) Parte 5: modellazione ed analisi. La conoscenza esplicita della soluzione delle equazioni costitutive ci permette di. calcolare la densità dell’energia di deformazione indicata con `(8). In particolare, si ha. che. X se ∈ S/ ∪ W/,V allora. X se ∈ S0 ∪ W0,C allora. `() = %‖‖0 + 0 ( )0 ,. (6.32). `() = 0 ,. (6.33). 3. X se ∈ SC ∪ WC,V allora. se ∈ SV allora. `() = 0 1/ , /. `() = 0[ [(1 + I)(1/0 + 100 ) + I1/ 10 ] . 0B. (6.34). (6.35). 127.

(14) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.2.6 Il problema al contorno. L’esistenza della soluzione del problema al contorno per i solidi masonry-like dipende molto dalla natura dei carichi e l’unico teorema di esistenza a disposizione, dovuto a Giaquinta e Giusti, è stato dimostrato con ipotesi molto restrittive. In generale l’unicità della soluzione è garantita solo in termini di tensioni, non di spostamenti e deformazioni, vale a dire che diversi campi di spostamenti e deformazioni possono corrispondere allo stesso campo di tensioni, quindi, in generale, se il problema dell’equilibrio per un materiale masonry-like ammette una soluzione, questa è unica solo in termini di tensioni. Infine la soluzione può essere determinata esplicitamente solo in casi molto semplici, perciò nelle applicazioni è necessario utilizzare tecniche numeriche. Simili considerazioni possono essere fatte per i materiali limitatamente resistenti a trazione ed infinitamente a compressione, per cui si può dimostrare l’unicità in termini di tensioni, sotto ipotesi di regolarità della soluzione. Sia un solido costituito da materiale masonry-like; consideriamo due sottoinsiemi fe complementari del contorno b di , cd dove è assegnato un campo di spostamenti e. c dove è assegnato un campo di azioni superficiali g@ . Su agiscono le forze di massa. h.. f , h, g@ , la terna [e, , ], con e continuo insieme alle sue derivate fino al Assegnati e. secondo ordine, si definisce soluzione regolare del problema al contorno se soddisfa le relazioni: = 0 (∇e + ∇e ) su /. = !j − k ( − 4)) l , ∈ , ( − 4)) = 0 Km + h = 0 su . f su cd , = g@ su c e=e. (6.36) (6.37) (6.38) (6.39). dove n è la normale esterna ad c , e ! il tensore di elasticità.. 128.

(15) Parte 5: modellazione ed analisi. Un carico (h, g@ ) definito in × c con valori di × si dice ammissibile se il relativo problema al contorno ha una soluzione regolare [e, , ].. E’ semplice mostrare che se (h, g@ ) è un carico ammissibile e [e/ , / , / ] e [e0 , 0 , 0 ]. sono due soluzioni regolari, allora / = 0 in ogni punto di . Infatti posto. o = / − 0 . o = e/ − e0 e. o = / − 0 . o o ] soddisfa le condizioni (6.36) – (6.39) con g@ = 0 e h = 0, e o , , f = 0. la [e. (6.40). Quindi in accordo con l’ipotesi di regolarità della soluzione, si ha per il principio dei lavori virtuali:. o∙ o qr = 0 p . (6.41). noto che o= o + / + 0 , . o = / − 0 . . o nella (6.41) si ottiene Sostituendo . (6.42). o ∙ ( o + / + 0 ) qr = 0 p . (6.43). o∙ o qr = p o ∙ (0 − / )qr, p . (6.44). da cui. . . o anche o∙ o qr = p (/ − 0 ) ∙ (0 − / )qr p . da cui:. . . (6.45). o∙ o qr = p (/ − 0 + ((4 − 4))) ∙ (0 − / )qr p . ed. . . o∙ o qr = p [(/ − 4))0 + (0 − 4))/ ]qr p . (6.46) infine (6.47). 129.

(16) Parte 5: modellazione ed analisi. per il primo membro si ha. o∙ o qr = p o ∙ ! / [ o ]qr ≥ 0 p . (6.48). p[(/ − 4))0 + (0 − 4))/ ]qr ≤ 0. (6.49). per il secondo membro, dato che ! è definito positivo, possiamo scrivere. . . dato che (/ − 4)), (0 − 4)) ∈ e / , 0 ∈ .. Dall’uguaglianza precedente deriva quindi che deve essere o ∙ ! / [ o] = 0 . (6.50). o = 0, da cui segue / = 0 in ogni punto di e dunque . Con tecniche matematiche più raffinate, l’unicità del campo di tensione può essere dimostrato anche con ipotesi meno restrittive di regolarità della soluzione. Per quanto riguarda le deformazioni in generale non si ha univocità perché due diverse quote di deformazione anelastica possono corrispondere allo stesso campo di tensione come mostra l’esempio seguente. Si consideri il sistema in figura 58 soggetto alle diverse condizioni di carico, in assenza di forze di massa:. a). s=0. b). s>0. c). s>0. t > 0. d). s=0. t>0. Fig. 58. Differenti condizioni di carico per lo studio del comportamento del materiale.. 130.

(17) Parte 5: modellazione ed analisi. Nel caso a) se il materiale fosse elastico lineare, la soluzione sarebbe quella identicamente nulla negli sforzi e nelle deformazioni. Per il materiale masonry-like, invece, le componenti su x e y della deformazione anelastica risultano indeterminate, rimanendo nulle le tensioni e la quota elastica della deformazione. Il corpo può espandersi liberamente ed ha infinite configurazioni di equilibrio. Nel caso b) la soluzione è unica nelle tensioni e nelle deformazioni verticali e coincide con quella elastica lineare, restando indeterminata la quota di deformazione anelastica orizzontale. Nel caso c) la soluzione coincide con quella elastica, è unica e determinata in ogni suo termine per ogni t > 0.. Nel caso d) infine la soluzione non sempre esiste perché non è possibile trovare una distribuzione equilibrata degli sforzi che, per ogni t > 0, rispetti la condizione di. limitata resistenza a trazione.. In conclusione al variare dei carichi con continuità da una condizione all’altra si nota che la soluzione può essere unica, indeterminata, o cessare di esistere.. 131.

(18) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.2.7 Indipendenza della soluzione dal particolare processo di carico Innanzitutto precisiamo che un processo di carico u(v), v ∈ [0, v̅] è costituito dalle. funzioni [h(x, v), g@ (x, v)] definite su × [0, v̅] e c × [0, v̅] rispettivamente; inoltre si. suppone u(v) differenziabile rispetto a v, con u(0) = 0.. Dato un processo u, per ogni v, u(v) è un carico ammissibile e sia [e(v), (v), (v)] una. soluzione del problema al contorno con h = h(v) ed g@ = g@ (v): e sia continuo insieme alle sue derivate fino al secondo ordine, = 0 (∇e + ∇e ) su /. (6.51). = !j − k ( − 4)) l , ∈ , ( − 4)) = 0 Km + h = 0 su . (6.52) (6.53). f su cd , = g@ su c e=e. (6.54). Una curva [e(v), (v), (v)] di soluzioni è detta regolare se è differenziabile rispetto a τ. ed un processo di carico u su [0, v̅] è ammissibile se per ogni v ∈ [0, v̅], u(v) è un carico ammissibile se esiste almeno una curva regolare di soluzioni [e(v), (v), (v)]. Supponiamo ora di avere un processo di carico definito su [0, v̅]:. una curva regolare [e(v), (v), (v)] è una soluzione incrementale del problema al. contorno se per ogni v ∈ [0, v̅] si ha:. / = 0 (∇e + ∇e ) . (6.55). G(v)Hjk = K . (6.56). Km + h = 0 su = g @ su c. . e(x, 0) = 0, (x, 0) = 0, (x, 0) = 0 su . Dove il punto indica la derivata rispetto a v.. (6.57) (6.58). (6.59). 132.

(19) Parte 5: modellazione ed analisi. Si può verificare immediatamente che, se γ è un processo ammissibile, allora ogni curva. regolare di soluzioni, in virtù delle (6.51) – (6.54) è soluzione anche per le (6.54) – (6.59). D’altra parte ogni soluzione incrementale del problema è una curva regolare di soluzioni per le (6.51) – (6.54). Infatti se "e(v), (v), (v)# è una curva regolare di soluzioni delle (6.51) – (6.54),. differenziando le (6.51) – (6.54) rispetto a v si può verificare immediatamente che "e, , # soddisfa le (6.54) – (6.59). D’altra parte se "e(v), (v), (v)# è una soluzione incrementale, integrando le (6.54) – (6.59) su. "0, v# e considerando che su (x, 0) = 0, (x, 0) = 0, (x, 0) = 0, si. deduce che "e(v), (v), (v)# soddisfa le (6.51) – (6.54) per ogni v ∈ "0, v̅#. Da ciò segue che: 1. Se γ è un processo ammissibile, esiste almeno una soluzione incrementale per il problema al contorno; 2. la soluzione del problema incrementale, se esiste, è unica in termini di tensioni, precisamente se γ e . sono due processi ammissibili definiti su "0, v̅#, tali che u(v̅) = .(v̅) ed "e/ (v), / (v), / (v)# e "e0 (v), 0 (v), 0 (v)# sono due soluzioni incrementali corrispondenti rispettivamente a γ e ., si ha: / (x, v̅) =: 0 (x, v̅) per ogni x in . Quest’ultimo risultato garantisce che la soluzione incrementale non dipende dal processo di carico per lo meno per quanto riguarda le tensioni. Infatti, il valore comune di / e 0 al termine dei due processi è la soluzione del problema al contorno corrispondente al carico u(v̅) = .(v̅).. 133.

(20) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.3 Il metodo agli elementi finiti 5.3.1 Nozioni preliminari. Il metodo degli elementi finiti è una tecnica adatta ad approssimare la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali definite su un continuo, trasformando queste ultime in un sistema di equazioni algebriche con un numero finito di incognite. Benché esso competa, in alcuni ambiti limitati, con altre strategie numeriche (metodo delle differenze finite, metodo dei volumi finiti, metodo degli elementi al contorno, etc.), il metodo FEM mantiene una posizione dominante nel panorama delle tecniche numeriche di approssimazione e rappresenta il kernel di gran parte dei codici di analisi automatici disponibili in commercio. In generale, il metodo agli elementi finiti2 si presta molto bene a risolvere equazioni alle derivate parziali quando il dominio ha forma complessa, è variabile, quando l'accuratezza richiesta alla soluzione non è omogenea sul dominio e quando la soluzione cercata manca di regolarità. I primordi del metodo possono essere fatti risalire agli anni 1930-35 con i lavori di A. R. Collar e W. J. Duncan, che introducono una forma primitiva di elemento strutturale nella risoluzione di un problema di aeroelasticità, e agli anni 1940-41 con i lavori di Alexander Hrennikoff e Richard Courant, dove entrambi, benché in differenti approcci, condividevano l'idea di suddividere il dominio del problema in sottodomini di forma semplice (gli elementi finiti). Tuttavia la nascita vera e propria e lo sviluppo del metodo agli elementi finiti si colloca nella seconda metà degli anni '50 con il contributo fondamentale di M. J. (Jon) Turner, che formulò e perfezionò il Direct Stiffness Method, il primo approccio agli elementi finiti nel campo del continuo. Il lavoro di Turner trovò diffusione fuori dagli stretti ambiti dell'ingegneria aerospaziale, ed in particolare nell'ingegneria civile, tramite il lavoro di John Argyris presso l'Università di Stoccarda, e di Ray W. Clough presso 2. - R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, "Concepts and Applications of Finite Element Analysis", Third Edition (1989), J.Wiley and Sons. - O. C. Zienkiewicz, "The Finite Element Method" Third Edition (1977) McGraw-Hill. - R.D. Cook, "Finite Element Modeling for Stress Analysis", (1995) J.Wiley and Sons. - Hinton and D. R. J. Owen "An Introduction to Finite Element Computations", Pineridge Press, (1980). - O. C. Zienkiewicz and K. Morgan "Finite Elements and Approximation" John Wiley,(1983).. 134.

(21) Parte 5: modellazione ed analisi. l'Università di Berkeley (che parlò per primo di metodo FEM e la cui collaborazione con Turner aveva dato vita al celebre lavoro che è universalmente considerato come l'inizio del moderno FEM). Nei problemi strutturali, il continuo viene suddiviso in una serie di elementi finiti connessi ad un numero finito di punti chiamati nodi; i valori nodali degli spostamenti sono le incognite del problema, una volta determinati, possono essere interpolati in ogni punto mediante le funzioni di forma. Così facendo, il numero di incognite si riduce ad un numero finito. La caratteristica peculiare del metodo agli elementi finiti è quella di dedurre le equazioni algebriche risolventi mediante l’impiego di un principio variazionale. Nel caso in cui le incognite siano rappresentate dagli spostamenti nodali, vengono determinate le matrici di rigidezza degli elementi e i vettori delle forze nodali. Successivamente si effettua l’assemblaggio in una matrice di rigidezza globale e dei vettori di carico globali. Una volte introdotte le condizioni al contorno, si procede alla risoluzione delle equazioni del sistema risultante ed al calcolo delle deformazioni e degli sforzi in base agli spostamenti nodali trovati. Almeno per problemi di elasticità lineare le equazioni che esprimono l’equilibrio possono essere ottenute minimizzando l’energia potenziale totale del sistema che può essere espressa come: = p¢"4# ¡ qr − p¢[£] ¤ qr − p¥ [£] E q 0 /. ¦. (6.60). dove 4 e l sono i vettori tensione e deformazione, £ il vettore spostamento in ogni punto, p le forze di massa per unità di volume e q le forze applicate sul contorno.. L’integrazione è fatta sul volume V del corpo e sulla faccia caricata S. Il primo termine dopo l’uguale rappresenta l’energia interna di deformazione ed il secondo e il terzo termine danno rispettivamente il lavoro delle forze di massa e di quelle distribuite sulla superfice. Le incognite sono date dagli spostamenti nodali £ così che la variazione prima del. funzionale dell’energia potenziale in ogni elemento può essere descritta in funzione di. £ tramite funzioni di interpolazione N. Queste, dette anche funzioni di forma,. consentono di scrivere. £ = §£ . 135.

(22) Parte 5: modellazione ed analisi. La deformazione all’interno dell’elemento può essere espressa in termine degli spostamenti nodali come: ¡ = £ . (6.61). dove è la matrice di deformazione costituita generalmente dalle derivate delle funzioni di forma. Infine le tensioni possono essere correlate alle deformazioni con la matrice elastica D, 4 = ¨¡ = ¨£ . (6.62). L’energia potenziale totale del continuo è la somma dei contributi dei singoli elementi, = ∑ . (6.63). Queste ultime possono essere scritte sostituendo nella (6.60) le espressioni di 4 ed l: /. = 0 p¢ "£ # "# ¨£ qr − p¢ "£ # "§# ¤ qr − p¥ "£ # "§# E q , ©. ©. ©. (6.64). dove r è il volume dell’elemento ed l’area della superfice caricata. Minimizzando l’energia dell’elemento e, rispetto al vettore degli spostamenti nodali £ risuta: ª«© ª¬ ©. dove. = p¢ ("# ¨)£ qr − p¢ "§# ¤ qr − p¥ "§# E q = £ − ® ©. ©. ©. (6.65). ® = p¢ "§# ¤ qr + p¥ "§# E q è la forza nodale equivalente per l’elemento e ©. . ©. . = p¢ ("# ¨)£ qr è detta matrice di rigidezza dell’elemento. ©. Uguagliando a zero la somma dei termini £ − ® di tutti gli elementi, si ottiene un sistema algebrico lineare che esprime l’equilibrio per tutto il continuo. Risolvendo questo sistema si ricavano gli spostamenti nodali £ da cui è possibile, con l’uso della matrice B, determinare le deformazioni ε e quindi gli sforzi σ con la matrice costitutiva D.. 136.

(23) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.3.2 Il metodo numerico per risolvere i problemi di equilibrio dei solidi costituiti da materiale masonry-like.. Per quanto la soluzione del problema dell’equilibrio per il materiale masonry-like possa talvolta essere trovata in forma esplicita, la sua determinazione è in generale molto complessa, occorre quindi ricorrere a tecniche numeriche. L’algoritmo implementato nel codice agli elementi finiti NOSA, permette di risolvere numericamente alcuni problemi di equilibrio. Nel caso isotropo è stata calcolata la matrice di rigidezza tangente, riducendo il calcolo degli spostamenti nodali alla soluzioni di un sistema algebrico non lineare; quest’ultimo viene risolto con il metodo di Newton – Rapson. Nel caso di materiali masonry-like si può dire che: a) la deformazione nell’elemento è legata allo spostamento nodale dalla relazione ¡ = £ . (6.66). Dove B contiene le derivate delle funzioni forma e non dipende dallo spostamento. b) Le tensioni sono legate alle deformazioni dalla relazione 4 = ¨(¡)¡ = ¨(¡). Dove ¨(¡) =. ²³ ²´. (6.67). è la derivata della tensione rispetto alla deformazione totale.. c) come conseguenza di tutto ciò la matrice di rigidezza tangente dell’elemento e. = p¢ ("# ¨)e qr ©. (6.68). è funzione dello spostamento nodale e .. d) la condizione di equilibrio per ogni elemento è data dall’espressione: (e )e = ®. (6.69). 137.

(24) Parte 5: modellazione ed analisi. Detto u il vettore degli spostamenti nodali, = (e) la matrice di rigidezza tangente globale ottenuta assemblando le singole matrici di rigidezza degli elementi e F il vettore dei carichi nodali, risulta: (e )e = ® ;. (6.70). passando agli incrementi finiti ∆e e ∆® si ha (e )∆e = ∆®. (6.71). che costituisce un sistema algebrico non lineare la cui soluzione fornisce il vettore degli spostamenti nodali.. 138.

(25) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.3.3 Calcolo della derivata K In questo paragrafo ci proponiamo di riportare3 le espressioni della derivata dello sforzo rispetto alla deformazione totale , necessaria per il calcolo della matrice. tangente , tramite la quale è possibile definire il sistema algebrico non lineare dalla cui risoluzione otteniamo la soluzione del problema.. nelle quattro regioni SA assume la forma: L’espressione di K8 . = ¶/ = 2%· + $) ⊗ ), ∈ S/ → K . (6.71). dove · indica l’identità del quarto ordine,. = ¶0 = 0, ∈ S0 → K . = ¶C = (¸// ⊗ ¸// − ∈ SC → K . ¹. º ¹. = ¶V = 2%¸/0 ⊗ ¸/0 − ∈ SV → K −. ¸/0 ⊗ ¸/0 −. (6.72) ¹ ¸ » ¹ /C. ⊗ ¸/C (6.73). 2% 2(1 + I)1/ + I10 ¸/C ⊗ ¸/C 2+I 1C − 1/. 2% 2(1 + I)10 + I1/ %(2 + 3I) (¸// + ¸00 ) ⊗ (¸// + ¸00 ) ¸0C ⊗ ¸0C + 2+I 2+I 1C − 10 + %(¸// − ¸00 ) ⊗ (¸// − ¸00 ),. (6.74). 3. La dimostrazione di tale condizione è riportata al paragrafo 2.4 del volume “Masonry Costructions: Mechanical Models and Numerical Applications”. 139.

(26) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.3.4. Risoluzione del sistema algebrico non lineare con il metodo di. Newton Rapson. Nei capitoli precedenti abbiamo visto come per materiali masonry-like la soluzione numerica del problema di equilibrio richieda la risoluzione di un sistema algebrico non lineare. Andremo quindi a vedere con più precisione come si affronta un problema di questo tipo. Una volta discretizzata la struttura in elementi finiti, il sistema algebrico non lineare. (e )e = ¼ che rappresenta la condizione di equilibrio può essere risolto con il. metodo di Newton-Rapson facendo uso della matrice di rigidezza tangente di cui si sono fornite le espressioni regione per regione. Il procedimento iterativo di soluzione inizia con un valore nullo degli spostamenti nodali e@ = 0.. All’inizio la matrice K(e) coincide con K(0), la matrice dei moduli elastici costante. La. matrice di rigidezza @ viene calcolata di conseguenza e, dato il vettore dei carichi. nodali ¼, il sistema viene risolto calcolando ∆e@ = @/ ∙ ¼.. Si ha perciò e/ = ∆e@ , si trova ¡/ = ∆¡@ = ½∆e@ e, di conseguenza, 4/ = ∆4@ = K∆¡@ .. A questo punto si verifica l’equilibrio; posto ¾ ½ 4/ qr − ¼ = ∆¼/ .. Se ∆¼/ < ¡, con ¡ > 0 fissato, allora la soluzione e/ è stata raggiunta e il processo viene. interrotto.. Se invece è ∆¼/ ≥ ¡, allora l’equilibrio non è verificato ed è necessario considerare di nuovo il sistema di partenza in cui, al posto del vettore dei carichi nodali f, poniamo ∆¼/ .. Si procede così alla ricerca di ∆e/ , per trovare lo spostamento relativo alla seconda. iterazione e0 = e/ + ∆e/ , utilizzando questa volta la matrice di rigidezza / (e/ ). 140.

(27) Parte 5: modellazione ed analisi. calcolata in funzione degli spostamenti e/ trovati precedentemente. Ripetendo la verifica sull’equilibrio si procede come sopra. In generale, considerando le quantità relative alle iterazioni , si risolve il sistema GeA H∆eA = ¼A , per trovare gli spostamenti eA/ = eA + ∆eA riguardanti la iterazione. + 1.. Poi detti OA il vettore delle componenti ingegneristiche della deformazione totale, ¿A il vettore delle deformazioni anelastiche. MA il vettore delle componenti ingegneristiche delle tensioni. in ogni punto di Gauss, per ogni elemento, si calcola la deformazione totale OA/ relativa. allo spostamento eA/ , si calcolano i suoi autovalori che ci permettono di determinare. la regione SA ( = 1,2,3 … ) in cui si trovano le deformazioni totali e le deformazioni. anelastiche ¿A/. Infine si calcolano le tensioni MA/ come visto in precedenza.. In seguito si calcola la matrice KGeA/ H che può essere utilizzata nella iterazione. successiva.. Si ricava quindi il vettore dei carichi nodali equivalenti residui ¼A/ e si opera il controllo di convergenza:. Á¼(A/) Á Á¼(@) Á. ≤ Â6. Se la convergenza non è stata raggiunta si ripete l’operazione cominciando con la soluzione del sistema. Per risolvere problemi di equilibrio relativi al materiale considerato, usando il metodo degli elementi finiti, si è spesso costretti, per ragioni numeriche, ad assegnare il carico in modo incrementale. In merito all’assegnazione del carico in maniera incrementale è bene ricordare che la soluzione numerica che si ottiene è indipendente dal particolare processo di carico scelto: più precisamente se il processo di carico è ammissibile, la soluzione dipende esclusivamente dal carico finale e non dalle modalità di applicazione.. 141.

(28) Parte 5: modellazione ed analisi. 5.4. Diagramma di flusso ed elementi di libreria del codice di calcolo. NOSA. Fig. 59. Dominio di flusso relativo alla determinazione della soluzione.. 142.

(29) Parte 5: modellazione ed analisi. Element. Structural type. number. Interpolating functions. 3D element. 1. Quadratic. Plane stress. 2. Quadratic. Plane strain. 3. Quadratic. 4. Quadratic. Axisymmetric element. Linear Thin shell element. 5. Plane strain Axisymmetric element 3D element Straight. beam. element Thick shell element Plane heat transfer element Plane heat transfer element Axisymmetric. heat. transfer element Axisymmetric. heat. transfer element 3D. heat. transfer. element 3D. heat. element. transfer. 20 node isoparametric element 8. 6. Linear. 7. Linear. 8. Linear. 9. Linear. 10. Linear. 11. Quadratic. 12. Linear. 13. Quadratic. 14. Linear. 15. Linear. 16. Quadratic. node. isoparametric. element 8. node. isoparametric. element 8. node. isoparametric. element for. displacement,quadratic for rotation. Remarks. 8. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 8. node. isoparametric. element 2. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 8. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 8. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 4. node. isoparametric. element 20 node isoparametric element. Tab. 11. Tabella riassuntiva degli elementi della libreria del codice di calcolo NOSA.. 143.

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