Esempi applicativi della soluzione generale

Esempi applicativi della soluzione generale

Sommario. In questo capitolo sono illustrati a titolo di esempio i risultati numerici ottenuti applicando il modello meccanico proposto nel Capitolo 5 a differenti tipologie di prove sperimentali. In particolare, definito un materiale rappresentativo e scelte le opportune dimensioni per i provini, si mostrano le procedute da seguire per determinare le espressioni esplicite degli sforzi interlaminari e il valore del tasso di rilascio dell’energia in funzione del carico applicato al provino.

Summary. In this chapter, numerical results obtained for different types of experimental tests are illustrated. In particular, once material and geometrical properties for the specimens have been defined, the procedures to determine explicit expressions of interlaminar stresses and the value of the energy release rate as a function of the load applied are described.

6.1

Introduzione

Nel Capitolo 5 è illustrata la soluzione del problema generale di un elemento di laminato caricato solo ai suoi estremi (Figura 5.3). In questo Capitolo sono illustrate, a titolo di esempio, possibili applicazioni del modello analitico proposto.

In particolare verranno illustrate le soluzioni negli sforzi interlaminari, σ e τ, per differenti tipologie di provini, e si mostrerà come, noti questi, sia possibile dedurre il valore del tasso di rilascio dell’energia, G, corrispondente ad un carico applicato P.

Le proprietà meccaniche del materiale scelto per questi esempi sono elencate in Tabella 6.1: questi valori, assunti a puro titolo di esempio, sono però tipici di un materiale composito in fibra di carbonio e matrice epossidica [de Bastos Pereira, 2006].

E1 130000 MPa E2 8200 MPa E3 8200 MPa ν12 0.27 ν23 0.41 ν31 0.27 G12 4100 MPa G23 2910 MPa G31 4100 MPa

Tabella 6.1: proprietà meccaniche del materiale.

6.2

Prova DCB

Come primo esempio si sceglie di applicare il modello ad un provino simmetrico standardizzato: si con-sideri pertanto il provino DCB illustrato in Figura 6.1. La lunghezza L sia pari a 125 mm, e la larghezza W sia 20 mm.

Tra le sezioni O e B il provino è integro, mentre presenta una fessura tra le sezioni A e O.

Si suppone che il provino sia realizzato a partire dalla sovrapposizione di 16 lamine unidirezionali, ognuna di spessore pari a 0.3125 mm, e che l’orientamento delle fibre sia tale che queste siano tutte parallele alla direzione di propagazione della fessura, la cui lunghezza iniziale è a = 50 mm. Si suppone infine che la delaminazione propaghi in modo simmetrico: gli spessori sono di conseguenza H = 5 mm e H1= H2= 2.5 mm.

Il carico applicato al provino, P, sia pari a 50 N.

Figura 6.1: prova DCB su un provino simmetrico.

È possibile estrarre dal provino in questione un elemento di laminato compreso tra le sezioni O e B (Figura 6.2). In tal caso,

b= L − a = 115 mm.

Figura 6.2: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova DCB.

In Appendice A è illustrato il procedimento dettagliato per il calcolo delle rigidezze e delle cedevo-lezze per la data sequenza di impilamento. In particolare i due sub–laminati, essendo identici, sono carat-terizzati dall’avere le medesime rigidezze: i valori numerici utilizzati per questo esempio sono riportati in Tabella 6.2.

Applicando le Equazioni 5.14 al materiale scelto, si ottengono i seguenti valori per le costanti di rigidezza dell’interfaccia elastica:

kx=G 31 H 10

A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm]

sub–laminato 1 325000.00 0.00 8541.67 169271.00

sub–laminato 2 325000.00 0.00 8541.67 169271.00

Tabella 6.2: rigidezze per l’esempio di provino DCB.

e

kz= E_H3 10

= 16400 N/mm3.

Il parametro di accoppiamentob0, come era prevedibile, è nullo e il problema in esame è

ricondu-cibile al caso bilanciato illustrato nel Paragrafo 5.3.2: il problema è descritto dalle Equazioni 5.22, e le corrispondenti equazioni caratteristiche sono

λ_σ4− α₂Bλ_σ2+ α₄B= 0, λ_τ3− β₂Bλτ= 0,

(6.1)

dove si può porre, sostituendo i valori numerici nelle Equazioni 5.23, α₂B= 3.84,

α₄B= 0.193772, β₂B= 0.201846.

Si ottengono pertanto tre coppie di radici reali delle equazioni caratteristiche: λσ ,1= λ1= −1.946500, λσ ,4= λ4= 1.946500,

λσ ,2= λ2= −0.226147, λτ ,1= λ5= −0.449273,

λσ ,3= λ3= 0.226147, λτ ,2= λ6= 0.449273.

A sinistra della sezione O, in corrispondenza della quale si trova l’apice della fessura, i due sub– laminati non sono vincolati tra di loro dall’interfaccia (Figura 6.1). Inoltre, all’estremo A sono applicati due carichi di verso opposto e intensità P: uno agente sul sub–laminato superiore e uno sul sub–laminato inferiore. Le due parti di provino comprese tra le sezioni A e O possono essere pertanto trattate quali travi isostatiche, le cui caratteristiche della sollecitazione sono note per ogni sezione: sulla sezione O dell’elemento di laminato OB agiscono le azioni, trasmesse da queste travi, illustrate in Figura 6.2. Nella sezione B, il laminato è integro, ma scarico e pertanto le caratteristiche della sollecitazione nei due laminati sono univocamente determinate e nulle.

Le condizioni al bordo per questo problema sono quindi: N1|s=0= 0, Q1|s=0= P, M1|s=0= aP;

N2|s=0= 0, Q2|s=0= −P, M2|s=0= −aP;

N₁|_s=b= 0, Q₁|_s=b= 0, M₁|_s=b= 0; N₂|_s=b= 0, Q₂|_s=b= 0, M₂|_s=b= 0.

(6.2)

Le incognite del problema, σ (s) e τ(s), dipendono, secondo le Equazioni 5.25, dalle costanti di integrazione Fi(con i = 1, . . . , 7). Integrando le equazioni indefinite di equilibrio è possibile determinare

le caratteristiche della sollecitazione per entrambi i sub–laminati (Equazioni 5.28 e 5.29): a seguito di queste operazioni il numero di costanti di integrazione passa da sette a tredici.

Le relazioni che è stato possibile individuare imponendo il rispetto del legame costitutivo dell’inter-faccia (Equazioni 5.51 a Pagina 79) permettono di definite le costanti F10, F11, F12e F13in funzione delle

5 10 15 20 25 s@mmD 10 20 30 40 50 60 sHsL @MPaD (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -1.0 -0.5 0.5 1.0 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.3: sforzi interlaminari in un provino DCB unidirezionale in prossimità dell’apice della fessura: (a) andamento delle σ ;

5 10 15 20 25 s@mmD -1.0 -0.5 0.5 1.0 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -400 -200 200 400 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -2000 -1000 1000 2000 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.4: caratteristiche della sollecitazione in un provino DCB unidirezionale in prossimità dell’apice della fessura (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2):

(a) forza normale, N(s);

(b) forza di taglio, Q(s) (si noti come in prossimità dell’apice vi sia un cambio repentino del segno del taglio, coerente con l’andamento di σ (s) mostrato in Figura 6.3);

Sostituendo pertanto le Equazioni 5.28 e 5.29 nelle prime nove delle Equazioni 6.2 si ottiene un sistema di nove equazioni in nove incognite, risolvendo il quale si determinano tutte le costanti che definiscono le caratteristiche della sollecitazione e le tensioni interlaminari. In Tabella 6.3 sono elencati i valori delle costanti di integrazione per questo problema: si vede come in particolare si ritrovino i risultati già previsti da Bennati et al. [2009].

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13

67.7636 −7.30752 ≈ 0 ≈ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabella 6.3: costanti di integrazione per l’esempio di DCB.

Imponendo a questo punto tre ulteriori condizioni al bordo di natura cinematica sarebbe possibile determinare in modo univoco anche gli spostamenti generalizzati dei sub–laminati.

In Figura 6.3 sono mostrati gli andamenti degli sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura. Per completezza vengono illustrate anche le τ, che risultano nulle in tutta la lunghezza del provino in evidente accordo con il fatto che la modalità di frattura sia di modo I.

Sostituendo le costanti di integrazione nelle espressioni delle caratteristiche della sollecitazione se ne trovano gli andamenti nei due sub–laminati (Figure 6.4).

Volendo a questo punto determinare il valore dei contributi dei modi puri al tasso di rilascio dell’e-nergia, applicando le Equazioni 5.55 e 5.57 si ricava

GI= 111.4 J/m2,

GII= 0,

e, come ovvio essendo la prova DCB di modo I puro, l’angolo di modo misto è ψ = 0◦.

Il problema è completamente risolto a meno di un moto rigido definito dalle tre costanti di integrazio-ne F17, F18 e F19. Per determinare queste ultime dovrebbero essere imposte tre condizioni cinematiche,

facilmente individuabili dalle modalità di vincolo del provino. Queste condizioni potrebbero essere di varia natura, e non sono determinabili in modo univoco. Comunque va detto che la determinazione delle ultime tre costanti va oltre gli scopi di questa trattazione, e nulla aggiungerebbe alla sostanza dei risultati analitici già conseguiti.

6.3

Prova ADCB geometricamente non simmetrica

Consideriamo un provino dello stesso materiale del precedente (Tabella 6.1) e nel quale la delaminazione propaghi su un piano diverso da quello medio (Figura 6.5). Ancora una volta si suppone che il provino sia unidirezionale [0◦]16.

La lunghezza L sia 150 mm, e lo spessore W ancora 20 mm. La lunghezza iniziale della delaminazione sia a = 35 mm.

Come nell’esempio del Paragrafo 6.2 lo spessore di ogni lamina sia pari a ∆z = 0.3125 mm. Lo spessore del sub–laminato superiore sia H1= 1.5625 mm e lo spessore del sub–laminato inferiore sia

H2= 3.4375 mm, con uno spessore totale del provino H pari a 5 mm. Si definisce il parametro geometrico

H₁/H = 0.3125 che individua la posizione del piano della delaminazione rispetto al piano medio (Figura 6.6).

Il carico applicato al provino, P, sia pari a 50 N.

L’elemento di laminato viene individuato tra le sezioni O e B (Figura 6.6) e la lunghezza b è pertanto pari a 115 mm.

Figura 6.5: provino con delaminazione asimmetrica (ADCB).

Figura 6.6: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova ADCB (delaminazione non simmetrica).

Il parametro di accoppiamento è quindi diverso da zero, e vale b0= 1.49987 10−5N−1.

Il problema è riconducibile al caso non bilanciato illustrato nel Paragrafo 5.3.3 e è descritto dalle Equazioni 5.35. L’equazione caratteristica è

λ_σ6− α₂Uλ_σ4+ α₄Uλ_σ2− α₆U= 0, (6.3)

i cui coefficienti sono α₂U= 4.70324, α₄U= 1.48362, α₆U= 0.07171.

Le radici del polinomio caratteristico sono calcolabili numericamente e valgono: λσ ,1= λ1= −2.089810, λσ ,2= λ2= −0.525916, λσ ,3= λ3= −0.243651, λσ ,4= λ4= 0.243651, λσ ,5= λ5= 0.525916, λσ ,6= λ6= 2.089810. A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm] sub–laminato 1 203125.00 0.00 5338.54 41325.90 sub–laminato 2 446875.00 0.00 11744.80 440038.00

5 10 15 20 25 s@mmD 10 20 30 40 50 60 sHsL @MPaD (a) 5 10 15 20 25 s@mmD 5 10 15 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.7: sforzi interlaminari in un provino ADCB unidirezionale (H1/H = 0.3125) in prossimità

del-l’apice della fessura: (a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ.

5 10 15 20 25 s@mmD -300 -200 -100 100 200 300 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -300 -200 -100 100 200 300 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -1500 -1000 -500 500 1000 1500 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.8: caratteristiche della sollecitazione in un provino ADCB unidirezionale (H1/H = 0.3125) in

prossimità dell’apice della fessura (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2): (a) forza normale, N(s);

(b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).

Come si può anche dedurre da quanto mostrato in Figura 6.6, le condizioni al contorno del problema differenziale sono le stesse già presentate per il problema del DCB (Equazioni 6.2) e non vengono qui riportate per brevità.

Procedendo in modo analogo a quanto fatto nel Paragrafo 6.2 per il provino DCB, si ottiene un siste-ma algebrico, definito dalle condizioni al contorno, la cui soluzione fornisce le costanti di integrazione relative (Tabella 6.5). È interessante notare che mentre per la prova standard di modo I puro alcune co-stanti, ed in particolare quelle che coinvolgono la definizione delle τ(s) sono nulle (Tabella 6.3), per la prova ADCB nessuna costante è rigorosamente nulla.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13

69.7002 −5.53092 −4.95484 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0

Tabella 6.5: costanti di integrazione per l’esempio di ADCB.

In Figura 6.7 sono mostrati gli andamenti degli sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura.

Sostituendo le costanti di integrazione nelle espressioni delle caratteristiche della sollecitazione se ne trovano gli andamenti nei due sub–laminati (Figure 6.8).

I valori del tasso di rilascio dell’energia sono GI= 106.9 J/m2,

GII= 15.2 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 21◦.

È interessante verificare come varia la ripartizione dei modi al variare del rapporto geometrico H1/H.

Applicando ripetutamente il modello a geometrie con rapporti variabili tra gli spessori, è stato possi-bile ricavare le curve illustrate in Figura 6.9, e 6.10, che mostrano, rispettivamente, gli andamenti degli sforzi interlaminari (a parità di carico applicato P) al variare del rapporto H1/H, e l’andamento

dell’an-golo di modo misto ψ (per H1/H = 0.5 si ritrova la condizione di modo I puro e la prova è a tutti gli

effetti una prova DCB).

I risultati numerici confermano la presenza di un modo misto in un provino ADCB nel quale la delaminazioni propaghi in un piano diverso dal piano medio del provino.

Nel Paragrafo seguente esamineremo il caso di un provino ADCB geometricamente simmetrico ma costituito da sub–laminati con caratteristiche meccaniche differenti.

6.4

Prova ADCB geometricamente simmetrica

In questo Paragrafo si illustra la soluzione per un provino che abbia le stesse dimensioni geometriche del provino ADCB illustrato nel Paragrafo 6.3 (Pagina 88).

Il problema è schematicamente illustrato nelle Figure 6.11 e 6.12. In particolare, si suppone che il laminato inferiore abbia una sequenza di impilamento [0◦]8, e il laminato superiore [90◦]8.

Il carico applicato P sia pari a 50 N.

In Tabella 6.4 sono elencate le rigidezze del provino integro e dei due sub–laminati. Il parametro di accoppiamento è

b0= 10.9689 10−5N−1.

L’equazione caratteristica è

1 2 3 4 5 6 s@mmD 100 200 300 400 500 sHsL @MPaD H1•H = 0.5 H1•H = 0.4375 H1•H = 0.375 H1•H = 0.3125 H1•H = 0.25 H1•H = 0.1875 H1•H = 0.125 H1•H = 0.0625 (a) 1 2 3 4 5 6 s@mmD 50 100 150 tHsL @MPaD H1•H = 0.5 H1•H = 0.4375 H1•H = 0.375 H1•H = 0.3125 H1•H = 0.25 H1•H = 0.1875 H1•H = 0.125 H1•H = 0.0625 (b)

Figura 6.9: sforzi interlaminari in un provino ADCB unidirezionale per differenti valori del rapporto H1/H:

(a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ. 0.2 0.4 0.6 0.8 H1•H 5 10 15 20 25 y@degD

Figura 6.10: angolo di modo misto, ψ, in funzione del rapporto tra gli spessori H1/H.

e i cui coefficienti sono α₂U= 6.32608, α₄U= 9.49992, α₆U= 1.15941.

Figura 6.11: provino con accoppiamento e delaminazione geometricamente simmetrica (ADCB).

Figura 6.12: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova ADCB (delaminazione simmetrica in provino con accoppiamento).

Le radici del polinomio caratteristico sono calcolabili numericamente e valgono: λσ ,1= λ1= −2.013060, λσ ,2= λ2= −1.462860,

λσ ,3= λ3= −0.365643, λσ ,4= λ4= 0.365643,

λσ ,5= λ5= 1.462860, λσ ,6= λ6= 2.013060.

Le costanti di integrazione per le Equazioni 5.35 sono elencate in Tabella 6.7. I valori del tasso di rilascio dell’energia sono

GI= 256.4 J/m2, GII= 161.6 J/m2, A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm] laminato integro 345500.00 380625.00 14604.20 719792.00 sub–laminato 1 20500.00 0.00 6062.50 10677.10 sub–laminato 2 325000.00 0.00 8541.67 169271.00

Tabella 6.6: rigidezze per l’esempio di provino ADCB con accoppiamento.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13

180.3300 −75.7036 −12.9180 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0 ≈ 0

5 10 15 20 25 s@mmD 20 40 60 80 sHsL @MPaD (a) 5 10 15 20 25 s@mmD 10 20 30 40 50 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.13: sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura in un provino ADCB geometrica-mente simmetrico ma con accoppiamento:

(a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ.

5 10 15 20 25 s@mmD -400 -200 200 400 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -400 -200 200 400 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -2000 -1500 -1000 -500 500 1000 1500 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.14: caratteristiche della sollecitazione in prossimità dell’apice della fessura in un provino ADCB geometricamente simmetrico ma con accoppiamento (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub– laminato 2):

(a) forza normale, N(s); (b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 38◦.

6.5

Prova ENF

Si consideri il provino ENF illustrato in Figura 6.15. La lunghezza 2L sia pari a 100 mm, e la larghezza W sia 20 mm.

Il provino è realizzato a partire dalla sovrapposizione di 16 lamine unidirezionali [0◦]16, ognuna di

spessore pari a 0.3125 mm. Si suppone che la delaminazione propaghi in modo simmetrico: gli spessori sono H = 5 mm, con H1= H2= 2.5 mm.

Tra le sezioni O e B il provino è integro, mentre presenta una fessura tra le sezioni A e O, la cui lunghezza iniziale, a, è 25 mm.

Il carico, P, applicato in corrispondenza della sezione C, è pari a 100 N.

Figura 6.15: prova ENF su un provino simmetrico.

È possibile estrarre dal provino in questione un elemento di laminato compreso tra le sezioni O e C (Figura 6.16). In tal caso,

b= L − a = 25 mm.

Le rigidezze dei sub-laminati sono elencate in Tabella 6.2 e il parametro di accoppiamentob0è nullo.

Analogamente a quanto visto per i casi precedenti, a sinistra della sezione O i due sub–laminati non sono collegati tra loro dall’interfaccia (Figura 6.1). A differenza del provino DCB però, il provino ENF è caricato in modo che le due travi isostatiche AO si flettano nella stessa direzione e deve essere garantita

una condizione di non compenetrazione: un primo modo per far questo è quello di imporre che i due sub–laminati si deformino assumendo la stessa curvatura.

Una condizione equivalente a questa, ma solo a patto che i sub–laminati non presentino accoppia-menti flesso–estensionali e abbiano rigidezze uguali, è quella di supporre che le azioni flettenti e taglianti applicate al solo sub–laminato inferiore possano essere equamente ripartite tra i due laminati (Figura 6.16), e che, non essendo lo scorrimento impedito, le forze normali si mantengano nulle.

Considerazioni diverse devono essere fatte per la sezione C.

In particolare si possono individuare due approcci: un primo approccio, che può essere definito “esat-to”, prevede di studiare non il solo elemento OC, ma i due elementi OC e CB affiancati, imponendo nella sezione C le opportune equazioni di raccordo statiche e cinematiche. Risolvendo il sistema dei due ele-menti si può ottenere l’andamento degli sforzi interlaminari su tutta la lunghezza del provino. Un secondo approccio, che fornirà risultati approssimati ma che ha l’indubbio vantaggio di essere meno oneroso, pre-vede di supporre che l’interfaccia elastica sia presente soltanto tra le sezioni O e C, e che il provino sia monolitico nel tratto CB.

La soluzione che si ottiene in tal caso perde progressivamente validità mano a mano che ci si avvicini alla sezione di mezzeria, ma rimane accettabilmente corretta in corrispondenza dell’apice della fessura qualora si voglia determinare la ripartizione dei modi di frattura interlaminare.

Le azioni che il laminato monolitico CB scambia con l’elemento di laminato OC sono note nel loro complesso (definiamo NC₃ la forza normale, QC₃ la forza di taglio e M₃C il momento flettente), ma deve essere determinata la frazione in cui queste azioni si ripartiscono tra i due sub–laminati in base alle rispettive rigidezze (in Appendice B è illustrato il procedimento dettagliato per la ripartizione dei carichi). Il sistema è tale che le equazioni caratteristiche e le loro radici, nell’ipotesi che tutti i provini illustrati in questo Capitolo siano realizzati nello stesso materiale, sono gli stessi dell’esempio del provino DCB (Paragrafo 6.2).

Le condizioni al bordo per questo problema sono: N1|s=0= 0, Q1|s=0= P 4, M1|s=0= a P 4; N2|s=0= 0, Q2|s=0= P 4, M2|s=0= a P 4; N1|s=b= N C 1, Q1|s=b= Q C 1, M1|s=b= M C 1; N2|s=b= N C 2, Q2|s=b= Q C 2, M2|s=b= M C 2. (6.5)

Sostituendo nelle condizioni al bordo le Equazioni 5.28, 5.29 e 5.51, si ottiene il sistema di nove equazioni in nove incognite che, risolto, fornisce le costanti di integrazione elencate in Tabella 6.8.

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉

≈ 0 ≈ 0 0 0 8.4239 ≈ 0 0.7500 18.7500 18.7500

F10 F11 F12 F13

−1.2500 −7.8125 1.2500 7.8125

Tabella 6.8: costanti di integrazione per l’esempio di provino ENF.

Nelle Figure 6.17 e 6.18 sono illustrati gli andamenti degli sforzi interlaminari e delle caratteristiche della sollecitazione per il provino ENF.

I valori del tasso di rilascio dell’energia sono GI≈ 0,

GII= 5.1 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ = 90◦.

5

10

15

20

25

s

@mmD

2. ´ 10

4. ´ 10

6. ´ 10

8. ´ 10

1. ´ 10

1.2 ´ 10

1.4 ´ 10

s

HsL @MPaD

Figura 6.17: sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura in un provino ENF: (a) andamento delle σ ;

5 10 15 20 25 s@mmD -600 -400 -200 200 400 600 NHsL @ND (a)

0

5

10

15

20

25

s

@mmD

5

10

15

20

25

30

Q

HsL @ND

0

5

10

15

20

25

s

@mmD

200

400

600

800

M

HsL @N mmD

Figura 6.18: caratteristiche della sollecitazione in prossimità dell’apice della fessura in un provino ENF (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2):

(a) forza normale, N(s);

(b) forza di taglio, Q(s) (valori sovrapponibili per i due sub–laminati); (c) momento flettente, M(s) (valori sovrapponibili per i due sub–laminati).

Figura 6.19: provino con delaminazione simmetrica (MMB).

Figura 6.20: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova MMB.

Si può osservare come, nella prova ENF, ad un carico P = 100 mm corrisponda un basso valore diG, se confrontato con i valori ottenuti per le altre modalità di prova.

6.6

Prova MMB

Si consideri un provino standardizzato per la prova MMB (Paragrafo 3.4 a Pagina 48): la semi–lunghezza Lsia pari a 50 mm e la larghezza W sia 25 mm (Figura 6.19). Lo spessore totale del provino, H, sia 4.4 mm e la fessura di lunghezza iniziale a = 25 mm sia collocata sul piano medio del laminato. Lo spessore di ogni lamina, ∆z, sia pari a 0.275 mm.

Seguendo le indicazioni fornite da Adams et al. [2003], si sceglie di porre la lunghezza della leva di carico, c, pari a 107, 735 mm, cui corrisponde, secondo la relazione all’Equazione 3.28, un rapporto tra i modiGII/GIdi 0.25. Per uno schema completo della prova MMB si rimanda alla Figura 3.12 a Pagina 48.

Nel caso in cui la sequenza di impilamento sia [0◦]16, le rigidezze dei due sub–laminati sono già state

determinate per gli esempi precedenti, e sono riportate in Tabella 6.9.

A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm]

sub–laminato 1 286000.00 0.00 7516.67 115353.00

sub–laminato 2 286000.00 0.00 7516.67 115353.00

Tabella 6.9: rigidezze per l’esempio di provino MMB.

Per quanto riguarda l’estrazione dell’elemento di laminato (Figura 6.20), valgono le stesse conside-razioni già fatte per il provino ENF (Paragrafo 6.5), e si rimanda all’Appendice B per la procedura di ripartizione delle caratteristiche della sollecitazione tra i due sub–laminati.

Le equazioni caratteristiche delle Equazioni 5.22 sono le Equazioni 6.1, dove si può porre α₂B= 4.95868,

α₄B= 0.323118, β₂B= 0.260648.

Si ottengono pertanto tre coppie di radici reali delle equazioni caratteristiche: λσ ,1= λ1= −2.21193, λσ ,4= λ4= 2.21193,

λσ ,2= λ2= −0.256986, λτ ,1= λ5= −0.510537,

λσ ,3= λ3= 0.256986, λτ ,2= λ6= 0.510537.

Le condizioni al bordo per questo problema sono: N1|s=0= 0, Q1|s=0= cP L , M1|s=0= acP L ; N2|s=0= 0, Q2|s=0= − (c − L) P 2L , M2|s=0= − a(c − L) P 2L ; N1|s=b= N C 1, Q1|s=b= Q C 1, M1|s=b= M C 1; N2|s=b= N C 2, Q2|s=b= Q C 2, M2|s=b= M C 2. (6.6)

dove NC₁, QC₁, M₁C, N₂C, QC₂ e M₂C sono le caratteristiche della sollecitazione opportunamente frazionate tra i due sub–laminati.

Le costanti di integrazione calcolate risolvendo il sistema algebrico risultano essere quelle elencate in Tabella 6.10.

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉

50.7663 −5.1960 1.7245 10−5 ≈ 0 13.7266 ≈ 0 1.0755 26.8867 26.8867

F10 F11 F12 F13

−1.5773 −9.85844 1.5774 9.8584

Tabella 6.10: costanti di integrazione per l’esempio di provino MMB.

Nelle Figure 6.21 e 6.22 sono illustrati gli andamenti degli sforzi interlaminari e delle caratteristiche della sollecitazione per il provino MMB.

È interessante verificare che effettivamente le caratteristiche della sollecitazione per il provino MMB (Figure 6.22) possono essere viste come una opportuna sovrapposizione delle analoghe curve delle prove DCB (Figure 6.4) e ENF(Figure 6.18).

I valori del tasso di rilascio dell’energia sono GI= 55.7 J/m2,

GII= 11.8 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 25◦.

Il rapporto tra i modi aspettato in base alla scelta della lunghezza della leva di carico è 0.25. Il modello ad interfaccia elastica proposto fornisce invece

GII

GI

= 0.21.

In Figura 6.23 è illustrato il confronto tra del rapportoGII/GIfornito da Adams et al. [2003] e quello

ottenuto applicando il modello proposto in questa tesi. È evidente che un errore nella stima dell’angolo di modo misto in funzione della lunghezza della leva di carico può portare ad una errata scomposizione dei modi di frattura.

5 10 15 20 25 s@mmD 10 20 30 40 sHsL @MPaD (a) 0 5 10 15 20 25 s@mmD 5 10 15 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.21: sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura in un provino MMB: (a) andamento delle σ ;

5 10 15 20 25 s@mmD -1000 -500 500 1000 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -300 -200 -100 100 200 300 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -500 500 1000 1500 2000 2500 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.22: caratteristiche della sollecitazione in prossimità dell’apice della fessura in un provino MMB (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2):

(a) forza normale, N(s); (b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).

40 60 80 100 c@mmD 0.5 1.0 1.5 2.0 GII•GI Adams et al., 2003 modello analiticoHEBTL

Figura 6.23: confronto tra il rapportoGII/GIal variare della lunghezza della leva di carico, c.

Figura 6.24: provino AMMB con delaminazione non simmetrica.

6.7

Prova AMMB geometricamente non simmetrica

Si suppone di sottoporre alla stessa tipologia di prova cui si è sottoposto il provino MMB del Paragrafo precedente un provino unidirezionale [0◦]16 nel quale la delaminazione sia fuori dal piano medio del

laminato.

In particolare gli spessori siano: H1= 1.375 mm,

H2= 3.025 mm.

La lunghezza iniziale della delaminazione sia 25 mm. La semi–lunghezza L sia pari a 50 mm e la larghez-za W sia 25 mm (Figura 6.24).

In Tabella 6.11 sono elencate le rigidezze dei sub–laminati.

A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm]

sub–laminato 1 178750.00 0.00 4697.92 28162.40

sub–laminato 2 393250.00 0.00 10335.40 299874.00

Tabella 6.11: rigidezze per l’esempio di provino ADCB. Il parametro di accoppiamento è diverso da zero, e vale

Figura 6.25: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova AMMB.

Il problema è riconducibile al caso non bilanciato e è descritto dalle Equazioni 5.35. L’equazione caratteristica è

λ_σ6− α₂Uλ_σ4+ α₄Uλ_σ2− α₆U= 0, (6.7)

i cui coefficienti sono α₂U= 6.073400, α₄U= 2.473960, α₆U= 0.154414.

Le radici del polinomio caratteristico sono calcolabili numericamente e valgono: λσ ,1= λ1= −2.374780, λσ ,2= λ2= −0.597632,

λσ ,3= λ3= −0.276876, λσ ,4= λ4= 0.276876,

λσ ,5= λ5= 0.597632, λσ ,6= λ6= 2.374780.

Le costanti di integrazione per questo problema sono elencate in Tabella 6.12.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9

98.8286 −9.3774 −6.1874 1.4880 10−5 ≈ 0 ≈ 0 0.9242 23.1057 23.1057

F₁₀ F₁₁ F₁₂ F₁₃

−0.7317 −2.4069 2.4230 25.6281

Tabella 6.12: costanti di integrazione per l’esempio di provino AMMB.

In Figura 6.26(a) e 6.26(b) sono illustrati gli andamenti degli sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura

Nelle Figure 6.27(a), 6.27(b) e 6.27(c) sono illustrate le caratteristiche della sollecitazione. I valori del tasso di rilascio dell’energia sono

GI= 186.0 J/m2,

GII= 63.1 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 30◦.

5 10 15 20 25 s@mmD 20 40 60 80 sHsL @MPaD (a) 5 10 15 20 25 s@mmD 5 10 15 20 25 30 35 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.26: sforzi interlaminari in un provino AMMB unidirezionale (H1/H = 0.3125) in prossimità

dell’apice della fessura: (a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ.

5 10 15 20 25 s@mmD -1000 -500 500 1000 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -400 -200 200 400 600 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -1000 1000 2000 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.27: caratteristiche della sollecitazione in un provino AMMB unidirezionale (H1/H = 0.3125) in

prossimità dell’apice della fessura (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2): (a) forza normale, N(s);

(b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).

Figura 6.28: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova AMMB (laminato non simmetrico).

6.8

Prova AMMB geometricamente simmetrica

Si suppone di sottoporre alla stesse condizioni di carico, cui si sono sottoposti il provino MMB e il provino AMMB geometricamente non simmetrico, un provino realizzato accoppiando due laminati uni-direzionali ma con fibre orientate in modo differente: il sub–laminato superiore sia infatti [90◦]8, e quello

inferiore [0◦]8. La delaminazione iniziale, di lunghezza a = 25 mm, sia collocata sul piano medio del

laminato.

Gli spessori siano pertanto: H₁= H2= 2.2 mm,

La semi–lunghezza L sia pari a 50 mm e la larghezza W sia 25 mm (Figure 6.19 e 6.28). In Tabella 6.11 sono elencate le rigidezze dei sub–laminati.

A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm]

laminato integro 304040.00 294756.00 12851.70 490518.00

sub–laminato 1 18040.00 0.00 5335.00 7276.13

sub–laminato 2 286000.00 0.00 7516.67 115353.00

Tabella 6.13: rigidezze per l’esempio di provino AMMB con accoppiamento. Il parametro di accoppiamento è diverso da zero, e vale

b0= 14.1643 10−5N−1.

Il problema è riconducibile al caso non bilanciato e è descritto dalle Equazioni 5.35. L’equazione caratteristica è λ_σ6− α₂Uλ_σ4+ α₄Uλ_σ2− α₆U= 0, (6.8) e i coefficienti sono α₂U= 8.169010, α₄U= 15.841200, α₆U= 2.496550.

Le radici del polinomio caratteristico sono calcolabili numericamente e valgono: λσ ,1= λ1= −2.287570, λσ ,2= λ2= −1.66234,

λσ ,3= λ3= −0.415504, λσ ,4= λ4= 0.415504,

Le costanti di integrazione per questo problema sono elencate in Tabella 6.14.

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉

261.8520 −117.6500 −16.6738 1.3684 10−6 ≈ 0 ≈ 0 0.5752 14.3795 14.3795

F10 F11 F12 F13

−0.7448 −2.8025 2.4099 44.4302

Tabella 6.14: costanti di integrazione per l’esempio di provino AMMB con sequenza di impilamento non simmetrica.

In Figura 6.29(a) e 6.29(b) sono illustrati gli andamenti degli sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura

5 10 15 20 25 s@mmD 20 40 60 80 100 120 sHsL @MPaD (a) 5 10 15 20 25 s@mmD 20 40 60 80 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.29: sforzi interlaminari in un provino AMMB, con sequenza di impilamento non simmetrica, in prossimità dell’apice della fessura:

(a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ.

5 10 15 20 25 s@mmD -1000 -500 500 1000 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -600 -400 -200 200 400 600 800 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -1000 1000 2000 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.30: caratteristiche della sollecitazione in un provino AMMB, con sequenza di impilamento non simmetrica, in prossimità dell’apice della fessura (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2):

(a) forza normale, N(s); (b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).

I valori del tasso di rilascio dell’energia sono GI= 436.3 J/m2,

GII= 429.0 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 45◦.

6.9

Prova AMMB con sequenza di impilamento generica

Come ultimo esempio si dimostra l’applicabilità del modello ad un laminato in cui la sequenza di im-pilamento sia non simmetrica, e la fessura propaghi in un piano tale che anche i sublaminati presentino accoppiamenti flesso–estensionali.

In particolare si sceglie un provino che presenti le stesse caratteristiche geometriche dei provini AMMB presentati in precedenza ma le cui sequenze di impilamento siano

[0◦/90◦/ + 45◦/0◦/0◦] per il sub–laminato superiore, e

[90◦/ − 45◦/0◦/90◦/90◦/0◦/90◦/0◦/90◦/0◦/45◦], per il sub–laminato inferiore, come mostrato in Figura 6.31.

Figura 6.31: condizione di carico per l’elemento di laminato in caso di prova AMMB (laminato non simmetrico e con accoppiamento).

Gli spessori sono pertanto

H₁= 1.375 mm e

H₂= 3.025 mm,

La semi–lunghezza L è pari a 50 mm e la larghezza W sia 25 mm. La lunghezza della leva di carico sia ancora c = 107.735 mm.

Le rigidezze del laminato e dei sub–laminati sono elencate in Tabella 6.15. Il parametro di accoppiamentob0è pari a 1.02622 10−5N−1.

I coefficienti del polinomio caratteristico sono: α₂U= 6.988810,

α₄U= 4.172300, α₆U= 0.443194;

A[N/mm] B[N] C[N/mm] D[Nmm] laminato integro 296580.00 -21834.60 12988.00 517686.00

sub–laminato 1 120438.00 9211.13 4288.85 25261.90

sub–laminato 2 176141.00 30019.90 8699.17 120235.00

Tabella 6.15: rigidezze per l’esempio di provino AMMB non simmetrico e con accoppiamento.

le radici del polinomio caratteristico sono:

λσ ,1= λ1= −2.518320, λσ ,2= λ2= −0.713994,

λσ ,3= λ3= −0.370247, λσ ,4= λ4= 0.370247,

λσ ,5= λ5= 0.713994, λσ ,6= λ6= 2.518320.

Le costanti di integrazione del sistema sono determinate sostituendo le condizioni al bordo (Equa-zioni 6.6) e sono elencate in Tabella 6.16.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9

112.1380 −2.3869 −13.9359 1.8342 10−6 ≈ 0 ≈ 0 1.0030 25.0755 25.0755

F₁₀ F₁₁ F₁₂ F₁₃

−0.7630 −1.8351 2.3917 21.8662

Tabella 6.16: costanti di integrazione per l’esempio di provino AMMB non simmetrico e con accoppiamento.

In Figura 6.32(a) e 6.32(b) sono illustrati gli andamenti degli sforzi interlaminari in prossimità dell’apice della fessura

Nelle Figure 6.33(a), 6.33(b) e 6.33(c) sono riportate le caratteristiche della sollecitazione. I valori del tasso di rilascio dell’energia sono

GI= 246.3 J/m2,

GII= 40.8 J/m2,

e l’angolo di modo misto è ψ ≈ 22◦.

5 10 15 20 25 s@mmD 20 40 60 80 sHsL @MPaD (a) 0 5 10 15 20 25 s@mmD 5 10 15 20 25 tHsL @MPaD (b)

Figura 6.32: sforzi interlaminari in un provino AMMB, non simmetrico e con accoppiamento, in prossi-mità dell’apice della fessura:

(a) andamento delle σ ; (b) andamento delle τ.

5 10 15 20 25 s@mmD -1000 -500 500 1000 NHsL @ND (a) 5 10 15 20 25 s@mmD -600 -400 -200 200 400 600 QHsL @ND (b) 5 10 15 20 25 s@mmD -1000 -500 500 1000 1500 2000 2500 MHsL @N mmD (c)

Figura 6.33: caratteristiche della sollecitazione in un provino AMMB, non simmetrico e con accoppia-mento, in prossimità dell’apice della fessura (linea blu: sub–laminato 1; linea rossa: sub–laminato 2): (a) forza normale, N(s);

(b) forza di taglio, Q(s); (c) momento flettente, M(s).