Il problema della torsione nelle travi di sezione rettangolare

UNIVERSITÀ DI PISA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE

Corso di laurea triennale in Ingegneria Civile Ambientale ed Edile

IL PROBLEMA DELLA TORSIONE NELLE TRAVI

DI SEZIONE RETTANGOLARE

Tesi di laurea triennale

Relatore:

Prof. Ing. Paolo S. VALVO Ing. Luca TAGLIALEGNE

Laureanda:

Elisa GALLETTO

III

INDICE

INDICE ... III INTRODUZIONE ... V RINGRAZIAMENTI ... VI IL PROBLEMA DELLA TORSIONE NELLE TRAVI DI SEZIONE

RETTANGOLARE ... 1

CAPITOLO 1 LA TRAVE SECONDO DE SAINT VENANT ... 3

1.1 Premessa ... 3

1.2 Formulazione e approccio risolutivo del problema di de Saint Venant . 5 1.2.1 Il solido di de Saint Venant ... 5

1.2.2 Formulazione matematica del problema ... 7

1.2.3 Soluzione del problema ... 12

1.2.3.1 Soluzione generale delle tensioni normali ... 12

1.2.3.2 Soluzione generale delle tensioni tangenziali ... 15

1.3 Casi fondamentali ... 18

1.3.1 Sforzo normale o assiale ... 18

1.3.2 Flessione retta ... 20

1.3.3 Flessione deviata ... 23

1.3.4 Sforzo normale eccentrico ... 26

1.3.5 Flessione e taglio ... 29

CAPITOLO 2 LA TORSIONE ... 31

2.1 Premessa ... 31

2.2 Lo studio della torsione ... 32

2.2.1 Le tensioni tangenziali nella torsione ... 32

2.2.2 Calcolo diretto del lavoro di deformazione ... 38

2.2.3 Spostamenti ... 39

2.2.4 Analisi generale dello stato di tensione ... 42

2.4 La torsione nella sezione ellittica ... 47

CAPITOLO 3 LA TORSIONE NELLA SEZIONE RETTANGOLARE51 3.1 Soluzione teorica ... 51

3.2 Esempio applicativo ... 54

APPENDICE ... 57

V

INTRODUZIONE

La presente tesi è divisa in tre capitoli. Nel primo si riportano i punti salienti della teoria di de Saint Venant per lo studio delle travi, illustrando le nozioni necessarie per affrontare il problema della torsione, ovvero la formulazione matematica e la soluzione generale delle tensioni tangenziali del problema di de Saint Venant.

Nel secondo capitolo si approfondisce il tema della Torsione, nello specifico la soluzione delle tensioni tangenziali, il lavoro di deformazione, gli spostamenti e un’analisi generale dello stato di tensione. Alla fine del capitolo si affrontano la sezione circolare e quella ellittica.

Nel terzo capitolo si affronta la sezione rettangolare sempre nel caso della torsione, è diviso in due parti, nella prima si è illustrata la soluzione teorica, mentre nella seconda si riporta un esempio applicativo, i cui risultati e i relativi diagrammi si sono ricavati tramite ausilio del programma di calcolo MatLab.

VI

RINGRAZIAMENTI

Desidero ringraziare innanzitutto il relatore di questa tesi il professor Paolo Valvo e il correlatore Luca Taglialegne per la disponibilità, l’attenzione e la gentilezza dimostrata durante la stesura del lavoro.

Ringrazio poi tutta la mia famiglia per il continuo sostegno, in particolar modo i miei genitori, consapevoli del valore dell’istruzione e della formazione hanno sostenuto e finanziato con gioia i miei studi senza mai dubitare di me e delle mie capacità.

Un grazie speciale anche ai miei colleghi di corso, ormai amici che in diversi modi hanno dato un contributo importante nel mio percorso formativo, specialmente Simone, Marco, Tiziana e Alessio che mi hanno sempre aiutata al momento del bisogno.

Grazie anche al mio fidanzato Oliver che mi è sempre stato accanto in questo lungo percorso.

1

IL PROBLEMA DELLA TORSIONE NELLE

TRAVI DI SEZIONE RETTANGOLARE

3

Capitolo 1

LA TRAVE SECONDO DE SAINT VENANT

In questo capitolo si fa riferimento a quanto riportato nel testo di scienza delle costruzioni a cura di Luciano Nuziante, terza edizione (Gambarotta).

1.1 Premessa

Il problema di de Saint Venant è uno degli argomenti centrali per l’Ingegneria Civile, se non addirittura il più importante per i suoi riflessi sulla teoria delle travi.

Consiste in un problema elastico relativo ad un solido cilindrico la cui soluzione è possibile solo se si considera un’opportuna distribuzione di forze esterne, riconducibili a soli sei casi di base distinti, alle cui combinazioni può ricondursi il caso più generale di carico.

La possibilità di far rientrare in questo caso del tutto particolare moltissimi problemi tecnici deriva dall’ipotesi fondamentale formulata da de Saint Venant, secondo cui la sostituzione di un dato sistema di forze con un altro staticamente equivalente non modifica in maniera significativa lo stato di sollecitazione nei punti del solido sufficientemente lontani dalla zona in cui sono applicati i carichi esterni effettivamente agenti.

Si pensi per esempio alle relazioni esplicate da un vincolo reale; l’effettiva distribuzione delle trazioni sulle facce esterne non è nota se non in termini di risultati. Il problema sarebbe di fatto privo di rilevanza applicativa se non sussistesse la suddetta ipotesi, che prende il nome di

postulato di de Saint Venant o principio di equivalenza elastica.

A parità di risultante e di momento risultante, la differenza tra le azioni previste e quelle effettive, in genere non note, è una distribuzione auto-equilibrata (con risultante e momento risultante nulli). Gli effetti di tale distribuzione si smorzano rapidamente e possono essere considerati

tecnicamente ininfluenti a una distanza dalle estremità dell’ordine della massima dimensione lineare della sezione. Pertanto, in travi sufficientemente snelle la soluzione di de Saint Venant può ritenersi valida quasi ovunque. In modo analogo il problema è svincolato dalle particolari leggi di carico, che sono sostituite dalla loro risultante e dal loro momento risultante.

Va inoltre sottolineato come la validità del principio di equivalenza elastica sia subordinato alla isotropia e/o omogeneità del materiale. Infatti, la risposta a carichi auto-equilibrati per solidi anisotropi ed eterogenei può essere significativa anche a grande distanza. E’ infine importante osservare che gli effetti indotti da questo tipo di sollecitazioni decadono rapidamente solo se la sezione è compatta, mentre nel caso dei profili aperti di parete sottile questi effetti possono invece coinvolgere gran parte della trave. Pertanto, nell’ambito della teoria tecnica delle travi, i risultati della trattazione del De Saint Venant vengono estesi ai casi di:

• Presenza di vincoli esterni;

• Presenza di carichi applicati in campata; • Travi ad asse curvilineo o ad asse spezzato;

• Travi eterogenee e non isotrope (per esempio c.a. o legno).

In altre parole lo stato di tensione e di deformazione in una trave, ottenibile con il modello formulato da de Saint Venant, risulta completamente definito in funzione delle caratteristiche della sollecitazione qualunque siano le forze esterne da cui esse derivano. In ciò consiste la fondamentale importanza che ha rivestito storicamente questa trattazione.

1.2 Formulazione e approccio risolutivo del problema di de

Saint Venant

1.2.1 Il solido di de Saint Venant

Il problema di De Saint Venant è relativo ad un solido prismatico con un sistema di riferimento collocato nel baricentro G di una sezione estrema, i cui assi principali di inerzia coincidono con (x, y) e l’asse z rappresenta l’asse della trave (Figura 1.1).

In tale riferimento, detto principale, si annullano i momenti statici e il momento centrifugo della sezione rispetto a x e y;

𝑆_! = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = 0

𝑆! = ∫ 𝑥 𝑑𝐴 = 0 (1.1)

𝐼_!" = ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 0

Limitatamente ai momenti fino al secondo ordine, le proprietà geometriche della sezione si riconducono quindi all’area A e ai due momenti d’inerzia rispetto agli assi principali.

Queste quantità sono definite dalle seguenti relazioni: 𝐴 = ∫ 𝑑𝐴

𝐼! = ∫ 𝑥! 𝑑𝐴 (1.2)

𝐼_! = ∫ 𝑦! _𝑑𝐴

Si può definire il solido di de Saint Venant un solido prismatico in cui volume è descritto dalla traslazione in direzione z di una figura piana, sezione trasversale appartenente al piano (x, y), ortogonale all’asse (trave a sezione costante ad asse rettilineo). La frontiera del solido è rappresentata da una superficie cilindrica detta superficie laterale o mantello, e dalle sezioni terminali, dette basi (Figura 1.1). Detto d il diametro del cerchio minimo circoscritto alla sezione e “l” la dimensione secondo z della trave, detta lunghezza o luce, si assume d << l; la trave è dunque un prisma allungato avente la dimensione secondo z nettamente prevalente sulle altre due.

Figura 1.1 – Il solido di De Saint Venant (Gambarotta).

Il materiale di cui è costituita la trave si assume iperelastico, lineare, omogeneo e isotropo.

La trave è considerata priva di vincoli e dunque libera nello spazio; ne consegue che i carichi a essa applicati devono costituire un sistema in equilibrio e devono quindi avere risultante e momento risultante nulli.

Per quanto riguarda i carichi, si assume: • Assenza di forze di volume

𝑏_! = 𝑏_! = 𝑏_!= 0 (1.3) • Assenza di forze di superficie applicate alla superficie laterale del

solido

𝑓_! = 𝑓_! = 𝑓_! = 0 (1.4) • Il solido trave risulta caricato solo da due sistemi di forze

superficiali, 𝑓! _{𝑒 𝑓}! _{agenti sulle basi estreme z = 0, z = l con la sola}

restrizione che costituiscano un sistema di forze auto-equilibrato. Si osservi che le ipotesi introdotte sulla geometria, sul materiale e sui carichi sono in evidente contrasto con la realtà tecnica; si pensi per esempio a una trave di copertura in legno, di materiale evidentemente non omogeneo e non isotropo, ove, se anche il peso proprio è modesto, certamente essenziale è il carico applicato sulla superficie laterale all’estradosso.

Tuttavia, riscontri sperimentali mostrano che i risultati ottenibili con la teoria del dSV, anche in condizioni di carico e materiali diversi da quelli postulati, sono sufficientemente accurati dal punto di vista tecnico.

1.2.2 Formulazione matematica del problema

Il problema può essere formulato come un classico problema di elasticità con dati al contorno sulle sole forze. Le grandezze da determinare sono le componenti dei tensori degli sforzi T e delle deformazioni infinitesime E. Inoltre le componenti dello spostamento u, v, w secondo gli assi coordinati, in assenza di vincoli, possono essere determinate solo a meno di moti rigidi.

Una notevole semplificazione del problema è stata operata dal de Saint Venant ipotizzando che su piani paralleli all’asse baricentrico passanti per un qualunque punto siano nulle le componenti normali delle tensioni, così come quelle tangenziali ortogonali all’asse della trave. In particolare si ipotizza:

σ_!= σ_! = 𝜏_!"= 0 (1.5) Sicché il tensore di sforzo assume la forma semplificata:

T =

0 0 𝜏_!" 0 0 𝜏!"

𝜏_!" 𝜏_!" 𝜎_! (1.6) Questa ipotesi equivale a supporre che sugli elementi piani paralleli a z non agiscono tensioni normali ma solo tensioni tangenziali parallele all’asse del solido (Figura 1.2).

Lo stato di tensione così definito è ovviamente uno stato tensionale piano risultando det(T) = 0, e il vettore di tensione giace su un piano parallelo all’asse della trave.

A seguito delle ipotesi sopra fatte, assenza di forze di volume e a seguito della (1.5), le equazioni indefinite di equilibrio divengono:

!!!" !" = 0 !!!" !" = 0 !!!" !" + !!!" !" + !!! !" = 0 (1.7)

Figura 1.2 – Ipotesi sullo stato di tensione (Gambarotta).

Dalle prime due delle (1.7) risulta che il campo degli sforzi tangenziali 𝜏!" e

𝜏_!" agenti sulla sezione è indipendente da z e si ripete quindi identicamente su ogni sezione.

Tenendo conto delle condizioni di carico assunte, le equazioni di equilibrio al contorno Tn = f possono essere riscritte nei seguenti modi.

• Sulla superficie laterale o mantello della trave, tenendo conto che il versore della normale uscente assume la forma n = (𝑛_!, 𝑛_!, 0)!_,

dall’ipotesi (1.5) e in assenza di forze superficiali risulta che le prime due equazioni siano identicamente soddisfatte mentre la terza fornisce:

𝜏!"𝑛! + 𝜏!"𝑛! = 0 ↔ 𝜏!∙ 𝑛 = 0 (1.8)

la quale implica che il campo delle tensioni tangenziali agenti sulla sezione della trave, 𝜏 = 𝜏_!", 𝜏_!" !, è sul contorno ortogonale al versore della normale uscente quindi parallelo alla tangente.

• Sulle basi iniziale e terminale, ove la normale uscente ha rispettivamente versori 𝑛 = 0, 0, −1 ! _{e 𝑛 = 0, 0, 1} !_{, si ha:}

𝜏_!" = −𝑓_!! 𝜏!"= −𝑓!! 𝜎_! = −𝑓_!! (𝑧 = 0) 𝜏_!" = 𝑓_!! 𝜏!" = 𝑓!! 𝜃!= 𝑓!! (z = l) (1.9) ossia sulla base iniziale le componenti dello sforzo non nulle sono uguali e opposte alle componenti del carico superficiale ivi agenti, mentre sulla base terminale coincidono con esse.

• Le equazioni costitutive dell’elasticità lineare, nella forma inversa di Hooke, in virtù dell’ipotesi (1.5) assumono la forma:

𝜀_! = −𝜈 !!

! 𝛾!" = 0

𝜀! = −𝜈 !_!! 𝛾!" = 2 !! !_! 𝜏!" = !_!!" (1.10)

𝜀!= !_!! 𝛾!"= 2 !! !_! 𝜏!" = !_!!"

Pertanto, sostituendo le componenti del tensore degli sforzi al posto delle componenti di deformazione, le equazioni di compatibilità spostamento-deformazione assumono la forma:

𝜀_! = !"_!"= −𝜐 !! ! 𝛾!"= !" !"+ !" !"= 0 𝜀_! = _!"!" = −𝜐!! ! 𝛾!" = !" !"+ !" !" = !!" ! (1.11) 𝜀!= !"_!" = !_!! 𝛾!" = !"_!"+ !"_!" = !_!!"

E’ necessario inoltre per la risoluzione del problema postulare l’equivalenza elastica di sistemi di azioni esterne staticamente equipollenti e ciò costituisce il cosiddetto principio di de Saint Venant:

In punti del solido a sufficiente distanza dalle basi caricate, lo stato di tensione e di deformazione non dipende dalla particolare distribuzione delle azioni esterne 𝑓! _{𝑒 𝑓}! _{ma unicamente dalla risultante e dal momento} risultante di tali carichi.

Il principio in questione consente, dunque, di sostituire all’effettiva distribuzione di forze sulle basi estreme altre distribuzioni che, su ciascuna base, abbiano risultante e momento risultante uguali e può essere enunciato in modo del tutto equivalente:

Lo stato di tensione indotto da un sistema auto-equilibrato (con risultante e momento risultante nulli) applicato a ciascuna delle basi del solido si estingue a un’opportuna distanza dalle basi.

L’equivalenza dei due annunciati è immediatamente verificabile (in virtù della sovrapposizione degli effetti) considerando la trave caricata sulle basi in modo generico e sommando a essa un sistema di forze equivalente ma di verso opposto.

Per esempio, nel caso di travi di sezione mono-connessa e compatta, la distanza di estinzione risulta dell’ordine del diametro d del cerchio minimo circoscritto.

Si ritiene invece opportuno sottolineare che la validità di quanto asserito è necessario innanzitutto che siano verificate tutte le ipotesi introdotte. Se la trave è di materiale composito fibro-rinforzato, come per esempio l’albero di una moderna barca a vela composta da diversi materiali anisotropi assemblati, dunque di materiale anisotropo e non omogeneo, la distanza di estinzione dipende dal rapporto fra i moduli di Young nelle diverse direzioni e può risultare, in casi reali, 5-7 volte in diametro d.

E’ necessario che la sezione trasversale presenti dimensioni caratterizzanti fra di loro comparabili, ovvero sia compatta. Se la sezione è caratterizzata invece da dimensioni di ordine di grandezza diverso, come accade nelle cosiddette travi di sezione aperta in parete sottile, lo smorzamento associato a carichi esterni auto-equilibrati può essere meno rapido.

In conformità a quanto detto il principio di equivalenza elastica assicura che, a una certa distanza dalle sezioni estreme, lo stato di sforzo dipenda solo dalle caratteristiche della sollecitazione interna; tenendo conto dell’ipotesi introdotta sullo stato di tensione, si ha:

𝑁 = ∫ 𝜎!𝑑𝐴 𝑀! = ∫ 𝑦 ⋅ 𝜎!𝑑𝐴

𝑇! = ∫ 𝜏!"𝑑𝐴 𝑀! = −∫ 𝑥 ⋅ 𝜎!𝑑𝐴 (1.12)

𝑇_! = ∫ 𝜏_!"𝑑𝐴 𝑀_!= ∫ 𝜏_!"⋅ 𝑥 − 𝜏_!" ⋅ 𝑦 𝑑𝐴

I valori che le (1.12) assumono in corrispondenza delle basi estreme sono correlati alle azioni esterne, in virtù delle (1.9). In un corpo privo di vincoli le azioni esterne devono rispettare le sei equazioni cardinali della statica; inoltre le stesse equazioni devono valere per il generico tronco del cilindro, riportato in (Figura 1.3).

Figura 1.3– Caratteristiche della Sollecitazione (Gambarotta).

L’equilibrio alla traslazione nelle tre direzioni coordinate e alla rotazione attorno all’asse della trave richiede:

𝑁 𝑧 = 𝑁! _{= 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑇}

! 𝑧 = 𝑇!! = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (1.13)

𝑇_! 𝑧 = 𝑇_!! _{= 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑀}

! 𝑧 = 𝑀!! = 𝑐𝑜𝑠𝑡

dalle quali si deduce che le sollecitazioni interne 𝑁, 𝑇_!, 𝑇_!, 𝑀_!, sono costanti. L’equilibrio alla rotazione attorno agli assi x e y comporta.

𝑀_! 𝑧 = 𝑀_!!_{+ 𝑧 T}

!! 𝑀! 𝑧 = 𝑀!!− 𝑧 T!! (1.14)

Le (1.14) affermano che le sollecitazioni 𝑀! 𝑒 𝑀! sono al più lineari in z.

La soluzione che si ottiene verifica tutte le equazioni del problema e in virtù del teorema di Kirchhoff, che garantisce l’unicità della soluzione del problema dell’equilibrio elastico, rappresenta effettivamente l’unica soluzione. Risulta peraltro assai complesso derivare rigorosamente la soluzione analitica. Pertanto si ritiene opportuno non derivare nel seguito la soluzione generale del problema del de Saint Venant né mediante un approccio agli spostamenti proposto da de Saint Venant stesso e formulato in modo sistematico da Clebsch né mediante l’approccio agli sforzi presentato nel trattato di Baldacci.

In seguito verrà derivata la soluzione generale del problema nelle 𝜎_!, a partire dalle equazioni di integrabilità del campo di spostamenti, mentre per le sollecitazioni di torsione e flessione composta a taglio, che

coinvolgono le tensioni tangenziali, verrà discussa la dipendenza della soluzione dalla deformazione fuori dal proprio piano della sezione trasversale, detta ingobbamento.

1.2.3 Soluzione del problema

Nel caso di deformazione non uniforme le componenti del tensore di deformazione infinitesima E devono verificare le equazioni di congruenza interna affinché sia assicurata l’esistenza del campo di spostamento regolare u soluzione del problema. Sostituendo in esse le equazioni costitutive (1.10), in virtù anche delle equazioni indefinite di equilibrio (1.7), si ottiene immediatamente: !!!! !!! = !!!! !!! = !!!! !!! = !!!! !"!#= 0 (1.15) ! !" − !!!" !" + !!!" !" = 𝜈 !!!! !"!# ! !" !!!" !" − !!!" !" = −𝜐 !!!! !"!# (1.16)

dove per semplicità si è posto 𝜐 = _(!!!)! .

1.2.3.1 Soluzione generale delle tensioni normali

Le Relazioni (1.15) caratterizzano completamente la soluzione nelle tensioni normali 𝜎_! in direzione dell’asse della trave qualunque sia la sollecitazione a cui è sottoposta la trave. Infatti, le prime tre equazioni, che

impongono l’annullarsi delle derivate seconde 𝜎!, implicano un andamento

al più lineare secondo gli assi coordinati, mentre la quarta comporta l’annullarsi del termine in xy. Pertanto, qualunque siano il risultante e il momento risultante delle azioni applicate alle basi estreme, le 𝜎! assumono

la forma bilineare seguente:

𝜎_!= 𝑎 + 𝑎_!𝑥 + 𝑎_!𝑦 − 𝑧 (𝑏 + 𝑏_!𝑥 + 𝑏_!𝑦) (1.17) Le (1.16), che caratterizzano la soluzione nelle tensioni tangenziali 𝜏_!" 𝑒 𝜏_!" in funzione delle tensioni normali, non si prestano a fornire una soluzione altrettanto semplice come si vedrà in seguito.

In un sistema di riferimento baricentrico (G, x, y, z) centrato nella base iniziale della trave sostituendo la (1.17) nelle relazioni fra stato di tensione e caratteristiche della sollecitazione, (1.12), si ha:

𝑁 = _! 𝜎_! 𝑑𝐴 = 𝑎 − 𝑧b 𝐴 (1.18)

𝑀!= _! 𝜎!𝑦 𝑑𝐴 = 𝑎!− 𝑏!𝑧 _! 𝑥𝑦 𝑑𝐴 + 𝑎!− 𝑏!𝑧 _! 𝑦! 𝑑𝐴

−𝑀!= _! 𝜎!𝑥 𝑑𝐴 = 𝑎!− 𝑏!𝑧 _! 𝑥! 𝑑𝐴 + 𝑎!− 𝑏!𝑧 _! 𝑥𝑦 𝑑𝐴

ove A è l’area della sezione trasversale.

Nello scrivere le (1.18) si è inoltre tenuto conto che, assumendo come origine degli assi il baricentro G della sezione trasversale, risultano nulli i momenti statici.

L’equilibrio alla traslazione in direzione z comporta la costanza dello sforzo normale, Equazione (1.13), nella prima delle (1.18) deve pertanto annullarsi il coefficiente del termine in z risultando così:

b = 0 (1.19) Conviene riscrivere le (1.18) ricordando le equazioni (1.2) si ottiene:

𝑁 = 𝑎𝐴

𝑀_! = 𝑎_!− 𝑏_!𝑧 𝐼_!"+ 𝑎_! − 𝑏_!𝑧 𝐼_! (1.20) − 𝑀! = 𝑎!− 𝑏!𝑧 𝐼!+ 𝑎!− 𝑏!𝑧 𝐼!"

Le caratteristiche della sollecitazione variano linearmente con z e sostituendo le (1.13) – (1.14) al primo membro delle (1.20) si ottiene:

𝑎_! = − _!! (𝑀_!! _𝐼 !"+ 𝑀!! 𝐼!) (1.21) 𝑎_! = _!! (𝑀_!! _𝐼 !+ 𝑀!! 𝐼!") 𝑏! = −_!! (𝑇!! 𝐼!+ 𝑇!! 𝐼!") (1.22) 𝑏! = _!! (𝑇!! 𝐼!"+ 𝑇!! 𝐼!)

dove si è posto 𝐷 = 𝐼!𝐼!− 𝐼!" ! > 0 e l’apice 0 indica il valore assunto

dalle caratteristiche della sollecitazione per z = 0. Se si assumono come assi coordinati x e y gli assi principali di inerzia della sezione, il momento

centrifugo 𝐼_!" si annulla e le relazioni precedenti si semplificano assumendo la forma: 𝑎 = !_! 𝑎_! = − !!! !! 𝑎! = !!! !! (1.23) 𝑏_! = − !!! !! 𝑏! = − !!! !!

Inserendo tali valori nella (1.17) si ottiene l’espressione generale delle tensioni normali nella sezione generica in funzione delle componenti dell’azione interna, in genere nota col nome di formula di Navier.

𝜎_! = !_!+ !!(!)

!! 𝑦 +

!!(!)

!! 𝑥 (1.24) Si osservi che il problema in oggetto rappresenta un particolare tipo di problema di equilibrio elastico con dati nelle sole forze, infatti, in virtù del principio del de Saint Venant è possibile fare riferimento unicamente alla risultante e al momento risultante delle forze agenti alle estremità della trave. Inoltre, in conseguenza del principio di sovrapposizione degli effetti, è possibile ottenere una qualunque condizione di carico come somma di soluzioni corrispondenti a condizioni di carico di base.

Ne consegue dunque la possibilità di scomporre la generica sollecitazione esterna nei quattro casi di sollecitazione elementare seguenti:

• Sforzo normale di valore N;

• Flessione retta di momento 𝑀! 𝑜 𝑀!;

• Taglio e flessione con asse di sollecitazione coincidente con l’asse principale d’inerzia x o y;

• Torsione di momento torcente 𝑀!.

Prima di esaminare i singoli casi si vuole brevemente presentare la soluzione generale delle tensioni tangenziali, che nel successivo capitolo sarà approfondita nel caso della torsione.

1.2.3.2 Soluzione generale delle tensioni tangenziali

La soluzione generale nelle tensioni tangenziali può essere ottenuta dalle ultime due equazioni di congruenza interna in termini delle componenti di tensione (1.15).

In tal modo si evidenzia il carattere matematicamente esatto della soluzione del problema di de Saint Venant; infatti, nel seguito vengono presentate e applicate teorie tecniche, di carattere approssimato, che hanno validità limitata e che ricevono la loro piena giustificazione, oltre che dall’evidenza sperimentale, dal confronto con la soluzione esatta.

Si richiamano brevemente le equazioni di equilibrio relative alle tensioni tangenziali nel problema di de Saint Venant. Le prime due equazioni indefinite di equilibrio (1.7), implicano la costanza delle tensioni tangenziali 𝜏!" e 𝜏!" al variare dell’ascissa z della sezione, mentre la terza

comporta: 𝑑𝑖𝑣 𝜏 = !!!" !" + !!!" !" = − !!! !" (1.25)

e può essere riscritta tenendo conto della soluzione generale nelle tensioni normali, data dalla formula di Navier nel modo seguente:

!!!" !" + !!!" !" = 𝑑𝑖𝑣 𝜏 = !!! !! 𝑦 − !! !! 𝑥 nel campo (1.26) Nell’equazione precedente si è voluto sottolineare che essa deve essere soddisfatta in tutti i punti della sezione trasversale 𝐴 e, quindi, per la costanza delle 𝜏!" 𝑒 𝜏!", in tutto il solido.

Si ricorda, infine, che l’equilibrio sulla superficie laterale della trave scarica (f = 0) impone (1.8), per 𝑛 = 𝑛_!, 𝑛_!, 0 !:

𝑇𝑛 = 𝑓 = 0 ⟹ 𝜏_!"𝑛_! + 𝜏_!"𝑛_! = 𝜏!_{𝑛 = 0 (1.27)}

sul mantello della trave.

In generale si cerca la soluzione del problema decomponendo le tensioni tangenziali nella somma di due contributi, il primo, che rappresenta una soluzione o integrale particolare, indicato con l’𝑎𝑝𝑖𝑐𝑒!_{, e il secondo,}

con 𝑙!_{𝑎𝑝𝑖𝑐𝑒}!_.

𝜏_!" = 𝜏_!"! _{+ 𝜏}

!"! 𝜏!" = 𝜏!"! + 𝜏!"!

Pertanto, le (1.26) e (1.27) si possono riscrivere nella forma:

!!!"! !" + !!!"! !" = 0 !!_!"! !" + !!_!"! !" = − !! !! 𝑦 − !! !! 𝑥 𝑥 ∈ A (1.28) 𝜏!"! 𝑛! + 𝜏!"! 𝑛! = −𝜏!"! 𝑛!− 𝜏!"! 𝑛! 𝑥 ∈ A (1.29)

Alla presenza delle sollecitazioni di momento torcente e taglio composta a flessione, la sezione trasversale non resta piana, ma si trasforma in una superficie curva uguale per ogni sezione nella trave.

Se sottoponiamo alcuni elementi finiti di travi a una sollecitazione di flessione composta a taglio e altri a torsione si può osservare che in entrambi i casi, le sezioni terminali non restano piane. Lo spostamento assiale w oltre ai termini lineari in x e y deve essere arricchito con un

termine 𝜓_!(𝑥, 𝑦), che consente di modellare questo fenomeno ed è funzione

solo della posizione del generico punto nella sezione trasversale. Questa funzione 𝜓_!(𝑥, 𝑦) viene definita ingobbamento della sezione trasversale.

La presenza dell’ingobbamento comporta la variazione

dell’ampiezza degli angoli, inizialmente retti, fra l’asse z e gli altri assi coordinati, quindi gli scorrimenti definiti dalle:

𝛾_!" = !!!

!" 𝛾!" = !!!

!" (1.30)

L’isotropia del materiale comporta la presenza di tensioni tangenziali, omologhe e proporzionali agli scorrimenti attraverso il modulo di elasticità tangenziale G, che si assumono per rappresentare la parte omogenea della soluzione:

𝜏!"! = 𝐺 !!_!"! 𝜏!"! = 𝐺 !!_!"! (1.31)

La sostituzione delle (1.31) nelle (1.28) e (1.29) fornisce un’equazione differenziale omogenea nel campo e un’equazione al contorno, ove compaiono le derivate della funzione incognita. Il problema rappresentato da queste equazioni viene detto problema di Neumann-Dini:

∇!_𝜓 ! = ! !_! ! !!! + !!!! !!! = 0 𝑛𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 (1.32) 𝐺 !!! !" 𝑛! + !!! !" 𝑛! = 𝐺 !!! !" = − 𝜏!" ! _𝑛 ! + 𝜏!"! 𝑛! 𝑠𝑢 𝜕A (1.33)

In termine al primo membro della (1.33) rappresenta, infatti, la derivata direzionale della funzione ingobbamento 𝜓_! nella direzione del versore n che caratterizza la normale esterna al contorno 𝜕A.

Conviene, come emergerà nel seguito, distinguere i contributi all’ingobbamento delle sollecitazioni di torsione e taglio ponendo:

𝜓_! = 𝜓_!! + 𝜓_!! + 𝜓_!! (1.34) ove i pendici t, x e y indicano i contributi dati dal momento torcente 𝑀_! e dai due tagli 𝑇_! 𝑒 𝑇_! secondo gli assi principali di inerzia. Sostituendo la posizione (1.34) nelle equazioni (1.32) e (1.33), che reggono il problema, e mantenendo al secondo membro unicamente il contributo della sollecitazione corrispondente, si perviene, in virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, a tre problemi di Neumann distinti, uno per ogni sollecitazione:

∇!_𝜓

!! = 0 ∇!𝜓!! = 0 ∇!𝜓!! = 0 nel campo (1.35)

E’ immediato osservare che la funzione 𝜓_!(𝑥, 𝑦) può essere determinata, a

meno di una costante arbitraria, che rappresenta un moto rigido di

traslazione in direzione assiale. Tale indeterminazione viene rimossa

ponendo 𝜓! = 0 in un punto generico della sezione, ovvero imponendo che

l’ingobbamento si annulli in media:

𝜓! 𝑑𝐴 = 0

! (1.36)

Se la sezione trasversale presenta assi di simmetria, questi risultano assi di antisimmetria per la funzione ingobbamento 𝜓_!(𝑥, 𝑦) che si annulla in essi. L’esistenza della soluzione è garantita dalla cosiddetta condizione di

integrabilità 𝐺 !!!! !" 𝑛! + !!_!! !" 𝑛! 𝑑𝑠 = − 𝜏!" ! _𝑛 ! + 𝜏!"! 𝑛! 𝑑𝐴 = 0 ! !" (1.37) che può essere verificata per tutti i casi in esame.

1.3 Casi fondamentali

1.3.1 Sforzo normale o assiale

Si considera il solido di de Saint Venant sollecitato sulle due basi da distribuzioni di azioni equivalenti a due forze uguali e opposte d’intensità F, parallele all’asse z e applicate nei baricentri delle sezioni (Figura 1.4). Nella trave è quindi presente unicamente la sollecitazione di sforzo normale N (N=F) che risulta costante nella trave. Il presente caso elementare viene denominato sforzo normale o sforzo assiale.

Figura 1.4 – Sforzo normale o assiale (Gambarotta).

La soluzione generale nelle tensioni normali, (1.24), mostra come si sia in presenza, su ciascuna sezione, di una tensione normale uniforme:

𝜎_! = !_! (1.38) che rappresenta l’unica componente non nulla del tensore degli sforzi T.

Le equazioni costitutive, nella forma inversa di Hooke (1.10), consentono di valutare il tensore di deformazione infinitesima E, che assume forma diagonale:

𝐸 = !

!"

−𝜈 0 0

0 −𝜐 0

0 0 1 (1.39) Le equazioni d’integrabilità sono soddisfatte e le componenti di spostamento si ottengono per semplice integrazione delle precedenti e si possono scrivere nella forma seguente:

𝑢 = −𝜈 !

!" 𝑥 + 𝑢!(y,z)

𝑣 = −𝜈 !

!" 𝑦 + 𝑣!(𝑥, 𝑧) (1.40)

𝑤 = _!"! 𝑧 + 𝑤!(𝑥, 𝑦)

Si può facilmente verificare che, se si assumono le funzioni 𝑢_! 𝑦, 𝑧 , 𝑣!(𝑥, 𝑧) e 𝑤!(𝑥, 𝑦) costanti o identicamente nulle, le (1.40) verificano tutte

le equazioni del problema e, per il teorema di Kirchoff di unicità della soluzione dei problemi di equilibrio elastico, costituiscono la soluzione del problema; le 𝑢_!, 𝑣_!, e 𝑤_! rappresentano un moto rigido.

Lo spostamento longitudinale w (Figura 1.4), non dipende da x e y; da ciò segue che la generica sezione trasversale della trave a deformazione avvenuta risulta essere ancora piana e parallela alla posizione occupata nella configurazione iniziale indeformata.

Lo spostamento relativo in direzione z fra le sezioni di estremità: ∆𝑤 = 𝑤 𝑙 − 𝑤 0 = _!"!" (1.41) e rappresenta la variazione di lunghezza della trave ∆𝑙. Dalla (1.41) discende che se N > 0, e cioè lo sforzo è di trazione, si ha una estensione della trave, ∆𝑙 > 0. Il contrario accade se lo sforzo è di compressione, 𝑁 < 0. Si ricordi infine che la costante 𝐾! = 𝐸𝐴 rappresenta la rigidezza

assiale.

Per quanto riguarda lo spostamento nel piano (x, y) esso risulta indipendente da z ed è, quindi, uguale per ogni sezione. Le componenti u e v dello spostamento sono legate dalla medesima costante di proporzionalità alle coordinate x e y del generico punto P della sezione, che pertanto si sposta lungo la retta che lo congiunge al baricentro G; ne consegue che i contorni della sezione si trasformano in curve simili a quelle iniziali (secondo una omotetia con centro in baricentro). Se il coefficiente di Poisson 𝜈 è positivo e lo sforzo normale è di trazione, la sezione si contrae, viceversa si dilata se N < 0.

1.3.2 Flessione retta

Nel caso della flessione retta al solido di de Saint Venant sono applicate alle basi distribuzioni di carichi corrispondenti a due coppie agenti in un piano contenente una direzione principale d’inerzia della sezione chiamato piano di sollecitazione. Nel seguito si suppone che sia applicata la coppia 𝑀_!, con asse vettore parallelo ed equiverso all’asse principale d’inerzia, detto asse

momento (Figura 1.5).

Figura 1.5 – Flessione Retta (Gambarotta).

L’unica componente diversa da zero del tensore delle tensioni T è la tensione normale 𝜎!, costante lungo l’asse della trave, che varia

proporzionalmente alla distanza dall’asse momento:

𝜎 = !!

!! 𝑦 (1.42) La (1.42) viene indicata come formula di Navier per la flessione retta.

Figura 1.6– Stato tensionale dovuto alla flessione retta in una sezione generica (Gambarotta).

La tensione si annulla in corrispondenza dell’asse x che viene detto

asse neutro n (Figura 1.6). L’asse y baricentrico e ortogonale all’asse

momento si dice asse di sollecitazione s. Accettando tali denominazioni può dunque asserirsi che nella flessione retta asse neutro e asse di sollecitazione

sono mutuamente ortogonali.

Si osservi inoltre, che in virtù della (1.42), per momenti positivi le fibre corrispondenti a y > 0 risultano tese, mentre quelle relative a y < 0 sono compresse.

L’andamento lineare delle 𝜎!comporta che i valori massimi e minimi

delle tensioni si riscontrino nelle fibre più distanti dall’asse neutro. Siano ℎ_! e ℎ_! le distanze dall’asse neutro rispettivamente dell’estremo lembo teso e compresso. Le tensioni massima e minima risultano dunque:

𝜎_!"# = !!

!! ℎ! (1.43) 𝜎_!"# = − !!

!! ℎ! Introdotti quindi i moduli di resistenza

𝑊_!! = !! !! (1.44) 𝑊_!! = !! !! Si possono riscrivere le (1.43) 𝜎_!"# = !! !!! (1.45) 𝜎_!"# = − !! !!!

Se la sezione è simmetrica rispetto all’asse neutro, tali valori risultano uguali a meno del segno, in caso contrario le tensioni in modulo più elevate si hanno nei punti più distanti dall’asse neutro.

Come per lo sforzo normale, anche in questo caso il tensore di deformazione infinitesima E è facilmente calcolato attraverso le (1.11) (legge di Hooke) e assume la forma diagonale:

𝐸 = !! ! !!! −𝜈 0 0 0 −𝜐 0 0 0 1 (1.46)

Le dilatazioni sono uguali in ogni sezione e si annullano sull’asse x baricentrico. Si osservi inoltre che il riferimento scelto è anche principale di deformazione in quanto sono nulli gli scorrimenti fra gli assi; e, poiché il materiale è isotropo, tali direzioni sono anche principali di tensione.

Per definire il campo di spostamento si ha la necessità di definire il tensore di rotazione infinitesima W, da cui possiamo ricavare il gradiente di spostamento H: 𝐻 = 𝐸 + 𝑊 = !! !!! −𝜐𝑦 −𝜐𝑥 𝑜 𝜐𝑥 −𝜐𝑦 −𝑧 0 𝑧 𝑦 (1.47) Integrando le componenti di H si ottengono le componenti di spostamento:

𝑢 = −𝜐 !! !!! 𝑥𝑦 + 𝑢 ! 𝑣 = − !! !!!! 𝑧 !_{+ 𝜐 𝑦}!_{− 𝑥}! _{+ 𝑣}! _(1.48) 𝑤 = !! !!! 𝑦𝑧 + 𝑤 !

Le funzioni di integrazione 𝑢!_{, 𝑣}!_{, 𝑤}! _{che compaiono nelle (1.48) e che}

dipendono dalle condizioni ai limiti, sono inessenziali in quanto la trave è libera nello spazio e lo spostamento è definito a meno di un moto rigido. Pertanto, se si assumono dette funzioni identicamente nulle, le (1.48) verificano tutte le equazioni del problema e la soluzione è unica, a meno di eventuali moti rigidi (teorema di Kirchhoff). Il campo di spostamento nel caso di flessione retta in definitiva risulta:

𝑢 = −𝜐 !! !!!𝑥𝑦 𝑣 = − !! !!!! 𝑧 !_{+ 𝑣 𝑦}!_{− 𝑥}! _(1.49) 𝑤 = !! !!! 𝑦𝑧

1.3.3 Flessione deviata

Una trave è soggetta a flessione deviata quando l’asse vettore M della coppia esterna M non è parallelo a uno degli assi principali d’inerzia, x e y, della sezione trasversale (Figura 1.7).

M = M 𝑛_! (1.50) Il piano, ortogonale all’asse momento 𝑛_! che contiene le azioni applicate alle basi estreme, si dice piano di sollecitazioni, mentre la sua traccia s sulla sezione viene detta asse di sollecitazione e non coincide con uno degli assi principali.

Si denotino, inoltre, con 𝛾 e con 𝜓 gli angoli (definiti nell’intervallo 0, 2𝜋 e positivi se antiorari) compresi rispettivamente fra l’asse delle x e gli assi momento e di sollecitazione. Ovviamente risulta:

𝜓 = Υ + 𝜋/2 (1.51) Il vettore momento M può essere decomposto (Figura 1.7) nelle sue componenti secondo gli assi principali:

𝑀_! = 𝑀 cos γ (1.52) 𝑀! = 𝑀 𝑠𝑒𝑛 𝛾

Il caso in esame può quindi considerarsi ottenuto dalla sovrapposizione di due flessioni rette.

La flessione deviata è un primo caso di sollecitazione composta e, nel seguito, l’analisi dello stato di tensione e di deformazione nella trave viene condotto sfruttando i risultati del paragrafo precedente e il principio di sovrapposizione degli effetti.

Si osservi infine che se la sezione presenta due momenti d’inerzia principali uguali, 𝐼! = 𝐼!, l’ellisse d’inerzia degenera in un cerchio e tutte le

coppie di assi ortogonali risultano assi principali d’inerzia, quindi ogni flessione, risulta retta.

La sovrapposizione delle tensioni dovute alle due flessioni semplici, mostra che, anche in questo caso, l’unica componente non nulla del tensore delle tensioni T è la tensione normale 𝜎!, costante lungo l’asse della trave e

data dalla: 𝜎! = !_!!

! 𝑦 −

!!

!! 𝑥 (1.53) essendo il segno meno giustificato dall’osservazione che momenti 𝑀_! > 0 generano tensioni 𝜎_! < 0 per x > 0 .

Le tensioni si annullano su una retta, l’asse neutro, la cui equazione si ottiene annullando le 𝜎!:

!!

!! 𝑦 −

!!

!! 𝑥 = 0 (1.54) Dalla (1.54) è immediato rilevare che anche nella flessione deviata l’asse neutro è baricentrico e che pertanto ha equazione:

𝑦 = 𝑥 tan 𝜙 = !!

!!

!!

!! 𝑥 (1.55) ove 𝜙 indica l’angolo compreso fra l’asse delle x e l’asse neutro. Inoltre la sua equazione, sostituendo le (1.52) nella (1.54) tenendo conto che

!!

!! = tan 𝛾 = −

!

!"# ! può essere riscritta nella forma:

𝑦 = tan 𝛾 !! !! 𝑥 = − ! !"# ! !! !! 𝑥 (1.56) Sicché fra i due angoli 𝜙 𝑒 𝜓 sussiste la seguente relazione:

tan 𝜙 tan 𝜓 = − !!

!! = −

!!!

ove 𝜌_! e 𝜌_! sono i raggi principali d’inerzia della sezione. Grazie a un noto risultato di geometria delle masse, la (1.57) assicura che l’asse neutro n e l’asse di sollecitazione s sono direzioni coniugate nell’anti-polarità di inerzia della sezione.

Il tensore di deformazione infinitesima E nel caso della flessione deviata assume, applicando la legge di Hooke alla (1.56), la forma:

𝐸 = !! !!! 𝑦 − !! !!! 𝑥 −𝜈 0 0 0 −𝜐 0 0 0 −𝜐 (1.58) Il campo di spostamento, che deriva dalla sovrapposizione dei campi di spostamento relativi alle due flessioni rette di momenti 𝑀_! 𝑒 𝑀_!, risulta:

𝑢 𝑣 𝑤 = −!"# !!! !!!!(!!!!!) !!!! −!!!!(!_!!!!!!!) ! !"# !!! !" !!! − !" !!! 𝑀_! 𝑀_! (1.59)

Lo spostamento della linea d’asse si ottiene ponendo x = y = 0 e risulta: 𝑢! 𝑣_! 𝑤_! = !! !! !! !! −!! !! 0 (1.60)

Si può verificare che il rapporto fra le componenti di spostamento dell’asse della trave risulta:

!! !! = − !! !! !! !! = − tan 𝜙 (1.61) il che mostra (1.55) che in ogni sezione il baricentro si sposta lungo un asse ortogonale all’asse neutro, detto asse di flessione f . Il piano (z, f) contiene la linea elastica della trave sottoposta a flessione deviata e dicesi piano di

flessione.

Nella flessione deviata l’asse momento e l’asse neutro e i loro ortogonali sono distinti, al contrario di ciò che accade nella flessione retta. Poiché l’asse momento non è una direzione principale d’inerzia, così come l’asse s, non lo è nemmeno l’asse neutro n né quello f: fra s e f, in flessione deviata, vi è un angolo di deviazione.

1.3.4 Sforzo normale eccentrico

Una trave si dice soggetta a sforzo normale eccentrico quando il risultante F dei carichi applicati alle basi estreme ha retta d’azione parallela , ma non coincidente, con l’asse baricentrico (Figura 1.8). Alla forza applicata corrisponde lo forzo assiale N = F.

Si indicano con 𝑥_!𝑦_! le coordinate nella base principale d’inerzia della sezione (G, x, y) del punto di applicazione C (detto centro di

sollecitazione) della risultante F = N i momenti di tale forza rispetto agli assi

x e y risultano:

𝑀_! = 𝑁 𝑦_! 𝑀_! = −𝑁𝑥_! (1.62) Se N è positivo, per 𝑦_! positivo 𝑀_! è positivo ed equiverso a x, per 𝑥_! positivo, 𝑀_! è negativo e opposto a y.

Figura 1.8 – Sforzo Normale eccentrico (Gambarotta).

Il sistema di forze con risultante F applicata in C è equivalente a una forza F = N applicata nel baricentro G e a un momento di intensità M = Ne, ove la distanza, 𝑒 = 𝑥!! + 𝑦!!, del centro di sollecitazione dal baricentro è

detta eccentricità. L’asse congiungente G con C rappresenta l’asse di

sollecitazione s ed è ortogonale all’asse momento.

Appare dunque chiaro che la sollecitazione di sforzo normale eccentrico è una sollecitazione composta che può considerarsi ottenuta per sovrapposizione di uno sforzo normale centrato e di due flessioni rette di intensità 𝑀! 𝑒 𝑀!.

Nel caso che lo sforzo normale sia di trazione la sollecitazione si chiama tensoflessione, nel caso sia di compressione è detta invece

pressoflessione.

Lo stato di tensione, che può essere ottenuto per sovrapposizione degli effetti, è fornito dalla soluzione generale (1.24) e anche in questo caso l’unica componente non nulla del tensore degli sforzi T è rappresentata dalla tensione normale 𝜎! costante lungo l’asse della trave e data dalla:

𝜎! = !_!+ !_!!

! 𝑦 −

!!

!! 𝑥 (1.63) sostituendo le (1.62) nella (1.63) e tenendo presente che 𝐼_! = 𝐴𝜌_!! _e

𝐼_! = 𝐴𝜌_!! _{si ottiene:}

𝜎! = !_! 1 + _!!!

!! 𝑦 +

!!

!!!𝑥 (1.64) Dalla (1.64) si deduce che l’asse neutro, costituente l’insieme dei punti in cui si annullano le tensioni normali, è una retta che, a differenza della flessione sia retta sia deviata, non passa per l’origine degli assi, ovvero per il baricentro. Sul baricentro G = (0, 0) la tensione dipende solo da N e vale:

𝜎_! =!_! = 𝜎_!"#$% (1.65) Ponendo, nella (1.64), 𝜎! = 0 si ottiene l’equazione dell’asse neutro n nella

forma:

!!

!!! 𝑦 +

!!

!!! 𝑥 = −1 (1.66) Annullando il primo membro della (1.66) e operando come nella flessione deviata, si dimostra che la parallela dell’asse neutro passante per il baricentro e l’asse di sollecitazione sono direzioni coniugate (nell’anti-polarità di inerzia della sezione) e che è applicabile la formula (1.57).

Da quanto qui di seguito mostrato si evince altresì che il centro di sollecitazione C e l’asse neutro n si corrispondono come polare e antipolare rispetto all’antipolarità d’inerzia della sezione. La (1.66) inoltre mostra come la posizione dell’asse neutro dipenda dalle coordinate 𝑥_! 𝑒 𝑦_! del centro di sollecitazione C.

Per semplicità si faccia riferimento al caso in cui esso giaccia sull’asse y, 𝑥_! = 0 (pressoflessione retta). Pertanto dalla (1.66) si ricava:

𝑦 = −!!!

!! = −

!!

! !! (1.67) La (1.67) mostra che l’asse neutro si trova, rispetto al centro di sollecitazione C, dalla parte opposta al baricentro, e tende al baricentro qualora 𝑦_! tenda all’infinito. Può essere utile ricordare, che la (1.66) comporta quanto mostrato in Figura 1.9 riguardo una sezione rettangolare:

• Se C è sufficientemente vicino al baricentro l’asse neutro non interseca la sezione e le tensioni normali hanno tutte lo stesso segno; si usa peraltro definire nocciolo centrale di inerzia il luogo dei centri

di sollecitazione a cui corrisponde un asse neutro esterno alla sezione. Il contorno del nocciolo è il luogo degli antipoli delle rette

tangenti e non secanti il contorno della sezione.

• Se C giace sul contorno del nocciolo, l’asse neutro è tangente alla sezione.

• Se C è esterno al nocciolo, l’asse neutro interseca la sezione e sono presenti tensioni normali sia di trazione sia di compressione.

Figura 1.9 – Relazione tra la posizione del centro di sollecitazione rispetto al nocciolo centrale di inerzia e l’asse neutro (Gambarotta).

1.3.5 Flessione e taglio

Il solido di de Saint Venant sia sollecitato sulla base terminale z = l da una distribuzione di azioni esterne equivalente a una forza 𝑓_! diretta secondo uno degli assi principali di inerzia, per esempio l’asse y.

L’equilibrio del solido richiede che sulla base z = 0 siano applicate una forza uguale e di verso opposto – 𝑓_! e una coppia 𝔐_!! _{= 𝑓}

! 𝑙. Nella trave

sono dunque presenti il taglio

𝑇_! = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑓_! (1.68) e il momento flettente variabile linearmente

𝑀! = −𝑇! (𝑙 − 𝑧) (1.69)

Figura 1.10 – Flessione e Taglio (Gambarotta).

Questo caso di sollecitazione, se la trave ha sezione trasversale generica, è alquanto complesso, poiché in generale coinvolge anche la risposta torsionale della trave. Il problema viene trattato facendo riferimento a sezioni simmetriche caricate secondo un asse di simmetria (Figura 1.10), in tal modo è possibile considerare i soli contributi del taglio e del momento flettente.

Le tensioni normali presenti sulla generica sezione z valgono, come visto in precedenza (formula di Navier)

𝜎_! = !!

!! 𝑦 = −

!! !!!

!! 𝑦 (1.70) mentre le tensioni tangenziali devono soddisfare le seguenti condizioni di equivalenza: ~---I ' ' ' , , ----+:·---.-.. -._ . -... --... -- ... -.... ....,. .,, .. -.. --.. ! - . . ... ' • _• ' _' \J ~:;..__

_________________ _

! ~\'

𝑇_! = _! 𝜏_!" 𝑑𝐴 = 0

𝑇! = _! 𝜏!" 𝑑𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (1.71)

𝑀_!= _! (−𝜏_!"𝑦 + 𝜏_!"𝑥) 𝑑𝐴 = 0

la sezione trasversale si ingobba e la funzione ingobbamento 𝜓_!! si ottiene risolvendo un problema di Neumann, (1.32) e (1.33), la cui soluzione dipende, oltre che dalla geometria della sezione, dal coefficiente di Poisson 𝜐 del materiale.

Se si consideri una generica corda di lunghezza b(y), parallela all’asse neutro n = x che individua l’area 𝐴∗_.

La tensione tangenziale media ortogonale alla corda è definita τ yz = _!(!)! _!!_!!𝜏!" 𝑑𝑦 (1.72)

Dall’equilibrio alla traslazione in direzione z della porzione di trave di lunghezza dz al di sopra della corda risulta, tenendo conto della (1.72):

!!!

!" 𝑑𝑧 𝑑𝐴 + 𝑏 𝑦

!∗ τ yz dz = 0 (1.73)

che la si può riscrivere:

!! !! !∗ 𝑦 𝑑𝐴 + τ yz b(y) = 0 (1.74) τ yz = −!! !! ∗_(!) !! !(!) (1.75) ove 𝑆_!∗ _{è il momento statico della parte di sezione considerata rispetto}

all’asse neutro n = x; la (1.75) è nota come formula di Jourawsky.

31

Capitolo 2

LA TORSIONE

In questo capitolo si fa riferimento a quanto riportato nel testo lezioni di scienza delle costruzioni, parte quarta, il postulato ed il problema di A.J.C. Barrè de Saint-Venant, redatto da Carlo Raymondi.

2.1 Premessa

Il solido di de Saint Venant è sollecitato, sulle basi estreme, da una distribuzione di azioni con risultante nulla e momento risultante 𝔐_!= M_!, con asse momento coincidente con l’asse z (Figura 2.1). Pertanto risultano nulli lo sforzo normale N, i due tagli T_! e T_! e i due momenti flettenti M_! e M_! e ciò implica (1.15), l’annullarsi delle tensioni normali σ_! in tutta la trave.

Ricordando la relazione fra stato di tensione e caratteristiche della sollecitazione (1.12), si ha:

𝑀_! = _! −𝜏_!"𝑦 + 𝜏_!"𝑥 𝑑𝐴 (2.1)

2.2 Lo studio della torsione

2.2.1 Le tensioni tangenziali nella torsione

In tutto il cilindro la tensione σ! = 0, la terza equazione di Cauchy ovvero

la terza delle (1.7) si riduce ulteriormente nella:

!!!"

!" + !!!"

!" = 0 = 𝑑𝑖𝑣 𝜏 = 0 (2.2)

stante la regolarità delle 𝜏!" 𝑥, 𝑦 ; 𝜏!"(𝑥, 𝑦) in tutti i punti interni del campo

costituito dalla generica sezione retta (basi incluse) assicurata dall’assenza di azioni di massa, è interpretabile come condizione necessaria e anche sufficiente, affinché possa esser scritto il differenziale esatto:

𝜏_!" 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 − 𝜏_!" 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓_!∗_{(𝑥, 𝑦) (2.3)} Ne consegue: 𝜏_!" 𝑥, 𝑦 = −!!!∗ !" (2.4) 𝜏!" 𝑥, 𝑦 =!!! ∗ !"

Il problema della determinazione delle due funzioni 𝜏_!" e 𝜏_!" è ricondotto alla ricerca dell’unica funzione 𝑓!∗ 𝑥, 𝑦 . Poiché interessano le

derivate parziali prime della 𝑓_!∗ _{𝑥, 𝑦 , questa funzione può essere}

individuata anche a meno di una costante.

Dalle (2.4) si ottiene il parametro differenziale secondo: ∇_!𝑓_!∗ ₌ !!!!∗ !!! + !!!!∗ !!! = !!!" !" − !!!" !"

che, derivato rispetto a x e y, ricordando la (2.2) e le armonicità: ∇!𝜏!" = ∇!𝜏!" = 0

le quali comportano ovviamente: 𝜕!_𝜏 !" 𝜕𝑥! = − 𝜕!𝜏!" 𝜕𝑦! 𝜕!𝜏!" 𝜕𝑥! = − 𝜕!𝜏!" 𝜕𝑦! porge: ! !"∇!𝑓! ∗ ₌!!!!" !!! − !!_! !" !"!# = − ! !" !!!" !" + !!!" !" = 0; ! !"∇!𝑓!∗= !!_! !" !"!# − !!!!" !!! = ! !" !!!" !" + !!!" !" = 0.

L’annullamento in tutto il campo di entrambe le derivate parziali prime comporta:

∇_!𝑓_!∗ _{𝑥, 𝑦 = 𝐾}

! 𝑛𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 (2.5)

con 𝐾_! costante da determinare.

Introdotte adesso le (2.4) nella condizione ai limiti (1.8) si ottiene, cambiando il segno: !!!∗ !" 𝑛!− !!!∗ !" 𝑛! = !!!∗ !" !" !"+ !!!∗ !" !" !" = !!!∗ !" = 0

che, integrata lungo il contorno totale: Γ = Γ!+ !Γ!, porge su tutto il

contorno stesso: 𝑓_!∗ _{𝑥, 𝑦 = 𝐾}

!∗, indicando con 𝐾!∗ un’ulteriore costante. Ma

poiché l’aggiunta algebrica di una costante in tutto il campo non altera le derivate parziali della 𝑓!∗ 𝑥, 𝑦 , si può supporre: 𝐾!∗= 0 e quindi su tutto il

contorno del campo:

𝑓_!∗ _{𝑥, 𝑦 = 0 (2.6)}

Le (2.5) e (2.6) riconducono il problema della torsione ad un problema di Poisson-Dirichlet “generalizzato”, determinato però soltanto in forma implicata.

Ricordate le definizioni delle caratteristiche della sollecitazione: 𝑇_!; 𝑇_!; 𝑀_!, poiché nella torsione è per definizione: 𝑇_! = 𝑇_! = 0; 𝑀_! ≠ 0, alle (2.5) e (2.6) si aggiungono le condizioni integrali:

−!!!∗ !" ! 𝑑𝐴 = !!!∗ !" ! 𝑑𝐴 = 0 (2.7) !!!∗ !" 𝑥 + !!!∗ !" 𝑦 𝑑𝐴 ! = 𝑀!

garantenti l’esistenza e l’unicità di risoluzione, ovviamente assegnato il valore 𝑀_! del momento torcente, con 𝑓_!∗_{(𝑥, 𝑦) chiaramente proporzionale a}

𝑀!.

In realtà le prime due delle (2.7) sono soltanto imposizioni alla 𝑓_!∗_{(𝑥, 𝑦) indipendenti da 𝐾}

!, praticamente impossibili da dimostrare

direttamente. E’ invece determinante (per la 𝐾_!) la terza delle (2.7) in cui ovviamente [siamo in regime elastico di proporzionalità e la (2.5) è lineare] può porsi: 𝑀! = 1 ma assai complessa è la “costruzione” della “funzione

risolvente” di Green (1829) per un simile problema. Occorrono due successive “manipolazioni” entrambe effettuabili in infiniti modi, la prima per esplicare il problema di Poisson-Dirichlet, la seconda per ridurlo ad un problema “ordinario” (cioè in una funzione armonica) trasformabile in un problema di Dini, di particolare interesse formale per il risultato da esso ottenibile mediante il “Secondo Lemma” di Gauss. Si riserva di ritornare sull’argomento, limitandosi adesso ad invitare il lettore a non ingannarsi sulla “doppia manipolazione” ritenendo infinite le risoluzioni del Problema, che è invece univocamente determinato in forma implicita dalle (2.5) (2.6) (2.7), senza ricorrere al Teorema di Kirchhoff.

E’ evidente che, posto: 𝑀_! = 1, la 𝑓_!∗_{(𝑥, 𝑦) dipende dalla forma del}

campo (cioè della sezione retta), ma le (2.5) (2.6) (2.7) non sono in grado di fornire informazione alcuna al riguardo, in specie “quantitativa” anche soltanto di massima. Soltanto al termine di un particolare procedimento di “manipolazione” sarà possibile ottenere un’indicazione di notevole interesse.

La prima “manipolazione” del problema (2.5) (2.6) consiste nel renderlo esplicitamente determinato, mediante la “posizione”:

𝑓_!" 𝑥, 𝑦 = 𝑟 𝑓_!∗ _{𝑥, 𝑦 𝐾} !

con r numero reale qualsiasi (esclusi soltanto: 0 e ∞). Le trasformazioni possibili sono evidentemente infinite, pervenendo alla sostituzione delle (2.5) (2.6) con le:

∇_!𝑓_!" 𝑥, 𝑦 = 𝑟 (nel campo) (2.8) 𝑓_!" 𝑥, 𝑦 = 0 (su Γ)

con tensioni tangenziali: 𝜏_!" 𝑥, 𝑦 = −!! ! !!!" !" 𝜏!" 𝑥, 𝑦 = !! ! !!!" !" (2.9) mentre le (2.7) diventano: !!!" !" ! 𝑑𝐴 = !!!" !" ! 𝑑𝐴 = 0 (2.10) !! ! = !! !!!" !" !!!!!"!" ! ! !"

Le prime due sono ancora indimostrabili “a priori”, mentre la terza si limita ad evidenziare la scontata proporzionalità tra 𝐾_! 𝑒 𝑀_!. E’ ovviamente escluso che il denominatore integrale sia nullo perché 𝑀_! finito indurrebbe tensioni infinite in tutto il campo; e non può altrettanto chiaramente essere

(il campo è chiuso) infinito perché 𝑀! ≠ 0 provocherebbe tensioni ovunque

nulle. Salve queste esclusioni non si può prevedere in alcun modo se 𝐾_! sia positivo o negativo (per 𝑀_! > 0), né avere indicazioni “quantitative” sulla dipendenza delle tensioni tangenziali dalla forma del campo.

Nella letteratura e sistematicamente scelto: 𝑟 = 2, la 𝑓!" si scrive

semplicemente: 𝑓_!(𝑥, 𝑦) e viene denominata: “funzione degli sforzi” della torsione (mentre abbiamo visto esistere infinite meno due funzioni di questo tipo).

La “seconda manipolazione” consiste nella “opportuna” ricerca di un integrale particolare della: ∇_!𝑓_! = 2, da “aggiungere” all’integrale generale

dell’equazione resa omogenea, cioè ad una funzione (∇!𝜑! = 0) armonica

nel campo.

Poiché: (𝑥!_{+ 𝑦}!_{) 2 è (tra gli infiniti esistenti) un elementare}

integrale particolare della: ∇!𝑓! = 2, può porsi: 𝑓! = 𝜑!+!

!_!!!

! ed il

Problema (2.8) è ricondotto all’ “ordinario”:

∇_!𝜑_! = 0 𝑛𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 (2.11) 𝜑_! = −!!!!_! ! (𝑠𝑢 Γ)

con tensioni tangenziali (𝜕𝑓_! 𝜕𝑥 = 𝜕𝜑_! 𝜕𝑥 + 𝑥; 𝜕𝑓_! 𝜕𝑦 = 𝜕𝜑_! 𝜕𝑦 + 𝑦):

𝜏_!" 𝑥, 𝑦 = −!! ! !!! !" + 𝑦 𝜏!" 𝑥, 𝑦 = !! ! !!! !" + 𝑥 (2.12)

e con le (2.10) trasformate nelle (𝑆_! = 𝑆_! = 0):

!!! !" ! 𝑑𝐴 = !!! !" ! 𝑑𝐴 = 0 !! ! = !! !!! _! !!!_!"!!!!!_!"! !" (2.13) Le prime due delle (2.13) sono ancora indimostrabili perché della 𝜑!(𝑥, 𝑦) è

ottenibile la derivata totale secondo la tangente a Γ, ma non quella secondo la normale 𝜐, in modo da poter convenientemente impiegare due formule di

Gauss. La terza “comincia” a fornire qualche indicazione, limitata alla comparsa della caratteristica polare: 𝐼_! = 𝐼_!+ 𝐼_!.

Si introduce infine la funzione 𝜓_!(𝑥, 𝑦) armonica coniugata, definita a meno di una costante arbitraria, della particolare 𝜑_!(𝑥, 𝑦) adottata (a sua volta conseguente ad una particolare 𝑓_!"), ottenibile integrando il sistema

differenziale: 𝜕𝜓_! 𝜕𝑥 = 𝜕𝜑_! 𝜕𝑦 ; 𝜕𝜓_! 𝜕𝑦 = − 𝜕𝜑_! 𝜕𝑥. Le “nuove”

tensioni tangenziali sono:

𝜏!" 𝑥, 𝑦 = −!_!! !!_!"!+ 𝑦 𝜏!" 𝑥, 𝑦 = −!_!! !!_!"!− 𝑥 (2.14)

che, introdotte nella condizione ai limiti: 𝜏!"𝑛!+ 𝜏!"𝑛! = 0, riconducono il

problema della torsione al particolare problema di Dini:

∇_!𝜓_! 𝑥, 𝑦 = 0 𝑛𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 (2.15)

!!!

!! = −𝑦 𝑛!+ 𝑥 𝑛! (𝑠𝑢 Γ)

mentre contemporaneamente le (2.13) diventano:

!!! !" ! 𝑑𝐴 = − !!! !" ! 𝑑𝐴 = 0 (2.16) 𝑀! = !_!! 𝐼! − _! !!_!"!𝑥 −!!_!"!𝑦 𝑑𝐴

delle quali la terza, posto:

𝑞 = !!

!!!_! !!!_!"!!!!!_!"! !"

(2.17) diviene: 𝑀! = 𝐾!𝐼! 2𝑞, determinando 𝐾! data da:

!!

! = 𝑞 !!

!! (2.18) Il numero (adimensionale) q è denominato fattore di torsione e fornisce un’indicazione sulla dipendenza delle distribuzioni di tensioni tangenziali nella torsione dalla forma della sezione retta, ulteriore a quella “globale” data dalla caratteristica polare 𝐼! (non molto significativa, perché

due superfici anche molto diverse tra loro possono avere la stessa 𝐼_!).

Questo particolare problema di Dini si presta agevolmente come tutti i problemi di Dini, all’impiego delle formule di Green (1828) e di Gauss (1837) per la conversione degli integrali di campo e del “primo” lemma (o formula) di Gauss. Ma per esso risulta particolarmente significativo il

“secondo” lemma di Gauss. Ed è proprio questo ultimo motivo che spiegherà la scelta: r = 2 e dell’integrale particolare: (𝑥!_{+ 𝑦}!_{)/2 per}

ottenere un “ordinario” problema di Poisson-Dirichlet, trasformabile in questo problema di Dini.

Anzitutto è possibile dimostrare le prime due delle (2.16), equivalenti a: 𝑇_! = 𝑇_! = 0. Il primo membro della prima di esse, ricorrendo alla formula ed al primo lemma di Gauss (x è chiaramente armonica) si trasforma successivamente, ricordato il valore (2.15) della 𝑑𝜓 𝑑𝑣

𝑆! = 0; 𝑑𝑠 = 𝑑Γ , in: !!! !" 𝑑𝐴 = 𝜓! !" !"𝑑𝑠 = 𝜓! !" !"𝑑𝑠 = 𝑥 !!! !" 𝑑𝑠 ! ! ! ! = − _! 𝑥𝑦!"_!"𝑑𝑠+ 𝑥! !" !"𝑑𝑠 = ! − 𝑥𝑦 !" !"𝑑𝑠 ! − ! 𝑥! !"!"𝑑𝑠= = − ! !" !" 𝑑𝐴 ! + ! !! !" ! 𝑑𝐴 = −𝑆! = 0

In modo analogo (y armonica; 𝑆_! = 0) si dimostra la seconda.

Ricerchiamo adesso la limitazione del fattore di torsione q, ovviamente ricorrendo al problema di Dini (2.15). La formula di Green

𝑑Γ ≡ 𝑑𝑠 : !" !"− !" !" 𝑑𝐴 = ! 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 ! = 𝑋!"_!"+ 𝑌!"_!" 𝑑𝑠 = _! −𝑋𝑛_!+ 𝑌𝑛_! 𝑑𝑠 ! posto: 𝑋 𝑥, 𝑦 = −𝑥 𝜓_! 𝑥, 𝑦 𝑌 𝑥, 𝑦 = −𝑦 𝜓_! 𝑥, 𝑦 porge (cambiando il segno):

!!_! !" 𝑥 − !!_! !" 𝑦 𝑑𝐴 = 𝜓! −𝑛!𝑦 + 𝑛!𝑥 𝑑𝑠 = 𝜓! !!_! !" 𝑑𝑠 ! ! ! (2.19)

Introdotto il parametro differenziale “primo”: ∇!𝜓! = !!_!"! ! + !!! !" ! ≥ 0 il secondo “lemma” di Gauss assicura essere:

!!_! !" 𝑥 − !!_! !" 𝑦 𝑑𝐴 = 𝜓! !!_! !" 𝑑𝑠 = ! ∇!𝜓! 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ 0 ! ! (2.20)

con valore nullo dell’integrale a primo membro soltanto se la 𝜓_! è costante nel campo (caso possibile, come vedremo in futuro soltanto per la sezione circolare od anulare circolare).

Conseguentemente il denominatore della (2.17) risulta: 𝐼! − _! !!_!"!𝑥 −!!_!"!𝑦 𝑑𝐴 = _! 𝑥!+ 𝑦!− ∇!𝜓! 𝑑𝐴 =

𝑥!_{+ 𝑦}!_{− 2∇}

!𝜓! + ∇!𝜓! 𝑑𝐴

!

quindi è (ricordata l’espressione di ∇_!𝜓_!) anche:

𝐼_!− !!! !" 𝑥 − !!! !" 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑥 − !!! !" ! + 𝑦 +!!! !" ! 𝑑𝐴 > 0 ! ! (2.21)

Le (2.20) (2.21) avvertono che il fattore di torsione q, unitario soltanto se 𝜓!(𝑥, 𝑦) è costante (casi citati) è per ogni altro tipo di sezione retta sempre

> 1, aumentando all’allontanarsi dalle (due) forme circolari.

La sezione ellittica per la quale 𝜓_!(𝑥, 𝑦) è ancora razionale dimostrerà questa circostanza.

In definitiva la “doppia manipolazione” del problema originario nella 𝑓_!∗_{(𝑥, 𝑦) ha come scopo essenziale l’individuazione di un fattore di}

torsione Limitabile. Ciò non è possibile né ponendo: 𝑟 ≠ 2, né scegliendo altri integrali particolari, apparentemente “più semplici”.

Individuata 𝑘!/2 mediante il problema di Dini (2.15), assegneremo

alle tensioni tangenziali nella Torsione le forme: 𝜏!" 𝑥, 𝑦 = −𝑞!_!! ! !!! !" + 𝑦 (2.22) 𝜏!" 𝑥, 𝑦 = −𝑞!_!! ! !!! !" − 𝑥

con: 𝑞 ≥ 1 fornito dalla (2.17).

2.2.2 Calcolo diretto del lavoro di deformazione

Poiché, sempre per la condizione: 𝜎_! = 𝜎_! = 𝜏_!" = 0, la densità di lavoro di deformazione si riduce all’espressione semplificata:

𝜙 = !!!

!! +

(!!"! !!!"! )