Exercice IV-3: Quotient de Rayleigh & méthode itérative

Exercices de cours du chapitre IV

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Exercice IV-3: Quotient de Rayleigh & méthode itérative

Objectif : Illustration des propriétés du quotient de Rayleigh, et du principe de calcul des valeurs et vecteurs propres par une méthode itérative.

Effectuez la mise en équations du système masse ressort schématisé par la figure ci-contre (Amortisseur de FRAHM).

Déterminez la déformée statique, et la base modale du système.

Calculez une approximation de la première fréquence propre à partir du quotient de Rayleigh en adoptant le champ du déplacement statique.

Calculez par la méthode itérative la première fréquence et le mode associé.

g G

4k

12k 4m

m

Corrigé de l’exercice IV-3: Quotient de Rayleigh & méthode itérative

Mise en équations :

On pose { }

1 2

X

T

=< x x > déplacements verticaux par rapport à la position d’équilibre du système.

2 2

1 2

2 Ec = 4 mx  + mx  Î 2 Ec =  X MX

^T

 _{, avec} [ ] ⁴

M m ⎡ 1 ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

4k

12k 4m

o m

x G

x

2e

g G

x

1e

(

^{2 2}

)

1 2 1 1 1 2 2

4 12( ) 4( )

Ep = mgx + mgx + k x + Δ + x − + Δ x + Cte

A l’équilibre :

¹

2

5 /12 / 4 mg k mg k Δ = −

⎧ ⎨Δ = −

⎩ ^et

i

Ep KX x

⎛ ∂ ⎞ =

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠ ^{avec :} [ ] ^{16 4}

4 4 K k ⎡ − ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

Solution analytique :

Pulsations propres

₁²

2k

ω = m ,

₂²

6k ω = m

Modes propres : { } Z

1 ^T

=< 1 2 > et { } Z

2 ^T

=< 1 − > 2

Quotient de Rayleigh : il est défini par { } [ ] { } { } [ ] { }

T T

X K X R

X M X

=

Utilisons le champ de déplacement statique pour calculer l’approximation du mode fondamental de la structure.

A l’équilibre :

^{1 1}

2 1 2

5 /12 2 / 3

e e

x mg k

x mg k

= Δ = −

⎧ ⎨ = Δ + Δ = −

⎩ ^Î { } ^{5 / 4}

2

e

3 X mg

k

⎧ ⎫

= − ⎨ ⎬

⎩ ⎭

D’où

( )

²

5 / 4 2 12

3 21* 4 84

25 16 41 4 5 / 4 4

k k k

R m m m

⎧ ⎫ ⎨ ⎬

= ⎩ ⎭ = =

+ + ^soit

2

1

2, 05 k ω ≅ m

On obtient une très bonne approximation de la première pulsation car la déformée statique n’est pas très éloigné du mode fondamentale, en effet :

{ } ^{1 1}

8 / 5 1, 6 X

e

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ =

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ à comparer à { }

1

1 Z ⎧ ⎫ 2

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

1

,

2

Δ Δ

Allongements des ressorts à l’équilibre.

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Il est possible de vérifier que le calcul de R avec les modes Z

1

et Z

2

redonnerai bien ω

₁²

et ω

₂²

, et ω

₂²

ne peut pas être considéré comme une bonne approximation de ω

₁²

!

Méthode itérative : [ ] [ ] [ ] ^{D = K}

⁻¹

^M

[ ] [ ]

¹

^{4 4 4 0 4 1}

4 16 0 1 4 4

48 12

m m

K M

k k

−

= ⎡ ⎢ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎤ ⎥ = ⎡ ⎢ ⎤ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Pour initialiser la suite prenons la position d’équilibre : { } ¹

e

1, 6

X ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Itérons :

{ }

1

4 1 1 5, 6

4 4 1, 6 4 * 2, 6

X ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ = ⎬

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ^{Norme Î} { }

1

1 1,857

X ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

{ }

2

4 1 1 5,857

4 4 1,857 4* 2,857

X ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ = ⎬

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ^{Norme Î} { }

2

1 1,983

X ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

De même { }

3

1 1, 983

X ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Puis { }

4

1 1,995

X ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Estimons la précision suffisante Î { }

1

1 1, 995

Z ⎧ ⎫

≅ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

2

ω

1

est donnée par { } Z

1

= ω

1²

[ ] [ ] K

⁻¹

M { } Z

1

La première équation donne : 1

₁²

5,995

12 m ω k

= Î

₁²

2, 002 k

ω ≅ m

Ayant le premier mode, il est possible par un changement de variable de même type que celui de l’élimination des modes

rigides, d’initialiser une nouvelle suite qui convergera vers ω

₂²