Méthodes d'approximation appliquées aux vibrations des milieux continus

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Fiche de cours du chapitre V Approximation pour les barres et poutres

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Méthodes d'approximation appliquées aux vibrations des milieux continus

Méthode des résidus pondérés.

Le point de départ est un système d'équations différentielles (PFD) Le résidu ( )R uG

est l'erreur commise en utilisant une approximation pour écrire l'équation locale. En annulant l'erreur pondérée sur le domaine, nous obtenons une équation intégrale de la forme :

(^M) (^M) . ( (^{M t}, )) 0

i i

D

P P R u dv

∀^G

∫

^G ^G =

Soit une approximation à n paramètres : ⁽ ^{, )} ⁽ ^{) ( )} ⁽ ⁾

{ }

^{( )}

1 n

M t i M i t M t

i

u w q w q

=

∑

=< >

G

Pour obtenir un système matriciel de n équations à n variables, nous nous limitons à n fonctions de pondération pour annuler l’erreur :

Deux méthodes sont souvent citées Galerkin choix P w Collocation choix P

i i

i M M i

:

: ( )

=

⎧⎨

⎩ δ ⁻

Si les fonctions de forme w_i⁽^M⁾ ne satisfont pas les CL en force, il faut effectuer une intégration par partie de la forme intégrale pour prendre en compte l’erreur sur ces conditions aux limites.

Méthode variationnelles discrétisées.

Le point de départ est un principe Variationnel (PTV).

Discrétiser le principe consiste à utiliser une approximation à n paramètres pour exprimer les déplacements, sous forme matricielle nous écrirons :

Champ des déplacements : ^u^G⁽^{M t}^{, )}^=<^w^G⁽^M⁾^>

{ }

^q^{( )}^t

Déplacements virtuels : ^δ^u^G⁽^M⁾^=<^w^G⁽^M⁾^>

{ }

^δ^q

(On utilise les mêmes fonctions de formes)

Contraintes - déformations :{ }σ = D

[ ]

{ }ε (lois de comportement généralisée)

Déformations - déplacements :{ }^ε ⁼

[ ]

^{L u}{ }^G ⁼

[ ]

^{B q}

{ }

(relations géométriques déf - dép)

D’où la forme matricielle du PTV :

[ ]

^{M q}

{ }

⁺

^{[ ]}

^{K q}

{ }

⁼^{{ }}^F

Avec

[ ]

M w ^M ^T w ^M dv

D

= <

∫

^G⁽ ⁾ > < ^G⁽ ⁾ >^ρ

[ ]

^K

[ ] [ ] [ ]

^B ^T ^D ^{B dv}

D

=

∫

^et

^{{ }}

^F D ^w ^M ^T ^{f dv} ^w ^{f ds}

M T

D

= <

∫

^G⁽ ⁾ > ^G + <

∫

^G⁽ ⁾> ^G

∂

Méthode des fonctions présumées.

Le point de départ est la discrétisation du milieu continu : Éléments finis …