Forme e modelli frattali

(1)

Progetto Matematica & RealtàProgetto Matematica & Realtà Autori: P. Brandi A. SalvadoriAutori: P. Brandi A. Salvadori

Forme e modelli frattali

(2)

Il nuovo linguaggio frattale introduce - attraverso processi iterativi - una “dinamica” nel modello descrittivo della geometria Euclidea

Figure e modelli frattali

(3)

i ₀ u₀

i₁ u₁

i₂ u₂

i₃

T

Processo iterativo: trasformazione che si ripete

…più e più volte

(4)

Processo iterativo su figure

Esempio: Zoom di una fotocopiatrice

(5)

Zoom di una fotocopiatrice

Riduzione al 75%

Processo iterativo su figure

(6)

Zoom di una fotocopiatrice

(7)

Zoom di una fotocopiatrice

(8)

Zoom di una fotocopiatrice

(9)

Zoom di una fotocopiatrice

(10)

Zoom di una fotocopiatrice

(11)

Zoom di una fotocopiatrice

0

1

( )

0, 1, ...

n n n

F start

F

_

T F

^

 

 

Successione di figure iterate

(12)

Alcuni frattali classici…

(13)

Il merletto a trina di Helge von Koch

Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

(14)

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₀

F₁

F₂

(15)

Il merletto a trina di Helge von Koch

Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

Curva di Koch

generata in turbo Pascal da Benedetta Palladino e Giorgia Quintaliani

classe IV (a.s. 2000-2001), Liceo Scientifico Galilei, Perugia Tutor: Prof. Fiorella Menconi

(16)

La gerla di Sierpinski

Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

(17)

La gerla di Sierpinski

(18)

La gerla di Sierpinski

(19)

Progetto Matematica & RealtàProgetto Matematica & Realtà Autori: P. Brandi A. SalvadoriAutori: P. Brandi A. Salvadori F₁ F₀ start

F₂ F₃

Il tappeto di Sierpinski

(20)

Il tappeto di Sierpinski

(21)

Frattali IFS (iterated functon system)

Cosa hanno in comune queste tre costruzioni ?

Il modello iterativo … lo stesso della fotocopiatrice

0

1

( )

0, 1, ...

n n n

F start

F

_

T F

^

 

 

Successione di figure iterate “generate” da una trasformazione T

La successione evolve verso una figura limite che è la figura frattale

(22)

Quale trasformazione T ?

(23)

T La gerla di Sierpinski

F₀ start F₁

T è composta da tre trasformazioni

(24)

La gerla di Sierpinski

F₀ start F₁

T₁contrazione di 1/2

T₁

(25)

La gerla di Sierpinski

F₀ start T₃ F₁

T₁contrazione di ½

T₁ contrazione di ½ + traslazione T₁

T₂

(26)

La gerla di Sierpinski

F₀ start T₃ F₁

T₁contrazione di ½

T₁ contrazione di ½ + traslazione

T₃ contrazione di ½ + traslazione T₁

T₂

(27)

T₁

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₀

F₁

T è composta da qattro trasformazioni

(28)

T₁

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₀

F₁

(29)

T₁

T₂

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₀

F₁

T₂contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione

(30)

T₁

T₂ T₃

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₀

F₁

T₂contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T₃ contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione

T = (T

₁

,T

₂

,T

₃

)

(31)

T₁

T₂ T₃

T₄

F₀

Il merletto a trina di Helge von Koch

F₁

T₂contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T₃ contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T₄contrazione di 1/3 + traslazione

T = (T

₁

,T

₂

,T

₃

,T

₄

)

(32)

Le trasformazioni di tutti e quattro i processi sono contrazioni

Tutti e tre i processi evolvono verso una figura…

(33)

Zoom di una fotocopiatrice

0

1

( )

0, 1, ...

n n n

F start

F

_

T F

^

 

 

La successione evolve verso il centro dei quadrati

T è una contrazione

(34)

Il teorema di Caccioppoli

Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F*

Una figura fissa è una figura su cui la

trasformazione non produce alcun effetto!

(35)

Il teorema di Caccioppoli

Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F*

Qualunque sia la figura start F₀ la successione delle figure iterate generata da T

0

1

( ) 0,1, ...

n n

n

F start

F

_

T F ^

 

 

evolve verso la figura fissa.

La figura fissa è l’attrattore del processo.

(36)

Frattali IFS :

metodo del codice genetico

(37)

Codice genetico di un frattale

Il frattale è individuato dalla sola trasformazione T che funge da codice genetico

(38)

Codice della gerla di Sierpinski

T₁

1

' / 2 ' / 2 x x

T y y

 

 



(39)

Codice della gerla di Sierpinski

T₁ T₂

T₃

1

' / 2 ' / 2 x x

T y y

 

 



²

' / 2 1/ 2 ' / 2

x x

T y y

 

 

 

(40)

Codice della gerla di Sierpinski

T₁ T₂

T₃

1

' / 2 ' / 2 x x

T y y

 

 



²

' / 2 1/ 2 ' / 2

x x

T y y

 

 

 

3

' / 2

' / 2 1/ 2 x x

T y y

 

  



(41)

T₁ T₂

T₃

1/ 2 0 0 0 1/ 2 0

 

 

 

²

' / 2 1/ 2 ' / 2

x x

T y y

 

 

 

1

' / 2

' / 2 1/ 2 x x

T y y

 

  



Codice della gerla di Sierpinski

(42)

T₁ T₂

T₃

1/ 2 0 0 0 1/ 2 0

 

 

 

3

' / 2

' / 2 1/ 2 x x

T y y

 

  



1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0

 

 

 

Codice della gerla di Sierpinski

(43)

T₁ T₂

T₃

1/ 2 0 0 0 1/ 2 0

 

 

 

1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0

 

 

 

1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2

 

 

 

Codice della gerla di Sierpinski

(44)

T₁ T₂

T₃

1/ 2 0 0 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0 0 1/ 2 0 0 1/ 2 1/ 2

 

 

 

 

Codice della gerla di Sierpinski

(45)

Codice del merletto a trina di Helge von Koch

F0

F1

(46)

T₁ Contrazione di 1/3

1

/ 3 / 3 x x

T y y

  

  



T₁

Codice del merletto a trina di Helge von Koch

(47)

Il merletto a trina di Helge von Koch

T₄ Contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3

4

/ 3 2 / 3 / 3

x x

T y y

  

 

  

T₄

(48)

T₃ contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3 + rotazione di 120⁰

 

3

x 3y / 2 1

x 3 2

T

3x y / 2 3

y 3 6

 

   

 

 

   

 

T₃

Codice del merletto a trina di Helge von Koch

(49)

T_{2 c}ontrazione di 1/3 + traslazione a destra di 1/3 + rotazione di 60⁰

 

2

3 / 2 1

3 3

3 / 2

3 x

x T

x y y

 

   

 

 

  



T₂

Codice del merletto a trina di Helge von Koch

(50)

F₀

F₁

T=(T₁,T₂,T₃,T₄)

Codice del merletto a trina di Helge von Koch

1/ 6 1/ 6 1/ 2

1/ 3 0 0 3 / 6 1/ 3 3 / 6 1/ 3 0 1/ 2

0 1/ 3 0 3 / 6 1/ 6 0 3 / 6 1/ 6 3 / 6 0 1/ 3 0

  

 

  

 

  

(51)

Il merletto a trina di Helge von Koch

Codice genetico della trina di Koch

1/ 6 1/ 6 1/ 2

1/ 3 0 0 3 / 6 1/ 3 3 / 6 1/ 3 0 1/ 2

0 1/ 3 0 3 / 6 1/ 6 0 3 / 6 1/ 6 3 / 6 0 1/ 3 0

  

 

  

 

  

(52)

Il merletto a trina di Helge von Koch

Codice genetico della trina di Koch

1/ 6 1/ 6 1/ 2

1/ 3 0 0 3 / 6 1/ 3 3 / 6 1/ 3 0 1/ 2

0 1/ 3 0 3 / 6 1/ 6 0 3 / 6 1/ 6 3 / 6 0 1/ 3 0

  

 

  

 

  

Forme e modelli frattali