APPENDICE 1: AFFIDABILITA’
1.1 Introduzione
Oggi l’affidabilità del prodotto viene progettata e assicurata con metodologie di prevenzione. Prevenire vuol dire innanzitutto prendere tutte le precauzioni affinché non possano verificarsi fenomeni indesiderati come i “guasti”. Il concetto di guasto non si limita più a malfunzionamenti vistosi come rotture o grippaggi, ma contempla ogni risposta del prodotto al di fuori del corrispondente “range di accettabilità da parte del cliente”. Ciò comporta di aver identificato tutte le funzioni attese dal cliente che il prodotto deve soddisfare e, per ciascuna, aver individuato un intervallo di valori per la risposta, al di fuori del quale il cliente rimane, almeno presumibilmente, insoddisfatto. Sostanzialmente, vuol dire assumere delle tolleranze sulle funzioni attese.
Non è sufficiente però che un prodotto fornisca risposte all’interno dei rispettivi range di accettabilità (soltanto) quando è nuovo. Bisogna che mantenga questa caratteristica nel tempo, ossia che l’entità degli inevitabili decadimenti con l’uso risulti molto contenuta, in linea con le aspettative dei clienti, almeno nell’ambito di prestabiliti periodi di operatività (per le autovetture si assume usualmente 10 anni). Questa è detta affidabilità nel tempo, e corrisponde all’idea classica che si ha dell’affidabilità.
1.2 Concetti base sull’affidabilità
Da un punto di vista generale, il concetto di affidabilità è legato alla capacità di un oggetto di funzionare correttamente per un periodo specificato di tempo1 in condizioni operative specificate.
Il concetto generale di affidabilità viene quantificato in termini matematici attraverso le caratteristiche di affidabilità. Le caratteristiche di affidabilità più utilizzate sono:
1
in affidabilità ci si riferisce ad una variabile indipendente generica “tempo di funzionamento”; di fatto molto spesso si considera come variabile indipendente la percorrenza, nel caso di un veicolo oppure i cicli di funzionamento nel caso di sistema di produzione.
• la funzione affidabilità R(t);
• il Mean Time To Failure (tempo medio al guasto) MTTF; • i percentili Bp;
• il tasso di guasto h(t).
Il tempo t a cui si determina un guasto su un oggetto può essere considerato come una variabile casuale T caratterizzata da una funzione densità di probabilità f(t).
Quindi f(t)∆t=P{t ≤ T ≤ t + ∆t} rappresenta la probabilità che il guasto avvenga tra gli istanti t e t + ∆t.
La funzione distribuzione cumulata F(t) ha quindi il significato:
{
≤}
=∫
= =PT t t f d t F 0 ) ( )( τ τ probabilità che il guasto avvenga prima dell’istante t.
La funzione affidabilità R(t) è allora definita come:
{
>}
= = = − =∫
∞ t d f t T P t F tR( ) 1 ( ) (τ) τ probabilità che il guasto avvenga dopo l’istante t, cioè probabilità che l’oggetto funzioni senza guasti nell’intervallo di tempo 0, t.
E quindi: dt t dR t f( )=− ( )
Figura 2.6.1: Interpretazione grafica di R(x) e F(x)
Il Mean Time To Failure (MTTF) non è altro che il valore medio della variabile casuale tempo al guasto T:
{ }
∫
∫
. ∞ ∞ = = = 0 0 ) ( ) (t dt R t dt tf T E MTTFI percentili Bp sono definiti da: P = 100 F(Bp) e indicano il tempo al quale una percentuale P della popolazione si è guastata.
Ad esempio B10 indica il tempo di funzionamento al quale il 10% della popolazione si è guastato.
1.3 Tasso di Guasto
La caratteristica di affidabilità tasso di guasto h(t) esprime la tendenza di un oggetto a guastarsi in funzione del tempo. Per definire in termini matematici il tasso di guasto, valutiamo la probabilità che il guasto avvenga prima dell’istante t + ∆t dato che non è avvenuto prima di t:
{
}
[
{
{
} {
}
}
]
{
{
}
}
h t t t R t t f t T P t t T t P t T P t T t t T P t T t t T P = ∆ = ∆ > ∆ + < < = > > ∩ ∆ + < = > ∆ + < ( ) ) ( ) ( | La funzione 1 ln ( ) ) ( ) ( ) ( R t dt d dt dR R t R t f th = =− =− rappresenta il tasso di guasto (istantaneo).
Il tasso di guasto ha le dimensioni di t-1 e si esprime in “numero di guasti per unità di
tempo”. L’affidabilità R(t) e la funzione densità di probabilità del tempo al guasto f(t)
possono essere espressi in funzione del tasso di guasto h(t) attraverso le seguenti espressioni: ∫ = − t d h e t R 0 ) ( ) ( τ τ ∫ = − t d h e t h t f 0 ) ( ) ( ) ( τ τ
Un tasso di guasto decrescente indica una diminuzione progressiva della tendenza al guasto.
Tale situazione rivela la presenza della cosiddetta “mortalità infantile” dovuta a pezzi fuori tolleranza o difettosi per errori di fabbricazione, danni di trasporto, ecc.; questi oggetti si guastano molto precocemente scomparendo rapidamente dalla popolazione che manifesterà progressivamente tassi di guasto più bassi.
Un tasso di guasto costante indica una tendenza al guasto che si mantiene inalterata nel tempo; i guasti che si manifestano in questo caso vengono solitamente chiamati guasti
casuali. Infine un tasso di guasto crescente nel tempo indica un aumento progressivo della
tendenza al guasto di un oggetto a causa, ad esempio, di fenomeni di usura o
invecchiamento.
Tipicamente queste tre situazioni si presentano in successione in un sistema mettendo in evidenza un andamento a “vasca da bagno” della funzione tasso di guasto:
Figura 2.6.2:
Andamento a vasca da bagno della funzione tasso di guasto
1.4 Modello Esponenziale
Il modello di affidabilità che corrisponde al tasso di guasto costante è quello esponenziale. La distribuzione esponenziale è sicuramente la più usata in affidabilità, molto spesso la ragione della scelta di questo modello è la sua semplicità piuttosto che una attenta valutazione delle ipotesi che ne giustificherebbero l’utilizzo.
La funzione densità di probabilità è: f(t)=λe−λt;
l’affidabilità è data da: R(t)=e−λt;
il tasso di guasto è dato da: ( )=− lnR(t)=λ
dt d t
h ;
Quindi il tasso di guasto nel modello esponenziale è costante e coincide con il parametro λ. E da ciò ne segue che:
λ λ 1 ) ( 0 0 = = =
∫
∞R t dt∫
∞e− dt MTTF t .È importante notare che solo nel caso esponenziale il MTTF è l’inverso del tasso di guasto.
1.5 Modello di Weibull
Il modello di Weibull è uno dei più usati in affidabilità; attraverso una scelta opportuna dei parametri che lo caratterizzano può rappresentare andamenti diversi del tasso di guasto. La funzione densità di probabilità, per il modello di Weibull a due parametri, è data da:
β η β η η β − −⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = t e t t f 1 ) ( L’affidabilità è rappresentata da:
β η⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = t e t R )(
il parametro η è detto “vita caratteristica” mentre il parametro β è detto parametro di forma.
Il tasso di guasto è dato da:
1 ) ( ln ) ( − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = β η η β t t R dt d t h
il tasso di guasto in funzione del tempo (Figura 7.15) è: - decrescente per β < 1; - costante per β = 1; - crescente per β > 1. Quindi: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ = β η 1 1
MTTF dove Г(x) è la funzione Gamma: , che
ricordiamo gode della proprietà:
∫
∞ − − = Γ 0 1 ) (x e ssx ds ) ( ) 1 (x+ = xΓ x Γ .Nel modello di Weibull a tre parametri compare, oltre a β ed η, anche il parametro γ detto “vita minima”. In questo caso valgono le seguenti relazioni:
β η γ β η γ η β − −⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = t e t t f 1 ) ( ; β η γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = t e t R )( ; 1 ) ( − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = β η γ η β t t h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ + = β η γ 1 1 MTTF
Figura 2.6.3: Andamento dell'affidabilità in funzione del tempo per valori diversi di β
Figura 2.6.4:Andamento del tasso di guasto in funzione del tempo per diversi valori di β
1.6 Conclusioni
• La distribuzione esponenziale è utilizzata in Iveco perché è semplice ed è il modello di eccellenza nel periodo di vita utile del prodotto.
• La distribuzione di Weibull è molto versatile, perché essendo biparametrica, “copre” una vasta gamma di fenomenologie.
