CAPITOLO VII

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CAPITOLO VII

SIMULAZIONI DELLE STIME DEI PARAMETRI

1.1 INTRODUZIONE

1.2 SIMULAZIONI

1.1 Introduzione

In questo capitolo sono state effettuate delle simulazioni su vari sistemi lineari del primo, secondo, terzo ordine e con ritardo. Sono stati messi in evidenza i risultati ottenuti ma soprattutto i tempi di simulazione che comunque rimangono sempre molto bassi rispetto al numero di stime effettuate. Per ottenere dei risultati più precisi è stato utilizzata la tecnica dello zero – padding portando il buffer di calcolo ( riempiendolo con zeri ) a 1024 elementi dai 90 che contengono il segnale da elaborare.

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1.2 Simulazioni

In questo paragrafo verranno illustrati alcuni esempi nei quali utilizzando il sistema per stime multiple contemporanee verranno individuati i valori dei parametri caratteristici della funzione di trasferimento di un sistema lineare. Tali parametri sono ad esempio il margine di fase PM (gradi), margine di ampiezza GM (db), il cerchio di sensibilità, la banda passante (rad/s), la pulsazione di risonanza (rad/s) e il picco di risonanza. Nelle simulazioni inoltre verranno calcolati anche gli errori percentuali tra i valori esatti ed i valori approssimati fornito dal sistema di stime multiple contemporanee. L’errore percentuale è stato calcolato attraverso la seguente relazione:

100 % ESATTO STIMATO ESATTO V V V Errore = − (VII.2.1) dove:

VESATTO : valore calcolato teoricamente

VSTIMATO : valore stimato dal sistema di stime multiple contemporanee

Esempio 1

Per questo esempio verrà preso in considerazione un sistema avente la seguente funzione di trasferimento G(s):

(

s

)

s s G 1 1 ) ( + = (VII.2.2)

la cui rappresentazione con il diagramma di Bode in modulo e fase è quella di figura VII.2.1.

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Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

20 Gm = Inf, Pm = 51.827 gradi (a 0.78615 rad/sec)

10-1 100 101

-180 -135 -90

Figura VII.2.1 – Diagramma di Bode della funzione di trasferimento rappresentata in (VII.2.2)

Si vuole calcolare il margine di fase, il margine di ampiezza, la pulsazione di risonanza del sistema ad anello chiuso con retroazione unitaria, il picco di risonanza, la banda passante e il limite di sensibilità. I valori teorici assieme ad i risultati delle simulazioni in assenza ed in presenza di rumore ed i tempi di simulazione sono riportati nella tabella VII.2.1.

Si può notare che in questo caso alcuni margini non sono stati trovati (Gain Margin). Questo è accaduto perchè per questo particolare sistema il valore della pulsazione del Gain Margin si trova all’infinito e quindi il Sistema di Stime Multiple Contemporanee non è riuscito a trovarlo dato che lavora su valori limitati di frequenze.

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Sistema Stima Multipla Contemporanea Valore

teorico

Livello di rumore

sull’uscita Valore Errore %

Tempo di simulazione (s) 0 % 51.78 0.1 20 % 51.74 0.154 Margine di fase PM (gradi) 51.82 40 % 51.99 0.32 0 % 0.705 0.282 20 % 0.714 0.99 Limite sensibilità (rad/s) 0.707 40 % 0.718 1 0 % 0.7 0.99 20 % 0.75 6 Pulsazione di risonanza (rad/s) 0.707 40 % 0.75 6 0 % N.R. - 20 % N.R. - Margine di ampiezza GM (db) inf 40 % N.R. - 0 % 1.262 0.78 20 % 1.263 0.7 Banda passante (rad/s) 1.272 40 % 1.27 0.15 0 % 1.159 0.086 20 % 1.17 0.8 Picco di risonanza 1.16 40 % 1.176 1.37 540

Tabella VII.2.1 – Sistema G(s)=1/s(s+1). Stima dei parametric caratteristici con il sistema di stime multiple contemporanee.

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In figura VII.2.2 è possibile vedere il diagramma di Bode in modulo e fase del processo creato con il criterio del cerchio che serve a trovare la pulsazione che indica il limite di sensibilità. Si può vedere in figura VII.2.3 la ricostruzione del grafico in fase dello stesso diagramma di Bode effettuata dal sistema di stime multiple contemporanee.

Bode Diagram Frequency (rad/sec) P ha se ( de g) M ag ni tu de (d B ) -80 -60 -40 -20 0 20 10-1 100 101 -270 -225 -180 -135 -90

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100 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140

-120 Ricostruzione della risposta in fase del processo che riconosce la sensibilità

ω (rad/sec) fa se (g ra di )

Figura VII.2.3 – Ricostruzione della risposta in fase del processo P(s) per il calcolo della frequenza di sensibilità.

In figura VII.2.4 è riportato il modulo e la fase del diagramma di Bode del processo

) ( 1 ) ( ) ( 0 _G _s s G s G +

= che rappresenta il sistema G(s) chiuso in reazione unitaria per il calcolo del picco di risonanza e della frequenza di risonanza nonchè della larghezza di banda. La ricostruzione del modulo del diagramma di Bode di tale processo è riportata in figura VII.2.5. Tale ricostruzione è servita per calcolare il picco di risonanza e la pulsazione di risonanza.

Si può notare che i tempi per effettuare sei stime sono molto bassi ( 500 secondi circa ). In questi tempi con il metodo del cerchio applicato al sistema SATV si riesce ad effettuare solamente una stima delle sei.

La precisione di questo metodo è paragonabile con la precisione ottenuta dal sistema SATV e notevolmente maggiore rispetto al metodo ATV.

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Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se ( G ra di ) M od ul o (d B ) 10-1 100 101 -180 -135 -90 -45 0 -40 -30 -20 -10 0 10

Figura VII.2.4 - Diagramma di Bode in modulo e fase del processo P(s)=G(s)/((G(s)+2)) che rappresenta il sistema G(s) in anello chiuso con reazione unitaria.

100 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

5 Ricostruzione della risposta in ampiezza del processo G(s) a ciclo chiuso

ω (rad/sec) m od ul o (d b)

Figura VII.2.5 - Ricostruzione della risposta in fase del processo P(s) per il calcolo della pulsazione di risonanza.

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Esempio 2

Si consideri adesso un sistema avente una funzione di trasferimento di tipo 0 G(s) pari a:

(

₁

)

3 2 ) ( + = s s G (VII.2.3)

Il diagramma di Bode in modulo e fase è mostrato nella figura VII.2.6.

20 Gm = 12.042 dB (a 1.7322 rad/sec), Pm = 67.606 deg (a 0.76635 rad/sec)

10-1 100 101 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

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teorico

Livello di rumore

Tempo di simulazione (s) 0 % 67.618 0.02 20 % 67.22 0.55 Margine di fase PM (gradi) 67.598 40 % 67.92 0.476 0 % 0.816 0 20 % 0.809 0.9 Limite sensibilità (rad/s) 0.8165 40 % 0.807 1.16 0 % 1.03 5 20 % 0.909 7.2 Pulsazione di risonanza (rad/s) 0.984 40 % 1.018 3.4 0 % 12.025 0.1 20 % 12.22 1.4 Margine di ampiezza GM (db) 12.041 40 % 12.19 1.23 0 % 1.54 0 20 % 1.525 0.97 Banda passante (rad/s) 1.54 40 % 1.554 0.9 0 % 1.473 0.15 20 % 1.48 2.1 Picco di risonanza 1.47 40 % 1.54 4.7 580

Tabella VII.2.2 - – Sistema

(

)

3 1 2 ) ( + = s s

G . Stima dei parametric caratteristici con il sistema di stime multiple contemporanee.

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Si vuole anche in questo caso stimare il margine di fase, il margine di ampiezza, la pulsazione di risonanza del sistema ad anello chiuso con retroazione unitaria, il picco di risonanza, la banda passante e il limite di sensibilità in assenza di rumore ed in presenza di un rumore del 20% e 40%. I valori teorici assieme ai risultati delle simulazioni e al tempo di simulazione sono stati mostrati nella tabella VII.2.2. Si può notare come la pulsazione di risonanza non sia troppo precisa; questo è dovuto al fatto che con questo sistema non si può inseguire la frequenza della pulsazione di risonanza in quanto la sua stima viene effettuata elaborando i dati salvati ottenuti durante la simulazione per trovare gli altri parametri. L’errore rimane comunque sempre contenuto entro margini di errore bassi.

In figura VII.2.7 è possibile vedere il diagramma di Bode in modulo e fase del processo creato con il criterio del cerchio che serve a trovare la pulsazione che indica il limite di sensibilità. Si può vedere in figura VII.2.8 la ricostruzione del grafico in fase dello stesso diagramma di Bode effettuata dall’ SSMC con rumore del 40%.

Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) F as e (g ra di ) M od ul o (d B ) -100 -80 -60 -40 -20 0 20 10-1 100 101 -360 -315 -270 -225 -180 -135 -90

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100 -350 -300 -250 -200 -150

Figura VII.2.7 - Ricostruzione della risposta in fase del processo P(s) per il calcolo della frequenza di sensibilità con sistema G(s) affetto da rumore del 40%.

In figura VII.2.8 è riportato il modulo e la fase del diagramma di Bode del processo

) ( 1 ) ( ) ( 0 _G _s s G s G +

= che rappresenta il sistema G(s) chiuso in reazione unitaria per il calcolo del picco di risonanza e del picco di risonanza nonchè della larghezza di banda. La ricostruzione del modulo del diagramma di Bode di tale processo è riportata in figura VII.2.9. Tale ricostruzione è stata effettuata ottenendo le stime dal blocco FFT che ha stimato tali valori dal sistema G(s) sottoposto a rumore del 40%. Il grafico del modulo del processo a ciclo chiuso con reazione unitaria ricostruito è servita per calcolare il picco di risonanza e la pulsazione di risonanza.

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Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-1 100 101 -270 -180 -90 0

Figura VII.2.8 - Diagramma di Bode in modulo e fase del processo P(s)=G(s)/((G(s)+2))di equazione (VII.2.3) che rappresenta il sistema G(s) in anello chiuso con reazione unitaria.

100 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

Figura VII.2.9 - Ricostruzione della risposta in fase del processo P(s) per il calcolo della pulsazione di risonanza sottoposto a rumore del 40 %.

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Esempio 3 Sia

( )

(

1 2

)

(

1

)

1 10 ) ( ₂ + + + + = s s s s s G (VII.2.4)

il cui diagramma di Bode in modulo e fase è evidenziato in figura VII.2.10.

20 Gm = Inf, Pm = 51.827 gradi (a 0.78615 rad/sec)

10-1 100 101

-180 -135 -90

Figura VII.2.10 – Diagramma di Bode in modulo e fase del sistema avente funzione di trasferimento data dall’equazione (VII.2.4)

Si effettuano delle simulazioni in assenza di rumore ed in presenza di rumore del 20% e del 40%. I risultati sono mostrati nella tabella VII.2.3.

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teorico

Livello di rumore

Tempo di simulazione (s) 0 % 15.97 0 20 % 16.09 0.8 Margine di fase PM (gradi) 15.962 40 % 16.12 0.9 0 % 1.84 0 20 % 1.841 0.02 Limite sensibilità (rad/s) 1.84 40 % 1.842 0.06 0 % 2.391 0.78 20 % 2.404 0.25 Pulsazione di risonanza (rad/s) 2.41 40 % 2.49 3.2 0 % N.R. - 20 % N.R. - Margine di ampiezza GM (db) inf 40 % N.R. - 0 % 3.67 0 20 % 3.65 0.5 Banda passante (rad/s) 3.67 40 % 3.707 1 0 % 3.9 5.3 20 % 4 8 Picco di risonanza 3.7 40 % 4.03 8.1 580

Tabella VII.2.3 –Risultati della simulazione in assenza di rumore ed in presenza di rumore del 20% e del 40%. Viene inoltre evidenziato il tempo di simulazione totale.

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Anche in questo caso non è stato possibile riuscire ad ottenere il valore del margine di ampiezza in quanto il suo valore teorico della pulsazione è infinito. Gli altri parametri caratteristici che sono stati trovati hanno un errore che può essere diminuito modificando l’algoritmo spiegato nel capitolo VI a discapito però dei tempi di simulazione.

Passiamo adesso a verificare la correttezza delle ricostruzioni dei grafici delle risposte in modulo e fase dei diagrammi di Bode dei vari processi utilizzati per il calcolo dei coefficienti. In figura VII.2.11 si può notare il diagramma di Bode in modulo e fase del processo che serve per ricercare il margine di fase.

Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 10-1 100 101 -270 -225 -180 -135 -90

Figura VII.2.11 – Diagramma di Bode in modulo e fase del processo

1 ) ( 1 ) ( ) ( + − = s G s G s P calcolato con

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In figura VII.2.12 è possibile discernere la ricostruzione effettuata dal sistema di stime multiple contemporanee dellla fase del diagramma di Bode per il processo P(s) rappresentato in figura VII.2.11.

100 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

-80 Ricostruzione della risposta in fase del processo che riconosce il phase margin

Figura VII.2.12 – Ricostruzione della fase del diagramma di Bode del processo P(s) relativo alla stima del margine di fase sottoposto a rumore del 20%

Ci si può accorgere che la concentrazione dei punti in cui sono state effettuate delle stime sono concentrati per alcune frequenze. Relativamente alla figura VII.2.12 si osservano 3 punti maggiormente concentrati (dove si accavallano i cerchi rappresentanti le stime effettuate) relativi alla fase -120, -180 e -260. Questo avviene perchè effettuando le stime contemporaneamente, i grafici sono tra loro influenzati; infatti la prima concentrazione non è dovuta alla ricerca del margine di fase ma bensì alla pulsazione di sensibilità, infatti nel relativo grafico, a tale frequenza risulterà una fase pari a -180 gradi. Solamente la seconda concentrazione di stime si riferisce al calcolo del margine di fase infatti come si può ricavare dalla figura VII.2.12 tale concentrazione è in prossimità della fase -180 gradi. Proprio in prossimità di tale valore l’algoritmo se necessario ( stime effettuate non

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troppo precise), torna indietro in frequenza fino a che non ha ottenuto una buona approssimazione di tale parametro.

Per completezza viene esposto anche il diagramma di Bode relativo al calcolo della pulsazione di risonanza e del picco di risonanza in figura VII.2.13.

Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -30 -20 -10 0 10 20 10-1 100 101 -180 -135 -90 -45 0

Modulo massimo relativo alla pulsazione di risonanza

Figura VII.2.13 – Grafico in modulo e fase del diagramma di Bode relativo al sistema G(s) chiuso in reazione unitaria. Utilizzato per il calcolo della pulsazione di risonanza e del picco di risonanza.

Il calcolo del picco di risonanza avviene dividendo il valore del modulo rilevato nel punto di massimo valore nel diagramma di Bode (modulo) per il valore del modulo (guadagno statico) del sistema G(s) a ciclo chiuso con reazione unitaria, per frequenze nulle.

Tale valore è calcolato in maniera distaccata rispetto alle altre stime in quanto tale stima viene effettuata immettendo una costante (unitaria) nel sistema a ciclo chiuso.

In figura VII.2.14 è raffigurata la ricostruzione del modulo del diagramma di Bode del processo P(s) relativo alla ricerca della pulsazione di risonanza.

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100 -10 -5 0 5 10

Figura VII.2.14 – Ricostruzione del modulo del diagramma di Bode relativo al processo che identifica la pulsazione di risonanza ed il picco di risonanza.

Esempio 4

In questo esempio sarà messa in evidenza la capacità del sistema per stime multiple contemporanee a riuscire a trovare anche i cicli limite instabili che si possono presentare in un sistema.

Supponiamo infatti di avere un sistema con una funzione di trasferimento del seguente tipo : 1 11 11 50 ) ( ₃ 2 ₂ + + + + + = s s s s s s G (VII.2.5)

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Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -60 -40 -20 0 20

40 Gm = 14.46 dB (a 4.0357 rad/sec), Pm = 20.22 gradi (a 2.018 rad/sec)

10-2 10-1 100 101 102 -225 -180 -135 -90 -45 0

Figura VII.2.15 – Diagramma di Bode in modulo e fase del sistema con funzione di trasferimento data da (VII.2.5)

Questo sistema è caratterizzato da una funzione di trasferimento G(s) che presenta due punti di attraversamento in corrispondenza della fase -180 gradi. In questo caso la G(s) infatti presenta due cicli limite. In figura VII.2.16 è mostrato l’ingrandimento della parte del diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento di G(s) che contiene le pulsazioni dei due cicli limite. I valori teorici dei due cicli limite sono c1 = 4.035 rad/s e c2 = 5.81 rad/s dove c1 rappresenta la pulsazione a cui corrisponde il ciclo limite

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Diagramma di Nyquist Asse Reale A ss e im m ag in ar io -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 ω_c1 ωc2

Figura VII.2.16 – Ingrandimento del diagramma di Nyquist relativo alle frequenze dei due cicli limite

Nel caso ATV o SATV poteva accadere che la simulazione divergesse a seconda della pulsazione di partenza a cui erano sottoposti tali sistemi. Comunque tali sistemi non erano in grado di trovare le pulsazioni relative a cicli limite instabili.

In questa simulazione il sistema di stime multiple contemporanee cercherà di trovare i parametri caratteristici della funzione di trasferimento del sistema (margine di ampiezza, margine di fase, limite di sensibilità, pulsazione di risonanza, picco di risonanza, larghezza di banda). Come già previsto il sistema troverà per alcuni parametri (margine di ampiezza e limite di sensibilità) più di un valore corretto. Questo è dovuto al fatto che i diagrammi di Bode in fase hanno più attraversamenti della fase -180 gradi consentendo più di una soluzione.

Nella tabella VII.2.4 sono rappresentati i valori stimati in assenza ed in presenza di rumore del 20% e del 40%. Viene inoltre dichiarato il tempo totale di simulazione che in questo caso risulterà leggermente più lungo in quanto i valori dei parametri si trovano a frequenze più elevate.

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teorico

Livello di rumore

Tempo di simulazione (s) 0 % 20.21 0.05 20 % 20.17 0.25 Margine di fase PM (gradi) 20.22 40 % 20 1.08 0 % 1.51 / 7.33 0.65 / 0.136 20 % 1.505 / 7.31 0.98 / 0.4 Limite sensibilità (rad/s) 1.52 / 7.34 40 % 1.51 / 7.38 0.69 / 0.55 0 % 2.06 0.48 20 % 2.03 1.9 Pulsazione di risonanza (rad/s) 2.07 40 % 2.058 0.58 0 % 14.49/ 27.1 0.2 / 0.3 20 % 14.52/26.32 0.48 / 2.5 Margine di ampiezza GM (db) 14.45 / 27 40 % 14.30/24.39 1.03/9.5 0 % 3.02 0 20 % 3.021 0.05 Banda passante (rad/s) 3.02 40 % 3.027 0.24 0 % 2.92 0.06 20 % 2.95 1.09 Picco di risonanza 2.918 40 % 2.964 1.57 780

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In figura VII.2.17 è rappresentata la ricostruzione del diagramma di Bode (fase) del sistema G(s) con il quale si è potuto ricercare i due cicli limite.

100 -200

-150 -100

-50 Ricostruzione della risposta in fase del processo che riconosce il gain margin

Figura VII.2.17 – Ricostruzione della fase del sistema G(s).

100 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

ω (rad/sec) fa se ( gr ad i)

Figura VII.2.18 – Ricostruzione della fase del processo P(s) utilizzata per trovare il limite di sensibilità

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In fugura VII.2.18 è rappresentata la ricostruzione della fase del processo P(s) utilizzato per trovare i limiti di sensibilità. In figura VII.2.19 è invece rappresentato il diagramma di Bode in modulo e fase che rappresenta lo stesso processo P(s) (non ricostruito).

Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) Fa se (g ra di ) M od ul o (d B ) -100 -50 0 50 10-2 10-1 100 101 102 -315 -270 -225 -180 -135 -90

Figura VII.2.19 – Diagramma di Bode modulo e fase che rappresenta il processo con il quale si trova il limite di sensibilità.

Infine in figura VII.2.20 e VII.2.21 viene graficato rispettivamente l’andamento del processo P(s) che serve per trovare la pulsazione ed il picco di risonanza e la ricostruzione del modulo del diagramma di Bode.

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Diagramma di Bode Frequenza (rad/sec) F as e (g ra di ) M od ul o (d B ) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 10-2 10-1 100 101 102 -225 -180 -135 -90 -45 0

Figura VII.2.20 – Diagramma di Bode del sistema G(s) chiuso in reazione unitaria.

100 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

Figura VII.2.21 – Ricostruzione del modulo del diagramma di Bode del sistema G(s) chiuso in reazione unitaria.