MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
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aSessione, 2
oAppello, 11 febbraio 2014
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `e il pun- teggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate. Le risposte ai quesiti da 1 a 4 devono essere riportate sulla cartella intestata a sei facciate; la risposta al quesito 5 deve essere riportata su un foglio protocollo a qua- dretti, sul quale si devono riportare, in testa, nome, cognome e numero di matricola. Si deve consegnare la cartella a sei facciate contenente: il foglio a quadretti con la risposta al quinto quesito e il presente testo.
Eventuali fogli di brutta copia NON devono essere consegnati. La soglia per la sufficienza `e 18/30. Tempo a disposizione: 150 minuti.
1. Siano dati un corpo rigido, un punto O, un versore ˆu e sia JO il tensore [5]
di inerzia del corpo relativo a O. Dimostrare che la forma quadratica associata a JO calcolata in ˆu `e uguale al momento di inerzia del corpo rispetto all’asse (O, ˆu), ovvero:
ˆ
u · JOu = I(O, ˆˆ u) .
2. Un corpo pesante , di dimensioni trascurabili e massa m, `e appeso al [6]
soffitto tramite una catena di cinque molle in serie aventi tutte lun- ghezza di riposo nulla e costante elastica rispettivamente k1, k2, k3, k4, k5. La catena di molle `e agganciata al soffitto nel punto O (la sequenza dall’alto verso il basso `e O - molla 1 - molla 2 - molla 3 - molla 4 - molla 5 - massa m). Si prenda come asse verticale l’asse (O, ˆex) diretto verso il basso, concordemente alla forza di gravit`a.
(a) Fare un disegno del sistema (con lo schema delle forze).
(b) Calcolare il valore di equilibrio dell’ascissa del corpo di massa m, motivando quanto pi`u possibile la risposta.
(c) Calcolare la reazione vincolare sul gancio in O.
3. Nel piano (x, y), si consideri una lastra circolare di raggio R, omogenea [7]
di densit`a ρ, centrata nell’origine O del piano e con quattro fori circolari di raggio a, centrati rispettivamente nei punti C1 = (R/2, R/2), C2 = (−R/2, R/2), C3 = (−R/2, −R/2) e C4 = (R/2, −R/2). I parametri R e a verificano la condizione a < R(2 −√
2)/2.
(a) Fare un disegno della lastra forata e, facendo uso delle propriet`a di simmetria materiale della lastra, dimostrare che il suo baricentro coincide con il suo centro geometrico O.
(b) Calcolare i momenti di inerzia della lastra forata rispetto agli assi (O, ˆex), (O, ˆey) e (O, ˆez), esprimendoli in funzione di ρ, R e a.
4. Enunciare e dimostrare l’equazione vettoriale di Eulero per la dinamica [8]
del corpo rigido “libero” (cio`e senza punti fissi), illustrando tutte le quantit`a coinvolte.
5. Una pedana circolare piana ruota nel piano orizzontale attorno all’as- [9]
se verticale passante per il proprio centro O, in senso antiorario e con velocit`a angolare costante Ω. Una pallina di massa m `e vincolata a muoversi lungo una guida rettilinea solidale con la pedana e giacente lungo un diametro della pedana stessa. La pallina `e collegata al centro O della pedana tramite una molla ideale di costante elastica k e lun- ghezza di riposo nulla. Sul sistema agisce la forza di gravit`a (diretta dall’alto verso il basso ortogonalmente alla pedana).
(a) Fare un disegno del sistema.
(b) Scrivere le equazioni di Newton per la pallina nel sistema di rife- rimento solidale con la pedana che ha per asse x l’asse della guida e per asse z l’asse ortogonale alla pedana e passante per O. Si calcolino esplicitamente e e si descrivano tutte le forze apparenti coinvolte.
(c) Definendo ω ≡ pk/m, studiare l’equazione differenziale che de- scrive il moto della pallina lungo la guida nei casi ω < Ω, ω = Ω e ω > Ω. In tutti e tre i casi scrivere esplicitamente la soluzione generale dell’equazione differenziale in questione.
(d) Calcolare esplicitamente tutte le reazioni vincolari a cui `e soggetta la pallina, spiegando a cosa sono dovute.
