MATERIALI PER L’INGEGNERIA ELETTRICA

D I E T I

DIPARTIMENTO DI I^NGEGNERIA E^{LETTRICA E DELLE} T^{ECNOLOGIE DELL}’INFORMAZIONE

Elettrotecnica - Elementi di Ingegneria Elettrica

MATERIALI PER L’INGEGNERIA ELETTRICA

Ciro Visone

Breve discussione sui materiali e le loro proprietà

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I principali materiali di interesse per l’elettrotecnica

Materiali conduttori

Gli isolanti o dielettrici I materiali magnetici

Per ognuno di essi proveremo a darne una descrizione fisica e poi una caratterizzazione macroscopica

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori

• Alcuni materiali mostrano una notevole capacità di condurre corrente, cioè di trasportare cariche elettriche con una relativamente bassa differenza di potenziale.

• Allo stesso tempo mostrano la capacità di mantenere sulla loro superficie un potenziale uniforme.

• Questa capacità è legata alla grande disponibilità di elettroni liberi che mostrano alcuni elementi metallici.

• Proviamo a comprenderne più in dettaglio il meccanismo.

Tutto ciò è dovuto allo speciale legame che lega gli ioni nel reticolo cristallino dell’elemento:

il legame metallico

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori

• Il legame metallico.

• In una struttura cristallina di elementi metallici (Ag, Cu, etc.) gli atomi “impacchettati” nella struttura che hanno bassa elettronegatività, tendono a perdere gli elettroni di valenza che risultano così delocalizzati nell’intera struttura del cristallo.

• Tale legame non è ionico, poiché non coinvolge specie con elettronegatività molto diversa, né covalente.

• Gli elettroni risultano quindi liberi di muoversi all’interno del reticolo.

Il legame metallico è un legame di natura elettrostatica che si instaura tra gli elettroni di valenza e gli ioni positivi metallici del reticolo.

Nel legame metallico gli elettroni espulsi condividono un unico grande orbitale comune a tutto il reticolo.

Una analisi più accurata può essere condotta

mediante la teoria delle bande (Bloch) che

esula dagli scopi del corso.

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori

In condizioni di equilibrio elettrostatico gli elettroni nel conduttore sono fermi. Questo richiede che il campo sia nullo.

Gli elettroni sono distribuiti sulla superficie del metallo e “schermano” il campo elettrico.

Il vincolo di campo nullo conduce alla ben nota proprietà del conduttore di garantire sulla sua superficie un potenziale uniforme.

Cationi

elettroni liberi

E’ sufficiente un piccolo campo elettrico per muovere gli elettroni.

Caso statico: non vi è trasporto di carica

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ ₀ N ² ⇡a ² h

di dt T _k

G ₂ X m

k=1

a _kj i _j ⌘ i ^r + i _s i _p = 0 v = E ₀

⇢ = (0, 0, .., r _s , .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n _r , ..., 0) di

dt = v _L (14) L

dv

dt = i _C (15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori

La corrente è proporzionale al campo elettrico

Trasporto di carica - Modello di Drude (1900)

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

₂

X

m

k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

Gli elettroni tuttavia non sono completamente liberi di muoversi nel reticolo a causa degli urti (elettrone- elettrone o elettrone ione).

Attraverso una analisi più accurata che tenesse conto degli urti, Drude concluse che:

i

i

“Dispense˙ECE” — 2020/2/5 — 9:41 — page 223 — #233

i i

i

i

i i

9.3. Modello del conduttore su macro-scala 223

volume ⌦ potremo scrivere:

m

_e

< v >= m

_e

1 N

X

N k=1

v

_k^d

eE

X

N k=1

t

_k

.

Una piccola osservazione va fatta per comprendere bene il senso del tempo t

_k

nel- l’ultima equazione. Tale tempo `e il tempo intercorso, all’istante di osservazione, dall’ultimo urto. Questo tempo permette quindi di valutare la quantit`a di moto della particella k

_ma

all’istante di osservazione. Pertanto, il termine

t = ˆ

X

N k=1

t

_k

rappresenta il tempo medio tra due urti. Bisogna ulteriormente osservare che a temperatura ambiente il momento acquisito da una generica particella tra due urti

`e molto pi` u piccolo del momento relativo alla sua componente disordinata. Questo implica che il tempo tra due urti in presenza del campo elettrico di↵erisce di molto poco rispetto a quello che si avrebbe quando il campo `e applicato. Questo comporta che il tempo intercorso dopo l’ultimo urto non dipende dal campo applicato e, in conclusione ˆ t non dipende da E.

Se adesso osserviamo che la prima sommatoria rappresenta la velocit`a media della velocit` a della componente disordinata del moto, che `e, per quanto detto, nulla, ne concludiamo che:

< v >= eˆ t

m

_e

E.

Se adesso ricordiamo che il campo densit` a di corrente J = ⇢ < v >= en < v >,

con n numero di elettroni per unit` a di volume, avremo in definitiva:

J =

✓ ne

²

t ˆ m

_e

◆

E, (9.1)

che conduce alla ben nota relazione lineare tra campo elettrico e corrente. La costante di proporzionalit` a rappresenta la conducibilit`a del conduttore.

9.3 Modello del conduttore su macro-scala

Un conduttore che rispetti il modello di Drude presenta un legame lineare tra campo elettrico e corrente, entro ampi intervalli di temperatura:

J = ⌘E

i

i

“Dispense˙ECE” — 2020/2/5 — 9:41 — page 223 — #233

i i

i

i

i i

9.3. Modello del conduttore su macro-scala 223

volume ⌦ potremo scrivere:

m

_e

< v >= m

_e

1 N

X

N k=1

v

_k^d

eE

X

N k=1

t

_k

.

Una piccola osservazione va fatta per comprendere bene il senso del tempo t

_k

nel- l’ultima equazione. Tale tempo `e il tempo intercorso, all’istante di osservazione, dall’ultimo urto. Questo tempo permette quindi di valutare la quantit` a di moto della particella k

_ma

all’istante di osservazione. Pertanto, il termine

t = ˆ

X

N k=1

t

_k

rappresenta il tempo medio tra due urti. Bisogna ulteriormente osservare che a temperatura ambiente il momento acquisito da una generica particella tra due urti

`e molto pi` u piccolo del momento relativo alla sua componente disordinata. Questo implica che il tempo tra due urti in presenza del campo elettrico di↵erisce di molto poco rispetto a quello che si avrebbe quando il campo `e applicato. Questo comporta che il tempo intercorso dopo l’ultimo urto non dipende dal campo applicato e, in conclusione ˆ t non dipende da E.

Se adesso osserviamo che la prima sommatoria rappresenta la velocit` a media della velocit` a della componente disordinata del moto, che `e, per quanto detto, nulla, ne concludiamo che:

< v >= eˆ t

m

_e

E.

Se adesso ricordiamo che il campo densit` a di corrente J = ⇢ < v >= en < v >,

con n numero di elettroni per unit` a di volume, avremo in definitiva:

J =

✓ ne

²

ˆ t m

_e

◆

E, (9.1)

che conduce alla ben nota relazione lineare tra campo elettrico e corrente. La costante di proporzionalit` a rappresenta la conducibilit` a del conduttore.

9.3 Modello del conduttore su macro-scala

Un conduttore che rispetti il modello di Drude presenta un legame lineare tra campo elettrico e corrente, entro ampi intervalli di temperatura:

J = ⌘E

i

i

“Dispense˙ECE” — 2020/2/5 — 9:41 — page 223 — #233

i i

i

i

i i

9.3. Modello del conduttore su macro-scala 223

volume ⌦ potremo scrivere:

m_e < v >= m_e 1 N

XN k=1

v_k^d eE

XN k=1

t_k.

Una piccola osservazione va fatta per comprendere bene il senso del tempo t_k nel- l’ultima equazione. Tale tempo `e il tempo intercorso, all’istante di osservazione, dall’ultimo urto. Questo tempo permette quindi di valutare la quantit`a di moto della particella k_ma all’istante di osservazione. Pertanto, il termine

t =ˆ

XN k=1

t_k

rappresenta il tempo medio tra due urti. Bisogna ulteriormente osservare che a temperatura ambiente il momento acquisito da una generica particella tra due urti

`e molto pi`u piccolo del momento relativo alla sua componente disordinata. Questo implica che il tempo tra due urti in presenza del campo elettrico di↵erisce di molto poco rispetto a quello che si avrebbe quando il campo `e applicato. Questo comporta che il tempo intercorso dopo l’ultimo urto non dipende dal campo applicato e, in conclusione ˆt non dipende da E.

Se adesso osserviamo che la prima sommatoria rappresenta la velocit`a media della velocit`a della componente disordinata del moto, che `e, per quanto detto, nulla, ne concludiamo che:

< v >= eˆt

m_e E.

Se adesso ricordiamo che il campo densit`a di corrente J = ⇢ < v >= en < v >,

con n numero di elettroni per unit`a di volume, avremo in definitiva:

J =

✓ne²tˆ m_e

◆

E, (9.1)

che conduce alla ben nota relazione lineare tra campo elettrico e corrente. La costante di proporzionalit`a rappresenta la conducibilit`a del conduttore.

9.3 Modello del conduttore su macro-scala

Un conduttore che rispetti il modello di Drude presenta un legame lineare tra campo elettrico e corrente, entro ampi intervalli di temperatura:

J = ⌘E

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

2

X

m k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

ˆ t ! tempo medio tra due urti

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ₀N²⇡a² h

di dt Tk

G2

Xm k=1

a_kji_j ⌘ i^r + i_s i_p = 0 v = E₀

⇢ = (0, 0, .., r_s, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n_r, ..., 0) di

dt = v_L (14) L

dv

dt = i_C (15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m_e ˙v = eE

tˆ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

2

X

m k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

t ˆ ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

m

_e

! massa dell’elettrone

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

2

X

m k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

ˆ t ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

m

_e

! massa dell’elettrone

⌘ = ne

²

t ˆ

m

_e

! conducibilit`a del conduttore

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori - Caratteristica costitutiva

Condizioni statiche

Ciò perché all’interno del conduttore in condizioni STATICHE gli elettroni sono fermi!

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

₂

X

m

k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

t ˆ ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

m

_e

! massa dell’elettrone

⌘ = ne

²

t ˆ

m

_e

! conducibilit`a del conduttore E = 0

Relazione costitutiva generale

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

₂

X

m

k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

t ˆ ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

m

_e

! massa dell’elettrone

⌘ = ne

²

t ˆ

m

_e

! conducibilit`a del conduttore E = 0

J = ⌘E

La costante η è la conducibilità del materiale.

CAPITOLO 3. LE CARATTERISTICHE COSTITUTIVE DEI BIPOLI 29

3.1.3 Resistore

Un ulteriore importante elemento circuitale `e il resistore, cio´e un dispositivo co- stituito da un conduttore di assegnata conducibilit` a sottoposto ad una tensione V applicata tramite due elettrodi. Uno schema di principio di un tale dispo- sitivo `e mostrato in Fig. 3.6. Tale dispositivo `e descritto dal modello QSC e, perci`o, possiamo ritenere il campo di corrente solenoidale ed il campo elettrico conservativo . Tali propriet`a permettono di definire senza ambiguit` a la tensione e la corrente del dispositivo.

La tensione V si pu`o valutare indifferentemente utilizzando sia la linea γ, ester-

+

-

V σ

J

Figura 3.6: Modello Fisico di un resistore a geometria cilindrica

na al dispositivo, che la linea η che si sviluppa all’interno del resistore scelta rettilinea per semplicit`a di calcolo (Fig. 3.7). Pertanto, possiamo scrivere:

V =

!

η

E · tdl. (3.18)

Ricordando che σE = J, risulta:

V =

!

η

1

σ J · tdl; (3.19)

se adesso moltiplichiamo l’integrando per la sezione del conduttore cilindrico S e osservando che il versore tangente alla linea η coincide con la normale alla sezione S, l’eq. (3.19) diventa:

V =

!

η

1

σS J · nSdl. (3.20)

Si intuisce che il campo di corrente `e uniforme in tutta la sezione del conduttore e, pertanto, il prodotto J · nS `e la corrente I che circola nel conduttore. Ci´ o permette di concludere che

V = I

!

η

dl

σS . (3.21)

BRIEF ARTICLE 7

i(t) = J · nS

BRIEF ARTICLE 7

i(t) = J · nS R =

Z

⌘

ds

⌘S V = Ri

BRIEF ARTICLE 7

i(t) = J · nS R =

Z ds

⌘S V = Ri

(E + E ^⇤ ) = J E + E ^⇤ = 0 v ₀ =

Z

ext

E · tds =

Z

int

E · t ⁰ ds =

Z

int

E _m · t ⁰ ds =

Z

int

E _m · tds ⌘ "

v =

Z

int

E · t ⁰ ds =

I

int

E _m · tds

Z

int

1 J · tds Z

int

1 J · tds =

Z

int

1

S (J · tS)ds = Ri(t) v = " Ri

T = ˆ {T e _s } with s = 1, .., r G = ˆ n

V, E T , ˆ o

!( ˆ G) = !(G) G(V, E, ) A (V, L, )

v ₀ = "

B · n  0

= N ₀ = µ ₀ N ² ⇡a ²

h i(t)

8 THE AUTHOR

v = d

dt = µ

₀

N

²

⇡a

²

h

di dt T

_k

G

₂

X

m

k=1

a

_kj

i

_j

⌘ i

^r

+ i

_s

i

_p

= 0 v = E

₀

⇢ = (0, 0, .., r

_s

, .., 0; 0, 0, .., 0)

⌫ = (0, 0, ..., 0; 0, 0, ..n

_r

, ..., 0) di

dt = v

_L

(14) L

dv

dt = i

_C

(15) C

F ⌘ eE = 0 ) E = 0 m

_e

˙v = eE

t ˆ ! tempo medio tra due urti e ! carica dell’elettrone

m

_e

! massa dell’elettrone

⌘ = ne

²

t ˆ

m

_e

! conducibilit`a del conduttore E = 0

J = ⌘E v(t) =

Z 1

⌘S (J · tS) ds = i(t) Z

s₂

1

S ds = Ri(t)

Resistore

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

I materiali conduttori - Caratteristica costitutiva

CAPITOLO 3. LE CARATTERISTICHE COSTITUTIVE DEI BIPOLI 29

3.1.3 Resistore

Un ulteriore importante elemento circuitale `e il resistore, cio´e un dispositivo co- stituito da un conduttore di assegnata conducibilit` a sottoposto ad una tensione V applicata tramite due elettrodi. Uno schema di principio di un tale dispo- sitivo `e mostrato in Fig. 3.6. Tale dispositivo `e descritto dal modello QSC e, perci`o, possiamo ritenere il campo di corrente solenoidale ed il campo elettrico conservativo . Tali propriet`a permettono di definire senza ambiguit` a la tensione e la corrente del dispositivo.

La tensione V si pu`o valutare indifferentemente utilizzando sia la linea γ, ester-

+

-

V σ

J

Figura 3.6: Modello Fisico di un resistore a geometria cilindrica

na al dispositivo, che la linea η che si sviluppa all’interno del resistore scelta rettilinea per semplicit`a di calcolo (Fig. 3.7). Pertanto, possiamo scrivere:

V =

!

η

E · tdl. (3.18)

Ricordando che σE = J, risulta:

V =

!

η

1

σ J · tdl; (3.19)

se adesso moltiplichiamo l’integrando per la sezione del conduttore cilindrico S e osservando che il versore tangente alla linea η coincide con la normale alla sezione S, l’eq. (3.19) diventa:

V =

!

η

1

σS J · nSdl. (3.20)

Si intuisce che il campo di corrente `e uniforme in tutta la sezione del conduttore e, pertanto, il prodotto J · nS `e la corrente I che circola nel conduttore. Ci´ o permette di concludere che

V = I

!

η

dl

σS . (3.21)

BRIEF ARTICLE 7

i(t) = J · nS R =

Z

⌘

ds

⌘S V = Ri

BRIEF ARTICLE 7

i(t) = J · nS R =

Z ds

⌘S V = Ri

(E + E ^⇤ ) = J E + E ^⇤ = 0 v ₀ =

Z

ext

E · tds =

Z

int

E · t ⁰ ds =

Z

int

E _m · t ⁰ ds =

Z

int

E _m · tds ⌘ "

v =

Z

int

E · t ⁰ ds =

I

int

E _m · tds

Z

int

1 J · tds Z

int

1 J · tds =

Z

int

1

S (J · tS)ds = Ri(t) v = " Ri

T = ˆ {T e _s } with s = 1, .., r G = ˆ n

V, E T , ˆ o

!( ˆ G) = !(G) G(V, E, ) A (V, L, )

v ₀ = "

B · n  0

= N ₀ = µ ₀ N ² ⇡a ²

h i(t)

Resistenza di un cilindro di rame

l = 100 m

S = 4 mm² BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

Portata amperometrica dei cavi di rame

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0 C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦

⌘

_l

Potenza elettrica

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

Calore prodotto per effetto Joule

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p_tot = X

k

q_k~_k E~_tot = ~E_appl + ~E_p

P =~ p~

⌦ D = "~ ₀"_rE~

P = "~ ₀ E~

"_r = 1 +

> 0 C = "₀"_rS R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P_e = Ri²

P_Q = kS T k = 386 W

m²K

S

Equilibrio termico:

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T 5

Sl

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

Se si definisce la max. temperatura di esercizio, la corrente definita nella equazione in evidenza rappresenta la massima corrente che può circolare nel cavo.

Tale corrente è definita capacità amperometrica

Cu

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

Costituzione dei comuni resistori

Resistori a impasto -

Cilindro costituito da un impasto di carbone, argilla talco e resine in proporzione variabile a seconda del valore di resistenza da ottenere.

In tale circostanza è la conducibilità dell’impasto a determinare il valore di resistenza.

Resistori a filo -

Un filo conduttore viene avvolto su un supporto isolante (ceramica).

Il filo è costituito da diversi tipi di leghe conduttrici a seconda delle caratteristiche del resistore. Anche la sezione del filo è un parametro di progetto, determinando la resistenza del componente.

Resistori a film -

Un film di materiale conduttore depositato su uno strato ceramico viene inciso a spirale. Le caratteristiche dell’incisione determinano il valore della resistenza. Resistore molto stabile e con elevata precisione.

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

Materiali polarizzabili

I materiali polarizzabili (o dielettrici), a differenza dei conduttori, non presentano portatori di carica (elettroni) in grado di muoversi su distanze paragonabili alla dimensione del campione.

La redistribuzione della carica avviene su distanze nell’ordine della dimensione dell’atomo o della molecola (scala microscopica)

In questo caso l’effetto del campo applicato può “distorcere” la struttura dell’orbitale dell’atomo/molecola determinando una piccolissima separazione della carica elettrica negativa da quella positiva e realizzando così una speciale configurazione di carica: il dipolo elettrico.

In realtà, va precisato, alcune molecole (p. es. H2O) presentano già naturalmente una asimmetria spaziale della molecola e si comportano, anche in assenza di campo esterno applicato, come dipoli.

Molecole polari

Molecole non polari

La molecola si presenta già come un dipolo elettrico, anche in assenza di campo esterno

La molecola si presenta come neutra in assenza di campo esterno.

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

Materiali polarizzabili

Molecole polari

Molecole non polari

La molecola si presenta già come un dipolo elettrico, grazie alla simmetria degli orbitali.

La molecola si presenta globalmente neutra, grazie alla simmetria degli orbitali

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

Materiali polarizzabili - molecole polari

La molecola dell’acqua

Angolo HOH = 104.5°

La struttura asimmetrica sposta gli elettroni verso l’ossigeno (più elettronegativo).

La molecola presenta un momento di dipolo elettrico:

H + H

O

+ +

©mccord 201

-

+

d

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd

~

p _tot = X

k

q _k ~ _k E = ~ ~ E _a + ~ E _p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75

T = T _c T _e

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

+ -

Dipolo Elettrico In un materiale “bulk” la distribuzione dei

dipoli e la loro orientazione è casuale.

Pertanto il momento di dipolo totale è statisticamente NULLO

In presenza di un campo elettrico applicato i dipoli subiscono una forza che li orienta lungo le linee di campo.

In questo caso il momento di dipolo è NON NULLO.

Materiali polarizzabili - molecole polari

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd

~

p _tot = X

k

q _k ~ _k E = ~ ~ E _a + ~ E _p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75

T = T _c T _e

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

In un materiale “bulk” la distribuzione dei dipoli e la loro orientazione è casuale.

Pertanto il momento di dipolo totale è statisticamente NULLO

In presenza di un campo elettrico applicato i dipoli subiscono una forza che li orienta lungo le linee di campo.

In questo caso il momento di dipolo è NON NULLO.

La distribuzione dipolare non nulla è a sua volta sorgente di campo che si sovrappone al campo applicato generando un campo totale:

Materiali polarizzabili - molecole polari

Dipoli disposti casualmente

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = ~ ~ E

_a

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p _tot = X

k

q _k d _k

E = E _a + E _p P = ~ p ~

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75

T = T _c T _e

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

In un materiale “bulk” con molecole non polari, non si osserva alcun dipolo in assenza di campo.

Pertanto il momento di dipolo totale è NULLO

Il campo applicato “induce” la formazione di dipoli e li orienta simultaneamente.

L’effetto complessivo è l’osservazione di un momento di dipolo NON NULLO.

La distribuzione dipolare non nulla è a sua volta sorgente di campo che si sovrappone al campo applicato.

Materiali polarizzabili - molecole non polari

Nessun dipolo

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = ~ ~ E

_a

+ ~ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p _tot = X

k

q _k d _k

E = E _a + E _p P = ~ p ~

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75

T = T _c T _e

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

In un materiale “bulk” con molecole non polari, non si osserva alcun dipolo in assenza di campo.

Pertanto il momento di dipolo totale è NULLO

Il campo applicato “induce” la formazione di dipoli e li orienta simultaneamente.

L’effetto complessivo è l’osservazione di un momento di dipolo NON NULLO.

I dipoli all’interno del materiale si compensano. Le uniche cariche

“scompensate” sono quelle superficiali, che generano un campo di polarizzazione non nullo,

Materiali polarizzabili - molecole non polari

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p _tot = X

k

q _k d _k

E = E _a + E _p P = ~ p ~

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75 T = T _c T _e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p _tot = X

k

q _k d _k

E = E _a + E _p P = ~ ~ p

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75 T = T _c T _e

carica negativa carica positiva

carica compensata

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = ~ ~ p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p _tot = X

k

q _k d _k

E = E _a + E _p P = ~ p ~

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

C = " ₀ " _r S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10 ⁶ 100

4 ⇥ 10 ⁶ = 42, 5 ⌦ P _e = Ri ²

P _Q = kS T k = 386 W

m ² K P _e = P _Q

Ri ² = kS _l T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS ^0.75 T = T _c T _e

Campo totale

Elettrotecnica - Elementi di Elettromagnetismo e di Elettromeccanica

Ciro Visone — Materiali per l’ingegneria elettrica

La determinazione del campo passa attraverso la determinazione della distribuzione di dipoli, che è un prodotto del processo di polarizzazione …

Materiali polarizzabili

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p

_tot

= X

k

q

_k

~

_k

E ~

_tot

= ~ E

_appl

+ ~ E

_p

P = ~ p ~

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘

~

p = q~

~

p _tot = X

k

q _k ~ _k

E ~ _tot = ~ E _appl + ~ E _p P = ~ ~ p

⌦ D = " ~ ₀ " _r E ~

P = " ~ ₀ E ~

" _r = 1 +

> 0

Materiali dielettrici lineari

Materiali polarizzabili - effetti macroscopici

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J

^a

+ J

_m

(16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J

^a

H = 1

µ

₀

B M M = M(H)

M = H

B = µ

₀

(1 + )H µ

_r

= 1 +

B = 0

M = H

r · E = % + %

^p

(18)

r ⇥ E = 0 (19)

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J

^a

+ J

_m

(16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J

^a

H = 1

µ

₀

B M M = M(H)

M = H

B = µ

₀

(1 + )H µ

_r

= 1 +

B = 0

M = H

r · E = % + %

^p

(18)

r ⇥ E = 0 (19)

Il problema viene aggirato mediante un vettore che misura la polarizzazione media in un volume elementare di materiale.

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J ^a + J _m (16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J ^a H = 1

µ ₀ B M M = M(H)

M = H

B = µ ₀ (1 + )H µ _r = 1 +

B = 0

M = H r · D = % (18)

r ⇥ E = 0 (19)

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J

^a

+ J

_m

(16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J

^a

H = 1

µ

₀

B M M = M(H)

M = H

B = µ

₀

(1 + )H µ

_r

= 1 +

B = 0

M = H

r · E = % + %

^p

(18)

r ⇥ E = 0 (19)

Il problema adesso è risolubile pur di assegnare un legame tra P ed E (relazione costitutiva)

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J

^a

+ J

_m

(16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J

^a

H = 1

µ

₀

B M M = M(H)

M = H

B = µ

₀

(1 + )H µ

_r

= 1 +

B = 0

M = H r · D = % (18)

r ⇥ E = 0 (19)

D = "

₀

E + P

10 THE AUTHOR

B

M ⌘ m

⌦

r ⇥ B = J

^a

+ J

_m

(16)

r · B = 0 (17)

r ⇥ H = J

^a

H = 1

µ

₀

B M M = M(H)

M = H

B = µ

₀

(1 + )H µ

_r

= 1 +

B = 0

M = H

r · D = % (18)

r ⇥ E = 0 (19)

D = "

₀

E + P P = P(E)

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = " ~

₀

E ~

"

_r

= 1 +

> 0 C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = p

⌦ D = " ~

₀

"

_r

E ~

P = "

₀

E

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e

BRIEF ARTICLE 9

% = 1

⌘ p = qd p

_tot

= X

k

q

_k

d

_k

E = E

_a

+ E

_p

P = p

⌦ D = "

₀

"

_r

E

P = "

₀

E

"

_r

= 1 +

> 0

C = "

₀

"

_r

S R = % l

S = 1.7 ⇥ 10

⁶

100

4 ⇥ 10

⁶

= 42, 5 ⌦ P

_e

= Ri

²

P

_Q

= kS T k = 386 W

m

²

K P

_e

= P

_Q

Ri

²

= kS

_l

T

i =

s

2⇡

r S

⇡ S⌘k T = p

⁴

4⇡ p

⌘k T S

³⁴

= aS

^0.75

T = T

_c

T

_e