DMPeA-Un.Padova 28.02.2006-M2F-E5
Corso di Matematica 2F per la Laurea in Fisica - esercizi per casa del 28 febbraio 2006 Cognome . . . Nome . . . Matricola . . . .
Lo studente `e tenuto a consegnare l’elaborato svolto e firmato non pi`u tardi di Venerd`ı 3 marzo 2006, secondo le regole stabilite (alla lezione del mattino oppure non oltre le ore 13.00 nella casella della posta a nome “Candilera”, al quarto piano del Dip. Matematica, edificio Paolotti).
Lo studente dichiara di aver svolto autonomamente l’elaborato presente. Firma: . . . .
Notazione: Nel seguito si indicheranno con n1, n2, . . . , n6 le cifre del numero di matricola (ad esempio, se il proprio numero di matricola `e 541023, n1= 5, n2= 4, n3= 1, n4= 0, n5= 2, n6= 3).
Esercizio (16 punti). Si determinino n, m ∈ {1, 2, 3, 4} in modo che n6− n ed n5− m siano multipli interi di 4.
E data l’applicazione lineare φ di` R5 in s´e, rappresentata dalla seguente matrice in base canonica
A = αE,E(φ) =
−1 0 0 −1 − m −1 − m
0 m 0 0 0
−1 − m n − m m −1 − m −1 − m
m − n 0 0 m − n − 1 m − n
n − m 0 0 n + 1 n
.
(1) Calcolare il polinomio caratteristico, pφ(X), e dire se φ `e invertibile.
(2) Determinare nullit`a, molteplicit`a ed una base del relativo autospazio per ogni autovalore di φ. Determinare il polinomio minimo e dire se φ `e o meno diagonalizzabile.
(3) Se φ non `e diagonalizzabile, determinare, per ogni autovalore, un autovettore generalizzato, ad esso relativo, di periodo massimo. Se φ `e diagonalizzabile, determinare una matrice invertibile, P , ed una matrice diagonale, D, tali che D = P−1AP .
(4) Per ogni autovalore si fissi una base ortonormale dello spazio di autovettori ad esso relativo e siano, v1, . . . , vk, gli autovettori per φ cos`ı determinati. Calcolare il volume k-dimensionale del simplesso,
∆ = ( k
X
j=1
ajvj
aj∈ [0, 1], a1+ · · · + ak≤ 1 )
.
