• Non ci sono risultati.

--- -- - k Elet. k Telec. k Altro. Nome:Nr.Mat.Firma:C.L.:Info.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "--- -- - k Elet. k Telec. k Altro. Nome:Nr.Mat.Firma:C.L.:Info."

Copied!
6
0
0

Testo completo

(1)

Controlli Automatici - Prima parte 17 Giugno 2016 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risolvano i seguenti esercizi.

a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t):

x1(t) = [2 t2+ 3 sin(5t)] e−3 t, x2(t) = 2 t3+ 3 δ(t − 5)

a.2) Calcolare la risposta impulsiva g(t) delle seguenti funzioni di trasferimento G(s):

G1(s) = 6

s(s + 1)(1 + 2s), G2(s) = 3 s e−2 s s2+ 16

b) Relativamente allo schema a blocchi di figura, calcolare la funzione di trasferimento G1(s) = YX(s)(s):

G1(s) = . . .

-

X(s) Y(s)

- - -

X(s) Y(s)

- -

A

A BB

C C D

D EE

F F

c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).

Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:

c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;

c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;

c.3) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ = 45;

c.4) la risposta a regime yr(t) del sistema G(s) ad un ingresso sinusoidale x(t) = sin(1.2t);

G1(jω)

−220 −210 −200 −190 −180 −170 −160 −150 −140 −130 −120 −110

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

Phase [degrees]

Mag [db]

Diagramma di Nichols

0.82 1

1.2

1.5

1.8

2.2

2.7

3.3

3.9

c.1) Ma =. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) yr(t) = . . . .

G2(jω)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1

0.15 0.18 0.22 0.27

0.33 0.39 0.56 0.47 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2

2.7

c.1) Ma=. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) yr(t) = . . . .

(2)

d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)-

K -

Gd(s) (3s + 1)(2 − s) s2(s2+ 6s + 100)

- 6

r(t) y(t)

d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Gd(s).

d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Gd(s). Cal- colare esattamente le eventuali intersezioni σi con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ωi.

d.4) Calcolare, in funzione di K, l’errore a regime ea del sistema retroazionato per ingresso a parabola r(t) = 3 t2.

e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)-

K -

Ge(s) (s − 1)2 s(s + 1)

- 6

r(t) y(t)

e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).

e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa dell’eventuale asintoto verticale e le eventuali intersezioni σi con il semiasse reale negativo.

e.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime |ev| = 0.02 per ingresso a rampa x(t) = 3 t.

f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).

G(s) = . . .

Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

f.2) Calcolare l’errore a regime ep del si- stema retroazionato quando in ingresso `e presente un gradino di ampiezza unitaria:

ep = . . .

10−3 10−2 10−1 100 101 102

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

Diagramma dei moduli

Mag (db)

10−3 10−2 10−1 100 101 102

−270

−225

−180

−135

−90

−45 0

Diagramma delle fasi

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

(3)

Controlli Automatici - Prima parte 17 Giugno 2016 - Domande

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risponda alle seguenti domande.

1. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale:

...y (t)+5 ¨y(t)+2 y(t) = 4 ˙x(t)+3 x(t) → G(s) = Y(s) X(s) = 2. Calcolare il valore iniziale y0 = lim

t→0+y(t) e il valore finale y = lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y(s) = 3 (s2 + 3s + 1)

(s + 2)2(2 s − 3) → y0 = y =

3. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale x(t):

x(t) = 6 + 5 cos(3t)- G(s) s+ 1 s+ 4

-y(t) ≃ . . .

4. Posto a0 6= 0, l’equazione ausiliaria che si ottiene dalla tabella di Routh quando tutti gli elementi di una riga si annullano:

ha radici simmetriche rispetto all’origine `e composta solo da termini di grado pari in s `e composta solo da termini di grado dispari in s ha radici simmetriche rispetto all’asse immaginario

5. Sia F (s) la trasformata di Laplace del segnate f (t). Fornire l’enunciato del “Teorema della traslazione in s”:

L[e−a tf(t)] =

6. Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode riportati a fianco, relativi ad un sistema G(s) a fase minima.

Leggere il margine di fase Mϕ e il margine di ampiezza Mα del sistema G(s):

Mϕ = . . . . Mα = . . . .

100 101

−30

−20

−10 0 10 20 30

Diagramma dei moduli

Mag (db)

100 101

−220

−210

−200

−190

−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

Diagramma delle fasi

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

7. Calcolare l’evoluzione libera del sistema ˙y(t) + 4 y(t) = 0 con condizione iniziale y(0) = 3.

y(t) =

8. Il picco di risonanza MR di un sistema del 2 ordine `e:

MR=2δ

1−δ2 MR= 1

1−δ2 MR= 1

1−2δ2 MR=2δ

1−2δ2

(4)

9. Utilizzando i teoremi del valore iniziale e del valo- re finale, disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 4 − 9s 3s + 2

Calcolare il valore iniziale y0, il valore finale y e il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y1(t):

y0 = y ≃ Ta

t y1(t)

10. Calcolare l’errore a regime e(∞) per i seguenti sistemi retroazionati:

- - (1+2s) (s+3)2

- 6

r(t) = 2 e(t) y(t)

e(∞) =

- -4(s + 1) s(s + 2)

- 6

r(t) = 3 t e(t) y(t)

e(∞) =

- - s+ 4 s(s2+32) -

6

r(t) = sin 3t e(t) y(t)

e(∞) = 11. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = 2(s+1)(4s−1).

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possi- bile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

−2 < K < 12; −12 < K < 2;

(K < −2) ∪ (K > 12);

(K < −12) ∪ (K > 2);

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

0.01 0.022 0.033 0.047

0.068 0.082

0.1 0.12

0.15 0.18

0.22 0.27 0.33 0.39

0.47 0.56

0.68 0.82

1 1.5

2.2 3.9

12. Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 810(5 + 0.3s)(s2+ 10s + 302)

(2s + 30)(10s + 3)(s2+ 6s + 81)(s2 + 16s + 400) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y = Ta≃ Tω

t y1(t)

13. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s):

G(s) = (s − 3)(1 + 2s)

s(1 − s)2 e−2 s → (M (ω) = ϕ(ω) =

(5)

10−2 10−1 100 101 102

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60 80

Mag (db)

Frequency [rad/s]

Diagramma dei moduli: Gd(s)

10−2 10−1 100 101 102

−360

−315

−270

−225

−180

−135

−90

−45 0

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

Diagramma delle fasi: Gd(s)

(6)

10−2 10−1 100 101 102

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40 50 60

Mag (db)

Frequency [rad/s]

Diagramma dei moduli: Ge(s)

10−2 10−1 100 101 102

−360

−315

−270

−225

−180

−135

−90

−45 0

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

Diagramma delle fasi: Ge(s)

Riferimenti

Documenti correlati

Completare la seguente formulazione del criterio di Nyquist (quella valida anche per sistemi instabili ad anello aperto). Criterio

Relativamente ad un sistema G(s) del secondo ordine privo di zeri, fornire il legame teorico che esiste tra la massima sovaelongazione S% e il coefficiente di smorzamento δ:.

ha radici simmetriche rispetto all’origine `e composta solo da termini di grado pari in s `e composta solo da termini di grado dispari in s ha radici simmetriche rispetto

lo stesso modo sia presente nel regolatore (o nel sistema controllato), che pertanto deve avere un polo nell’origine pure di ordine h o superiore, cio`e contenere un modello del

lo stesso modo sia presente nel regolatore (o nel sistema controllato), che pertanto deve avere un polo nell’origine pure di ordine h o superiore, cio`e contenere un modello del

condizione solo necessaria solo sufficiente N necessaria e sufficiente affinch´ e “il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile ` e che il diagramma polare completo

il diagramma polare completo della funzione F (jω) circondi il punto critico −1+j0 tante volte in senso antiorario quanti sono i poli di F (s) con parte reale

Nei limiti della precisione consentita dal grafico si risponda alle seguen- ti domande ricavare l’espressione ana- litica della funzione di trasferimento G(s).. Se i