-- - - k Elet. k Telec. k Altro. Nome:Nr.Mat.Firma:C.L.:Info.

(1)

Controlli Automatici - Prima parte 19 Giugno 2015 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risolvano i seguenti esercizi.

a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t):

x1(t) = (3 + 2 e^−5t) cos(6t), x2(t) = (5 + 4 t²) e^{3 t}

a.2) Calcolare la risposta impulsiva gi(t) delle seguenti funzioni di trasferimento Gi(s):

G₁(s) = 4

(s + 3)(1 + 2 s) G₂(s) = 3 + 12 (s + 6)⁴

b) Relativamente allo schema a blocchi di figura, calcolare la funzione di trasferimento G1(s) = ^Y_X(s)^(s):

G₁(s) = . . .

-

X(s) Y(s)

- -

X(s) Y(s)

-

A

A BB

D D E E

F F

G G

c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).

Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:

c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;

c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;

c.3) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ = 50^◦; c.4) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα = 10;

G1(jω)

−220 −210 −200 −190 −180 −170 −160 −150 −140 −130 −120 −110

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

Phase [degrees]

Mag [db]

Diagramma di Nichols

1 1.2

1.5

1.8

2.2

2.7

3.3

3.9

4.7

5.6

6.8

8.2

c.1) Ma =. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) Kα = . . . .

G2(jω)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

0 0.018 0.039 0.068

0.1 0.12 0.15 0.18 0.22

0.27 0.33 0.47 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.7 3.3

3.9 4.7

5.6 6.8

10 15

27 100

c.1) Ma=. . . . c.2) M_ϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) Kα = . . . .

1

(2)

d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

Gd(s) (1 + 5 s) s(s + 5)(s²+ s + 1)

- 6

r(t) y(t)

d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Gd(s).

d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Gd(s). Cal- colare esattamente le eventuali intersezioni σ_i^∗ con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

d.4) Calcolare, in funzione di K, l’errore a regime ev del sistema retroazionato per ingresso a rampa r(t) = 3 t.

e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

Ge(s) (s + 3)² s(s − 3)²

- 6

r(t) y(t)

e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).

e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa dell’asintoto verticale e le eventuali intersezioni σ_i^∗ con il semiasse reale negativo.

e.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime |e^v| = 0.01 per ingresso a rampa x(t) = 2 t.

f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).

G(s) = . . .

Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

f.2) Calcolare la risposta a regime y_∞(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il segnale:

x(t) = 3 sin(0.2 t − ^π₃) + 200 sin(5 t).

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

Diagramma dei moduli

Mag (db)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−270

−240

−210

−180

−150

−120

−90

−60

−30 0 30 60 90

Diagramma delle fasi

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

y(t) = . . .

f.3) Calcolare l’errore a regime ep del sistema retroazionato quando in ingresso `e presente un gradino di ampiezza unitaria:

ep = . . .

2

(3)

Controlli Automatici - Prima parte 19 Giugno 2015 - Domande

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risponda alle seguenti domande.

1. Scrivere, in funzione dei segnali x(t) e y(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(s) = Y(s)

X(s) = (s + 3)²

3 s⁴+ s³+ 5 s²+ 2 s + 4 → . . .

2. Un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri, ha un picco di risonanza MR maggiore di uno

se 0 < δ < ¹₂ se 0 < δ < ^√¹₂ se 0 < δ < 1 se 0 < δ < √ 2 3. Il ritardo puro G(s) = e^−t⁰^s `e un sistema:

lineare non lineare stabile a fase minima

4. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale x(t):

x(t) = 9 + 2 sin(4t − ^π₄)

-

G(s) 10 s+ 3

-y(t) ≃ . . .

5. Nella scomposizione in fratti semplici, qual `e la posizione p1,2 = σ ± jω e il grado di moltepli- cit`a ν della coppia di poli complessi coniugati corrispondente all’andamento temporale g1(t) = 2 t³e^4t sin(6 t − 5):

p_1,2 = σ ± jω = . . . ± j . . . , ν = . . .

6. Enunciare il criterio di Nyquist nella formulazione valida anche per sistemi instabili ad anello aperto. Fornire sia l’ipotesi che la tesi del criterio.

Criterio di Nyquist. Nell’ipotesi ...

7. Utilizzando i teoremi del valore iniziale e del valore finale, disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino del seguente sistema:

G(s) = 8 s + 4 2 s + 3

Calcolare il valore iniziale y0, il valore finale y_∞ e il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y1(t):

y₀ = y_∞ ≃ Ta≃

t y1(t)

3

(4)

8. Un sistema G(s) retroazionato `e asintoticamente stabile se e solo se : il margine di fase M^ϕ >0;

il margine di ampiezza M^a>0;

il margine di fase M^ϕ >1;

il margine di ampiezza M^a>1;

9. Calcolare l’evoluzione libera del sistema ¨y(t) + 4 y(t) = 0 partendo dalle condizioni iniziali y(0) = 3 e ˙y(0) = 0. Si ricorda che vale la regola: L[ ¨f(t)] = s²F(s) − f(0) s − ˙f(0).

y(t) =

10. Calcolare l’errore a regime e(∞) per i seguenti sistemi retroazionati:

- -(1+5s)² 2(s+5)

- 6

r(t) = 2 e(t) y(t)

e(∞) =

- -7(s + 2) 40 s²

- 6

r(t) = 3 t e(t) y(t)

e(∞) =

- - s+ 4 s²(s+3) ^-

6

r(t) = 4 t² e(t) y(t)

e(∞) = 11. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = _2(1−s)^(s+4).

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possi- bile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

¹₂ < K < 2;

−2 < K < −¹₂; −¹2 < K < 2;

(−¹₂ < K) ∪ (K > 2);

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1 0.15 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.56 0.68 1 0.82 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 6.8 10 18

12. Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 480(7 + 0.2s)(s²+ 20s + 80²) (2s + 3)(3s + 20)(s²+ 64)(s²+ 10s + 160) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y_∞ = Ta≃ Tω ≃

t y¹(t)

13. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s):

G(s) = (3s − 1)

s(2 − s²)e^{−4 s} → (M (ω) = ϕ(ω) =

4