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Cap. 13 Cerchio e Cap. 13 Cerchio e circonferenza circonferenza

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Academic year: 2021

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(1)

Cap. 13 Cerchio e Cap. 13 Cerchio e

circonferenza

circonferenza

(2)

Terzo postulato Terzo postulato

Punto A (centro) Lunghezza

Circonferenza Per definire una

circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

(3)

Definizione di

Definizione di circonferenza circonferenza

Si definisce Si definisce

circonferenza il circonferenza il

luogo geometrico luogo geometrico

dei punti del dei punti del

piano equidistanti piano equidistanti

da un punto detto da un punto detto

centro della centro della

circonferenza

circonferenza

(4)

Quante

circonferenze passano per un punto?

Quante

circonferenze passano per due punti?

Ricorda l’asse di un segmento

L’asse di un segmento è il luogo

geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

Qualsiasi punto dell’asse può essere in centro di una

circonferenza che passa per A e B perciò …..

(5)

Il circocentro Il circocentro

Dal latino

Dal latino circumcircum

(circolo) e dal greco (circolo) e dal greco



 (centro) (centro) Si definisce

Si definisce circocentro circocentro il punto di incontro dei il punto di incontro dei tre assi di un triangolo tre assi di un triangolo Il nome deriva da una Il nome deriva da una

proprietà facilmente proprietà facilmente

ricavabile se si ricorda ricavabile se si ricorda

il significato di asse il significato di asse

Quante circonferenze

passano per tre punti non allineati?….. Ricordiamo il circocentro di un triangolo

(6)

Proprietà del circocentro Proprietà del circocentro

Consideriamo l’asse del lato CB, Consideriamo l’asse del lato CB,

per definizione il punto O per definizione il punto O (appartenente all’asse) è (appartenente all’asse) è equidistante da C e da B equidistante da C e da B

OB = OC OB = OC

Prendiamo l’asse del lato AC, Prendiamo l’asse del lato AC,

ancora una volta O è ancora una volta O è

equidistante da A e da C equidistante da A e da C

OC = OA OC = OA

A questo punto si ha che:

A questo punto si ha che:

OB=OC=OA OB=OC=OA

Il circocentro è equidistante di Il circocentro è equidistante di

vertici del triangolo vertici del triangolo

(7)

Il centro del circolo ….

Il centro del circolo ….

È ora chiaro che il È ora chiaro che il

circocentro è il centro circocentro è il centro

cella circonferenza cella circonferenza

che passa per i vertici che passa per i vertici

del triangolo del triangolo

Da cui ….

Da cui …. Qualsiasi Qualsiasi triangolo può essere triangolo può essere

inscritto in una inscritto in una

circonferenza

circonferenza I vertici di un triangolo

costituiscono tre punti non allineati pertanto ….

(8)

Per tre punti non

allineati passa una ed

una sola circonferenza

(9)

Definizione di cerchio Definizione di cerchio

Si definisce Si definisce

cerchio la cerchio la

porzione di porzione di

piano racchiusa piano racchiusa

da una da una

circonferenza

circonferenza

(10)

Raggio Raggio

Si definisce Si definisce

raggio di una raggio di una

circonferenza in circonferenza in

segmento che segmento che

unisce il centro unisce il centro

con un qualsiasi con un qualsiasi

punto della punto della

circonferenza circonferenza

Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono

congruenti

(11)

Corda e diametro Corda e diametro

Si definisce corda qualsiasi Si definisce corda qualsiasi

segmento che unisce due segmento che unisce due

punti della circonferenza punti della circonferenza

Si definisce diametro una Si definisce diametro una

corda che passa per il corda che passa per il

centro della circonferenza centro della circonferenza

Tutti i diametri sono Tutti i diametri sono

congruenti congruenti

È facile vedere che : È facile vedere che :

d d = = 2r 2r

Il diametro

rappresenta anche la corda di dimensione massima

(12)

Semicirconferenza Semicirconferenza

Consideriamo una

circonferenza e un suo diametro

Il diametro divide la

circonferenza in due parti congruenti

Ciascuna di queste parti prende il nome di

semicirconferenzasi definisce semicirconferenza ciascuna delle due parti

in cui la circonferenza risulta suddivisa da un suo diametro

(13)

Arco di circonferenza Arco di circonferenza

Prendiamo una Prendiamo una

circonferenza e mettiamo circonferenza e mettiamo

su di essa due punti su di essa due punti

Si definisce arco di Si definisce arco di

circonferenza ciascuna circonferenza ciascuna

delle due parti in cui la delle due parti in cui la

circonferenza risulta circonferenza risulta

suddivisa dai due punti suddivisa dai due punti I punti B e C individuano I punti B e C individuano

l’arco

l’arco cc e l’arco e l’arco dd

(14)

Arco e angolo al centro Arco e angolo al centro

Se degli estremi di un arco Se degli estremi di un arco

di circonferenza traccio i di circonferenza traccio i

due raggi si forma un due raggi si forma un

angolo al centro angolo al centro 

Tale angolo prende il Tale angolo prende il

nome di angolo al centro nome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB Si dice che l’arco AB

sottende un angolo

sottende un angolo  e e l’angolo

l’angolo  è sotteso da un è sotteso da un arco AB

arco AB

Archi uguali

sottendono angoli uguali

(15)

Relazione arco - corda Relazione arco - corda

Dai i due punti che Dai i due punti che

costituiscono gli estremi costituiscono gli estremi

dell’arco io posso tracciare dell’arco io posso tracciare

una corda una corda

In questo caso diremo In questo caso diremo

che la corda AB che la corda AB sottende l’arco AB sottende l’arco AB

L’arco AB è sotteso dalla corda AB

(16)

È data una circonferenza di centro O e raggio r

Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e A’B

Essi sottendono le corde a e a’

Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB e OA’B’ congruenti per il primo criterio perché:

OB = O’B’ e OA = O’B’

perché raggi di una stessa circonferenza

 = ’ perché

angoli al centro di archi uguali

Se ciò è vero

possiamo concludere che: AB = A’B’

(17)

Archi congruenti sono sottesi da corde congruenti

Corde congruenti sottendono

archi congruenti

(18)

Prima abbiamo fatto un’affermazione a cui non era stata data alcuna

giustificazione

Essa intuitivamente ci è sembrata vera

Dimostriamo che effettivamente è così

Prendiamo la seguente figura Consideriamo il triangolo ABO

Per il criterio di esistenza dobbiamo avere che AB < AO + OB

Cioè corda < r + r Ma r + r = d perciò

Corda < d

Il diametro

rappresenta anche la corda di dimensione

massima

corda

raggio

In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore

del diametro

(19)

Proprietà del triangolo isoscele Proprietà del triangolo isoscele

Se i triangoli ACD e CDB Se i triangoli ACD e CDB

sono uguali sia ha che AD = sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e DB cioè D è il punto medio e

l’altezza è anche mediana l’altezza è anche mediana

L’altezza è la perpendicolare L’altezza è la perpendicolare

condotta a partire dal punto condotta a partire dal punto

medio perciò sta sul suo medio perciò sta sul suo asseasse

Se i triangoli ACD e BCD Se i triangoli ACD e BCD

sono uguali saranno uguali sono uguali saranno uguali

anche

anche  e e  perciò l’altezza è perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo anche bisettrice dell’angolo in Cin C

In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base

è anche asse, mediana e bisettrice

(20)

È data una circonferenza di centro O e raggio r ed una sua corda AD

Tracciamo due raggi che uniscono gli estremi della corda col centro della circonferenza

Otteniamo il triangolo isoscele ABO Tracciamo l’altezza, essa sarà anche asse, mediana, e bisettrice pertanto … La perpendicolare alla corda

passante per il centro della

circonferenza divide la corda a metà Consideriamo ora un’altra corda

congruente con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due estremi

Per il terzo criterio i triangoli AOB e A’B’O risulteranno congruenti

Le loro altezze h e h’

risulteranno congruenti Se due corde sono

congruenti e appartengono alla stessa circonferenza sono equidistanti dal

centro

(21)

Posizioni reciproche di punto e Posizioni reciproche di punto e

circonferenza appartenente ad un piano circonferenza appartenente ad un piano 

Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua

distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r

Un punto appartiene alla circonferenza se la sua

distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r

Un punto è interno ad una circonferenza se la sua

distanza dal centro è minore del raggio

(22)

Secanti e tangenti Secanti e tangenti

Una retta si dice Una retta si dice

secante

secante se interseca se interseca una curva in due o più una curva in due o più

punti punti

Una retta si dice Una retta si dice

tangente

tangente ad una curva ad una curva se ha un solo punto di se ha un solo punto di

contatto

contatto (da (da tangere tangere toccare

toccare) ) con la curvacon la curva ((o meglio la tocca in o meglio la tocca in

due punti coincidenti due punti coincidenti))

(23)

Posizioni reciproche di retta e circonferenza Posizioni reciproche di retta e circonferenza

appartenente ad un piano appartenente ad un piano 

Una retta è esterna ad una circonferenza se la sua

distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r

Una retta è tangente alla circonferenza se la sua

distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r

Una retta è secante ad una circonferenza se la sua

distanza dal centro è minore del raggio

(24)

Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa

È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p esterno ad essa

Dal punto P tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e siano H e K i punti di contatto

Tracciamo i segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli OHP e OKP congruenti per il primo principio di congruenza Pertanto risulta anche che PH = PK

I segmenti che hanno per estremi il punto P e i punti di tangenza alla circonferenza

sono congruenti

(25)

Le tangenti alla circonferenza Le tangenti alla circonferenza

Le tangenti alla Le tangenti alla

circonferenza sono sempre circonferenza sono sempre

perpendicolari al raggio perpendicolari al raggio

La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei programmi di scuola media

(26)

Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruenti Tracciamo la corda HK

Il segmento OP sta sull’asse della corda pertanto è bisettrice di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isoscele

A questo punto abbiamo:

a = b 1 = 2 e d in comune

I due triangoli sono congruenti per il primo principio

(27)

Posizioni reciproche di due circonferenze Posizioni reciproche di due circonferenze

Sono date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r ed r’ con r>r’ le due circonferenze si dicono:

Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ > r + r’

Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO’ = r + r’

Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r’ < OO’ < r + r’

Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO’ = r – r’

Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ < r – r’

Concentriche se si ha che O ≡ O’

(28)

Angolo alla circonferenza Angolo alla circonferenza

si chiama angolo alla si chiama angolo alla

circonferenza un circonferenza un

angolo con il vertice angolo con il vertice

su una circonferenza su una circonferenza

e i lati o entrambi e i lati o entrambi

secanti

secanti (prima specie),(prima specie), o uno secante e l'altro o uno secante e l'altro

tangente alla tangente alla

circonferenza circonferenza

(seconda specie).

(seconda specie).

(29)

Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza

Sia data una circonferenza c di

centro O e raggio r e un arco AB su di essa

Tracciamo un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d

Tracciamo il diametro che passa per C ed O

Il triangolo COA avrà gli angoli ,

 e 180 – 2

Gli angoli AOD e COA sono

supplementari, siccome uno dei due è 180 – 2 l’altro

necessariamente sarà 2 il doppio di ACO

Discorso analogo lo possiamo fare per il triangolo OCB e per l’angolo DOB

(30)

L’angolo alla circonferenza sarà dato da  + 

L’angolo al centro da 2 + 2xcioè

esattamente il doppio

dell’angolo alla circonferenza

In una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un certo arco sarà sempre il doppio

dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

(31)

Angoli alla circonferenza che Angoli alla circonferenza che

insistono su uno stesso arco insistono su uno stesso arco

Su uno stesso arco di Su uno stesso arco di

circonferenza circonferenza insistono infiniti insistono infiniti

angoli alla angoli alla

circonferenza ed circonferenza ed hanno tutti lo stesso hanno tutti lo stesso

valore

valore

(32)

Segmento circolare Segmento circolare

Consideriamo un cerchio ed Consideriamo un cerchio ed

una sua corda a una sua corda a

La corda divide il cerchio in due La corda divide il cerchio in due

parti parti

Si definisce segmento circolare Si definisce segmento circolare

ciascuna delle due parti ciascuna delle due parti

Si definisce Si definisce

segmento circolare segmento circolare

una porzione di una porzione di

cerchio delimitata da cerchio delimitata da

una corda una corda

(33)

Settore circolare Settore circolare

Prendiamo un cerchio e un suo Prendiamo un cerchio e un suo

arco BC arco BC

Tracciamo i due raggi che Tracciamo i due raggi che

uniscono gli estremi dell’arco con uniscono gli estremi dell’arco con

il centro il centro

Otteniamo cosi una porzione di Otteniamo cosi una porzione di

cerchio cerchio

Si dice settore Si dice settore

circolare la porzione di circolare la porzione di

cerchio racchiusa da cerchio racchiusa da

due raggi e un arco di due raggi e un arco di

circonferenza.

circonferenza.

Cosa succede se aumento ?

(34)

Corona circolare Corona circolare

Consideriamo due Consideriamo due

circonferenze concentriche di circonferenze concentriche di

raggio r1 ed r2 con r1

raggio r1 ed r2 con r1 > r2> r2 fra le due circonferenze si fra le due circonferenze si trova una porzione di piano trova una porzione di piano

Chiamiamo questa porzione Chiamiamo questa porzione

di piano corona circolare di piano corona circolare

Si definisce corona circolare la

porzione di piano racchiusa fra due

circonferenze

(35)

Formule Formule

C =  x d

Ma d = 2 x r allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C =  x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formu le invers

e

d  C r C



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