Cap. 13 Cerchio e Cap. 13 Cerchio e
circonferenza
circonferenza
Terzo postulato Terzo postulato
Punto A (centro) Lunghezza
Circonferenza Per definire una
circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio
Definizione di
Definizione di circonferenza circonferenza
Si definisce Si definisce
circonferenza il circonferenza il
luogo geometrico luogo geometrico
dei punti del dei punti del
piano equidistanti piano equidistanti
da un punto detto da un punto detto
centro della centro della
circonferenza
circonferenza
Quante
circonferenze passano per un punto?
Quante
circonferenze passano per due punti?
Ricorda l’asse di un segmento
L’asse di un segmento è il luogo
geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi
Qualsiasi punto dell’asse può essere in centro di una
circonferenza che passa per A e B perciò …..
Il circocentro Il circocentro
Dal latino
Dal latino circumcircum
(circolo) e dal greco (circolo) e dal greco
(centro) (centro) Si definisce
Si definisce circocentro circocentro il punto di incontro dei il punto di incontro dei tre assi di un triangolo tre assi di un triangolo Il nome deriva da una Il nome deriva da una
proprietà facilmente proprietà facilmente
ricavabile se si ricorda ricavabile se si ricorda
il significato di asse il significato di asse
Quante circonferenze
passano per tre punti non allineati?….. Ricordiamo il circocentro di un triangolo
Proprietà del circocentro Proprietà del circocentro
Consideriamo l’asse del lato CB, Consideriamo l’asse del lato CB,
per definizione il punto O per definizione il punto O (appartenente all’asse) è (appartenente all’asse) è equidistante da C e da B equidistante da C e da B
OB = OC OB = OC
Prendiamo l’asse del lato AC, Prendiamo l’asse del lato AC,
ancora una volta O è ancora una volta O è
equidistante da A e da C equidistante da A e da C
OC = OA OC = OA
A questo punto si ha che:
A questo punto si ha che:
OB=OC=OA OB=OC=OA
Il circocentro è equidistante di Il circocentro è equidistante di
vertici del triangolo vertici del triangolo
Il centro del circolo ….
Il centro del circolo ….
È ora chiaro che il È ora chiaro che il
circocentro è il centro circocentro è il centro
cella circonferenza cella circonferenza
che passa per i vertici che passa per i vertici
del triangolo del triangolo
Da cui ….
Da cui …. Qualsiasi Qualsiasi triangolo può essere triangolo può essere
inscritto in una inscritto in una
circonferenza
circonferenza I vertici di un triangolo
costituiscono tre punti non allineati pertanto ….
Per tre punti non
allineati passa una ed
una sola circonferenza
Definizione di cerchio Definizione di cerchio
Si definisce Si definisce
cerchio la cerchio la
porzione di porzione di
piano racchiusa piano racchiusa
da una da una
circonferenza
circonferenza
Raggio Raggio
Si definisce Si definisce
raggio di una raggio di una
circonferenza in circonferenza in
segmento che segmento che
unisce il centro unisce il centro
con un qualsiasi con un qualsiasi
punto della punto della
circonferenza circonferenza
Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono
congruenti
Corda e diametro Corda e diametro
Si definisce corda qualsiasi Si definisce corda qualsiasi
segmento che unisce due segmento che unisce due
punti della circonferenza punti della circonferenza
Si definisce diametro una Si definisce diametro una
corda che passa per il corda che passa per il
centro della circonferenza centro della circonferenza
Tutti i diametri sono Tutti i diametri sono
congruenti congruenti
È facile vedere che : È facile vedere che :
d d = = 2r 2r
Il diametro
rappresenta anche la corda di dimensione massima
Semicirconferenza Semicirconferenza
Consideriamo una
circonferenza e un suo diametro
Il diametro divide la
circonferenza in due parti congruenti
Ciascuna di queste parti prende il nome di
semicirconferenzasi definisce semicirconferenza ciascuna delle due parti
in cui la circonferenza risulta suddivisa da un suo diametro
Arco di circonferenza Arco di circonferenza
Prendiamo una Prendiamo una
circonferenza e mettiamo circonferenza e mettiamo
su di essa due punti su di essa due punti
Si definisce arco di Si definisce arco di
circonferenza ciascuna circonferenza ciascuna
delle due parti in cui la delle due parti in cui la
circonferenza risulta circonferenza risulta
suddivisa dai due punti suddivisa dai due punti I punti B e C individuano I punti B e C individuano
l’arco
l’arco cc e l’arco e l’arco dd
Arco e angolo al centro Arco e angolo al centro
Se degli estremi di un arco Se degli estremi di un arco
di circonferenza traccio i di circonferenza traccio i
due raggi si forma un due raggi si forma un
angolo al centro angolo al centro
Tale angolo prende il Tale angolo prende il
nome di angolo al centro nome di angolo al centro
Si dice che l’arco AB Si dice che l’arco AB
sottende un angolo
sottende un angolo e e l’angolo
l’angolo è sotteso da un è sotteso da un arco AB
arco AB
Archi uguali
sottendono angoli uguali
Relazione arco - corda Relazione arco - corda
Dai i due punti che Dai i due punti che
costituiscono gli estremi costituiscono gli estremi
dell’arco io posso tracciare dell’arco io posso tracciare
una corda una corda
In questo caso diremo In questo caso diremo
che la corda AB che la corda AB sottende l’arco AB sottende l’arco AB
L’arco AB è sotteso dalla corda AB
È data una circonferenza di centro O e raggio r
Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e A’B’
Essi sottendono le corde a e a’
Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB e OA’B’ congruenti per il primo criterio perché:
OB = O’B’ e OA = O’B’
perché raggi di una stessa circonferenza
= ’ perché
angoli al centro di archi uguali
Se ciò è vero
possiamo concludere che: AB = A’B’
Archi congruenti sono sottesi da corde congruenti
Corde congruenti sottendono
archi congruenti
Prima abbiamo fatto un’affermazione a cui non era stata data alcuna
giustificazione
Essa intuitivamente ci è sembrata vera
Dimostriamo che effettivamente è così
Prendiamo la seguente figura Consideriamo il triangolo ABO
Per il criterio di esistenza dobbiamo avere che AB < AO + OB
Cioè corda < r + r Ma r + r = d perciò
Corda < d
Il diametro
rappresenta anche la corda di dimensione
massima
corda
raggio
In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore
del diametro
Proprietà del triangolo isoscele Proprietà del triangolo isoscele
Se i triangoli ACD e CDB Se i triangoli ACD e CDB
sono uguali sia ha che AD = sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e DB cioè D è il punto medio e
l’altezza è anche mediana l’altezza è anche mediana
L’altezza è la perpendicolare L’altezza è la perpendicolare
condotta a partire dal punto condotta a partire dal punto
medio perciò sta sul suo medio perciò sta sul suo asseasse
Se i triangoli ACD e BCD Se i triangoli ACD e BCD
sono uguali saranno uguali sono uguali saranno uguali
anche
anche e e perciò l’altezza è perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo anche bisettrice dell’angolo in Cin C
In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base
è anche asse, mediana e bisettrice
È data una circonferenza di centro O e raggio r ed una sua corda AD
Tracciamo due raggi che uniscono gli estremi della corda col centro della circonferenza
Otteniamo il triangolo isoscele ABO Tracciamo l’altezza, essa sarà anche asse, mediana, e bisettrice pertanto … La perpendicolare alla corda
passante per il centro della
circonferenza divide la corda a metà Consideriamo ora un’altra corda
congruente con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due estremi
Per il terzo criterio i triangoli AOB e A’B’O risulteranno congruenti
Le loro altezze h e h’
risulteranno congruenti Se due corde sono
congruenti e appartengono alla stessa circonferenza sono equidistanti dal
centro
Posizioni reciproche di punto e Posizioni reciproche di punto e
circonferenza appartenente ad un piano circonferenza appartenente ad un piano
Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua
distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r
Un punto appartiene alla circonferenza se la sua
distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r
Un punto è interno ad una circonferenza se la sua
distanza dal centro è minore del raggio
Secanti e tangenti Secanti e tangenti
Una retta si dice Una retta si dice
secante
secante se interseca se interseca una curva in due o più una curva in due o più
punti punti
Una retta si dice Una retta si dice
tangente
tangente ad una curva ad una curva se ha un solo punto di se ha un solo punto di
contatto
contatto (da (da tangere tangere toccare
toccare) ) con la curvacon la curva ((o meglio la tocca in o meglio la tocca in
due punti coincidenti due punti coincidenti))
Posizioni reciproche di retta e circonferenza Posizioni reciproche di retta e circonferenza
appartenente ad un piano appartenente ad un piano
Una retta è esterna ad una circonferenza se la sua
distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r
Una retta è tangente alla circonferenza se la sua
distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r
Una retta è secante ad una circonferenza se la sua
distanza dal centro è minore del raggio
Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa
È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p esterno ad essa
Dal punto P tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e siano H e K i punti di contatto
Tracciamo i segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli OHP e OKP congruenti per il primo principio di congruenza Pertanto risulta anche che PH = PK
I segmenti che hanno per estremi il punto P e i punti di tangenza alla circonferenza
sono congruenti
Le tangenti alla circonferenza Le tangenti alla circonferenza
Le tangenti alla Le tangenti alla
circonferenza sono sempre circonferenza sono sempre
perpendicolari al raggio perpendicolari al raggio
La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei programmi di scuola media
Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruenti Tracciamo la corda HK
Il segmento OP sta sull’asse della corda pertanto è bisettrice di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isoscele
A questo punto abbiamo:
a = b 1 = 2 e d in comune
I due triangoli sono congruenti per il primo principio
Posizioni reciproche di due circonferenze Posizioni reciproche di due circonferenze
Sono date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r ed r’ con r>r’ le due circonferenze si dicono:
Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ > r + r’
Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO’ = r + r’
Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r’ < OO’ < r + r’
Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO’ = r – r’
Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ < r – r’
Concentriche se si ha che O ≡ O’
Angolo alla circonferenza Angolo alla circonferenza
si chiama angolo alla si chiama angolo alla
circonferenza un circonferenza un
angolo con il vertice angolo con il vertice
su una circonferenza su una circonferenza
e i lati o entrambi e i lati o entrambi
secanti
secanti (prima specie),(prima specie), o uno secante e l'altro o uno secante e l'altro
tangente alla tangente alla
circonferenza circonferenza
(seconda specie).
(seconda specie).
Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza
Sia data una circonferenza c di
centro O e raggio r e un arco AB su di essa
Tracciamo un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d
Tracciamo il diametro che passa per C ed O
Il triangolo COA avrà gli angoli ,
e 180 – 2
Gli angoli AOD e COA sono
supplementari, siccome uno dei due è 180 – 2 l’altro
necessariamente sarà 2 il doppio di ACO
Discorso analogo lo possiamo fare per il triangolo OCB e per l’angolo DOB
L’angolo alla circonferenza sarà dato da +
L’angolo al centro da 2 + 2xcioè
esattamente il doppio
dell’angolo alla circonferenza
In una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un certo arco sarà sempre il doppio
dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco
Angoli alla circonferenza che Angoli alla circonferenza che
insistono su uno stesso arco insistono su uno stesso arco
Su uno stesso arco di Su uno stesso arco di
circonferenza circonferenza insistono infiniti insistono infiniti
angoli alla angoli alla
circonferenza ed circonferenza ed hanno tutti lo stesso hanno tutti lo stesso
valore
valore
Segmento circolare Segmento circolare
Consideriamo un cerchio ed Consideriamo un cerchio ed
una sua corda a una sua corda a
La corda divide il cerchio in due La corda divide il cerchio in due
parti parti
Si definisce segmento circolare Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti ciascuna delle due parti
Si definisce Si definisce
segmento circolare segmento circolare
una porzione di una porzione di
cerchio delimitata da cerchio delimitata da
una corda una corda
Settore circolare Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo Prendiamo un cerchio e un suo
arco BC arco BC
Tracciamo i due raggi che Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con uniscono gli estremi dell’arco con
il centro il centro
Otteniamo cosi una porzione di Otteniamo cosi una porzione di
cerchio cerchio
Si dice settore Si dice settore
circolare la porzione di circolare la porzione di
cerchio racchiusa da cerchio racchiusa da
due raggi e un arco di due raggi e un arco di
circonferenza.
circonferenza.
Cosa succede se aumento ?
Corona circolare Corona circolare
Consideriamo due Consideriamo due
circonferenze concentriche di circonferenze concentriche di
raggio r1 ed r2 con r1
raggio r1 ed r2 con r1 > r2> r2 fra le due circonferenze si fra le due circonferenze si trova una porzione di piano trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione Chiamiamo questa porzione
di piano corona circolare di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la
porzione di piano racchiusa fra due
circonferenze
Formule Formule
C = x d
Ma d = 2 x r alloraCirconferenza uguale a p greco per il diametro
C = x 2r
Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio
Formu le invers
e