Il cerchio e la circonferenza
DEFINIZIONI
Circonferenza: linea curva chiusa i cui punti sono equidistanti da un punto O detto centro della circonferenza.
Raggio: un qualsiasi segmento che unisce il centro O della circonferenza ad un punto della circonferenza stessa. Tutti i raggi di una determinata
circonferenza hanno la stessa lunghezza e sono infiniti Corda: segmento che unisce due punti di una circonferenza.
Diametro: segmento che unisce due punti di una circonferenza passando per il suo centro O. È la corda di lunghezza massima. Tutti i diametri di una determinata circonferenza hanno la stessa lunghezza e sono infiniti.
Il diametro di una determinata circonferenza ha lunghezza doppia rispetto a quella del raggio
Cerchio: parte di piano costituita da una circonferenza e dai punti interni ad essa1. PARTI DELLA CIRCONFERENZA
Archi di circonferenza
Una coppia qualsiasi di punti A e B presi sulla circonferenza la divide in due parti dette archi di cui A e B sono gli estremi. L’arco di
lunghezza minore si indica con ̂ o se si vuole indicare l’arco di lunghezza maggiore si utilizza una lettera intermedia, per esempio ̂.
Se i punti A e B determinano due archi di uguale lunghezza si parla di semicirconferenze.
Gli estremi di una corda AB determinano due archi e si dice che l’arco ̂ sottende la corda AB oppure che AB e ̂ sono corrispondenti.
Corde
T1. La perpendicolare condotta dal centro O della circonferenza ad una corda AB divide la corda in due parti uguali2.
Dimostrazione
OA = OB perché raggi della circonferenza quindi il triangolo AOB è isoscele;
1 Se si considerano solo i punti che hanno una distanza dal centro O minore di quella del raggio (OP < r) abbiamo il cerchio aperto.
2 La lettera T indica che si tratta di un teorema (vedi il prontuario geometria 1)
OH rappresenta l’altezza del triangolo AOB che nei triangoli isosceli coincide con la mediana quindi AH
= BH
Il segmento OH rappresenta la distanza della corda dal centro della circonferenza.
T2. Due corde congruenti AB e CD hanno la medesima distanza dal centro.
Dimostrazione
I triangoli AOB e COD sono congruenti in quanto:
AO = BO = CO = DO perché raggi della circonferenza e AB = CD;
quindi OH = OK perché altezze dei due triangoli.
T3. Archi di circonferenza congruenti sottendono corde congruenti.
PARTI DEL CERCHIO
Un settore circolare è una parte di cerchio delimitata da due raggi e da un arco di circonferenza. Quando i due raggi si trovano sulla stessa retta abbiamo un semicerchio.
La porzione di cerchio delimitata da una corda e da un arco di circonferenza è detta segmento circolare ad una base. La parte di cerchio compresa tra due corde parallele è detta segmento circolare a due basi.
La parte di cerchio compresa tra due circonferenza concentriche è detta corona circolare.
RELAZIONI TRA PUNTI, RETTE E CIRCONFERENZE
Relazione tra punti del piano e la circonferenza
Per un punto o due punti del piano passano infinite circonferenze. Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro corrisponde all'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti.
Discussione
Tre punti A, B, C non allineati possono essere considerati come vertici del triangolo ABC e il centro dell’unica circonferenza passante per i tre punti coincide con il circoncentro3 del triangolo.
3 Ricorda che il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo (vedi geometria 1)
Un punto P del piano del piano complanare alla circonferenza può:
essere esterno alla circonferenza se la sua distanza dal centro O è maggiore del raggio.
OP > r
appartenere alla circonferenza se la sua distanza dal centro O è uguale al raggio.
OP = r
essere interno alla circonferenza se la sua distanza dal centro O è minore del raggio.
OP < r
Relazione tra retta e circonferenza
Le posizioni di una retta e di una circonferenza che giacciono sullo stesso piano sono le seguenti:
retta esterna: non ha punti in comune con la circonferenza; la distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio
retta tangente: ha uno ed uno solo punto in comune con la circonferenza (punto di tangenza); la distanza della retta dal centro della circonferenza è uguale del raggio e il raggio è perpendicolare alla retta nel punto di tangenza
retta secante: ha due punti in comune con la circonferenza; la distanza della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio
Data una circonferenza c ed un punto P esterno ad essa per P passano due sole tangenti alla circonferenza data.
La distanza di P da ciascun punto di tangenza è la stessa.
I segmenti AP e BP sono congruenti in quanto i triangoli OAP e OBP sono congruenti in quanto rettangoli: infatti hanno congruente l'ipotenusa OP, in comune, e i cateti OA e OB in quanto raggi della circonferenza (3° criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
Rapporto tra circonferenze
Due circonferenze possono essere:
esterne: la distanza tra i due centri è maggiore della somma dei due raggi ( ̅̅̅̅̅
interne: la distanza tra i due centri è minore della differenza tra i due raggi ( ̅̅̅̅̅ ma maggiore di 0
concentriche: la distanza tra i due centri è 0 ( ̅̅̅̅̅ ) ossia i centri delle circonferenze coincidono
secanti: la distanza fra i due centri è inferiore al valore della somma dei due raggi e superiore alla loro differenza ( ̅̅̅̅̅ )
Tangenti esternamente: la distanza tra i centri è uguale alla somma dei raggi. Hanno un solo punto in comune (punto di tangenza) ( ̅̅̅̅̅ )
Tangenti internamente: la distanza tra i centri è uguale alla differenza tra i raggi. Hanno un solo punto in comune (punto di tangenza) ( ̅̅̅̅̅ )
ANGOLI
Angolo al centro: è l'angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e per lati due semirette che intersecano la
circonferenza formando un arco di circonferenza. L'intersezione dell'angolo al centro con il cerchio è un settore circolare.
Angolo alla circonferenza: ha il vertice sulla circonferenza e i lati sono secanti alla circonferenza o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza.
Dato un arco di circonferenza a questo corrispondono infiniti angoli alla circonferenza, congruenti tra loro.
Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza che insistono sullo stesso arco di circonferenza si dicono corrispondenti e l'angolo al centro ha un'ampiezza doppia rispetto al suo corrispondente alla circonferenza4. Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti in quanto l'ampiezza di ognuno è la metà del suo corrispondente angolo al
centro che è in comune a tutti.
Angoli alla circonferenza che insistono su una semi circonferenza sono retti in quanto la loro ampiezza è la meta del corrispondente angolo al cento che è un angolo piatto.
4 Vedi Appendice per la dimostrazione
LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA
Rapporto tra circonferenza e diametro ()
Il rapporto tra circonferenza c e diametro d è dato dal numero di volte in cui il diametro è contenuto nella circonferenza del cerchio a cui appartiene; si nota che qualsiasi sia la circonferenza, il diametro è contenuto più di tre ma meno di quattro volte ossia, in termini matematici
Circonferenza e diametro sono segmenti incommensurabili ossia non è possibile trovare un sottomultiplo comune con cui posso esprimere la misura di ciascuno di essi. La conseguenza è che il rapporto tra
circonferenza e suo diametro non può essere espresso da una frazione per cui questo rapporto è un numero irrazionale.
Il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio viene indicato con la lettera greca π5 (pi greco).
In molti calcoli si usa il valore approssimato 3,14 ( ) come valore approssimato al centesimo; finora sono state calcolate quasi cinque miliardi di cifre decimali
Il rapporto tra circonferenza c di un cerchio e suo diametro d è π: da questo si ricava che moltiplicando il diametro di una circonferenza per π si ottiene la misura della circonferenza; in termini matematici
Il diametro è il doppio del raggio r della circonferenza per cui si può utilizzare anche questa formula
Il valore approssimato di π da utilizzare dipende dalla precisione nel calcolo della circonferenza che voglio ottenere, di solito si usa il valore 3,14; molte volte conviene lasciare indicato il simbolo π accanto al valore numerico tenendo sempre presente che quel valore deve essere più che triplicato.
Data la circonferenza il diametro si ricava dividendo la circonferenza per π e il raggio dividendola per 2π.
La lunghezza di un arco di circonferenza dipenda da due fattori: l'angolo al centro che lo determina e la lunghezza del raggio della circonferenza.
Calcolo dell’arco di circonferenza
Considerando che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l'intera circonferenza c ( ) e che un qualsiasi angolo α al centro è una frazione f di 360° anche la lunghezza l dell'arco che gli corrisponde sarà la stessa frazione f di circonferenza, per cui si può scrivere la proporzione seguente
6
5 Dato che non deriva da una radice viene detto numero trascendente
6 è la circonferenza
da cui si ricava che
Si ricavano anche le seguenti formule
7
POLIGONI INSCRITTI O CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA
Poligoni inscritti ad una circonferenza
Un poligono si dice inscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; si dice che la
circonferenza è circoscritta al poligono.
Condizione di inscrivibilità: Un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati s’incontrano in un unico punto, detto circocentro del poligono (ossia il centro della circonferenza da circoscrivere).
In base alla condizione di inscrivibilità sono sicuramente inscrivibili ad una circonferenza:
qualsiasi tipo di triangolo
qualsiasi poligono regolare
qualsiasi quadrilatero in cui la somma degli angoli opposti sia un angolo piatto (di conseguenza, rettangolo, quadrato e trapezio isoscele sono sempre inscrittibili ad una
circonferenza)
7 A c corrisponde
Poligoni circoscritti ad una circonferenza
Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; la circonferenza è inscritta al poligono.
Condizione di circoscrittibilità: un poligono è circoscrittibile in una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli s’incontrano in un unico punto, detto incentro del poligono (ossia il centro della circonferenza inscritta).
In base alla condizione di circoscrittibilità sono circoscrivibili ad una circonferenza:
tutti i triangoli
i poligoni regolari
i quadrilateri in cui la somma delle lunghezze dei lati opposti è la stessa ossia dato un quadrilatero ABCD AB + CD = AD + BC
Poligoni regolari inscritti o circoscritti ad una circonferenza
Un poligono è regolare quando ha i lati e gli angoli congruenti; esso è circoscrivibile in quanto le bisettrici degli angoli interni si incontrano in un unico punto e inscrittibile ad una circonferenza in quanto gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto.
Viene detto apotema il raggio della circonferenza inscritta al poligono regolare che rappresenta la distanza del lato del poligono rispetto al suo centro; quando tracciamo le bisettrici degli angoli interni del poligono regolare questo viene suddiviso in triangoli isosceli congruenti di cui lo apotema rappresenta l'altezza.
Gli apotemi di un poligono regolare sono congruenti.
Perimetro e area di un poligono regolare
Il perimetro di un poligono regolare si calcola moltiplicando la lunghezza l del lato per il numero n di lati.
L’area di un poligono regolare si trova moltiplicando il perimetro del poligono per il suo apotema e dividendo per 2
Quadrato inscritto ad una circonferenza
Quando un quadrato è inscritto ad una circonferenza la sua diagonale è uguale al diametro della circonferenza.
Rapporto tra diametro (diagonale del quadrato) d della circonferenza e lato l
√ √ Relazione inversa
√
√
√
√
√
√
√
Quadrato circoscritto ad una circonferenza
Il lato di un quadrato circoscritto ad una circonferenza (o circonferenza inscritta ad un quadrato) è congruente al diametro della circonferenza Rapporto tra raggio r e lato del quadrato l
Relazione tra diagonale d e raggio r
√
√ √
√
√
√
Triangolo equilatero inscritto ad una circonferenza
Il baricentro di un triangolo divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra; nel caso del triangolo equilatero questo vale anche per le altezze per cui
per cui
Dato che CH è l’altezza del triangolo equilatero e OC il raggio della circonferenza possiamo scrivere
Relazione tra lato l del triangolo equilatero e raggio r8
√
√
√
√ √ √
8 Vedi Appendice sul triangolo equilatero
Triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza
Per il triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza valgono le stesse relazioni viste per triangolo equilatero inscritto per cui dato che OH è il raggio r e CH l’altezzza h abbiamo
Relazione tra lato l del triangolo equilatero e raggio r9
√
Triangolo isoscele inscritto ad una circonferenza Il triangolo ADC è rettangolo perché insiste su una
semicirconferenza: CD è l’ipotenusa, AD e AC sono i cateti e AH l’altezza relativa all’ipotenusa, Per il 1° teorema di Euclide10 possiamo scrivere
AC : CD = CD : CH11
Poiché CD è il diametro d della circonferenza (o il doppio del raggio) e ipotenusa del triangolo ACD, possiamo scrivere che
AC : d = d : CH Da cui
√
Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza12
Se indico con r il raggio della circonferenza inscritta, con l uno dei due lati congruenti del triangolo isoscele, con b la base del triangolo e con h l’altezza si ha
( ) e anche che
( )
9 Vedi Appendice sul triangolo equilatero
10 L’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
11 Altezza del triangolo
12 Vedi dimostrazione in appendice
Esagono regolare inscritto ad una circonferenza
Nell’esagono regolare inscritto ad una circonferenza il lato l di esso è uguale al raggio r .
L’apotema dell’esagono si ottiene applicando al triangolo HBO (il triangolo CBO è equilatero) il teorema di Pitagora da cui si ricava che
√
√
√
Esagono regolare circoscritto ad una circonferenza
Nell’esagono regolare circoscritto ad una circonferenza l’apotema a di esso è uguale al raggio r .
Il lato dell’esagono si ottiene applicando al triangolo HBG (il triangolo CBG è equilatero) il teorema di Pitagora da cui si ricava che
√
√
√
AREA DEL CERCHIO
La formula dell’area del cerchio si trova facendo riferimento a quella dell’area dei poligoni regolari
(
Dove 2p rappresenta il perimetro del poligono e a il suo apotema.
Se immaginiamo di inscrivere ad una circonferenza poligoni regolari con un numero sempre maggiore di lati (6, 8, 12, 32…) osserveremo che il perimetro di questi poligoni si avvicina sempre di più alla
misura della circonferenza del cerchio e gli apotemi tendono a diventare uguali al raggio del cerchio. In questo modo l’area del poligono tende a coincidere con quella del cerchio. Nella formula (1) 2p coincide con la circonferenza e a con il raggio del cerchio per cui l’area del cerchio si calcola
e, viceversa il raggio, data l’area si trova
√
Area del settore circolare
Utilizzando la proporzione data per la misura dell’arco di circonferenza, sostituendo alla misura della circonferenza quella dell’area del cerchio abbiamo
da cui si ricava che
Si ricavano anche le seguenti formule
13 Area del segmento circolare ad una base
Se il segmento circolare è minore di un semicerchio (fig. 1) l’area si ottiene sottraendo a quella del settore circolare ̂ l’area del triangolo isoscele CAD.
Se il segmento circolare è maggiore di un semicerchio (fig. 2) l’area si ottiene addizionando a quella del settore circolare ̌ l’area del triangolo isoscele CAD
13 A Ac corrisponde
Fig. 1 Fig. 2
Area della corona circolare
L’Area della corona circolare si calcola facendo la differenza tra le aree dei due cerchi.
(
APPENDICE
Rapporto tra angolo al centro e angolo alla circonferenza che insistono sullo stesso arco La dimostrazione di questa affermazione si differenzia a seconda se i lati dell'angolo alla circonferenza siano secanti alla circonferenza e il centro di essa si trovi:
a) su uno dei lati dell'angolo alla circonferenza b) all'interno dell'angolo alla circonferenza c) esternamente dell'angolo alla circonferenza
La dimostrazione non riguarda il caso in cui uno dei lati sia tangente alla circonferenza . Caso 1
Dimostrazione
1. Il triangolo AOC è un triangolo isoscele perché i lati OA e OC sono congruenti in quanto raggi della circonferenza.
2. L'angolo ̂ è esterno al triangolo AOC e in un triangolo l'angolo esterno è uguale alla somma delle ampiezze degli angoli interni non adiacenti ad esso per cui
̂ ̂ ̂
3. Ma ̂ e ̂ sono congruenti perchè angoli adiacenti al lato non congruente di un triangolo isoscele per cui possiamo concludere che ̂ ̂
e possiamo concludere che l'ampiezza di un angolo al centro è il doppio di quella del corrispondente angolo alla circonferenza.
Caso 2
Dimostrazione
Tracciamo il diametro AB che divide in due parti gli angoli ̂ e ̂ , formando due triangoli AOC e AOD, entrambi isosceli per le ragioni viste nel Caso 1 e due archi CB e BD sui quali insistono rispettivamente gli angoli ̂ e il suo corrispondente alla circonferenza ̂ e ̂ e il suo corrispondente alla circonferenza ̂
a) l'angolo ̂ è esterno al triangolo AOC e, per quanto visto nel Caso 1, possiamo scrivere
̂ ̂ ̂ ̂
b) lo stesso ragionamento può essere applicato all'angolo ̂
̂ ̂ ̂ ̂
c) ma ̂ ̂ ̂ e sostituendo a ̂ e ̂ il loro valore rispetto ai corrispondenti angoli alla circonferenza otteniamo
̂ ̂ ̂
e, applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione,
̂ ( ̂ ̂ )
d) ma ̂ ̂ ̂ ossia l’angolo alla circonferenza che corrisponde a ̂ , angolo al centro e) per cui possiamo scrivere che
̂ ̂
concludendo che anche in questo caso l'ampiezza di un angolo al centro è il doppio di quella del corrispondente angolo alla circonferenza.
Caso 3
Dimostrazione
Tracciamo il diametro AB in modo che B sia esterno all'arco CD;
otteniamo due archi BC e BD. All’arco BC corrispondono i due angoli ̂ , angolo al centro e ̂ , corrispondente alla circonferenza e il centro della circonferenza si trova sul lato AB comune ai due angoli mentre all’arco BD corrispondono i due angoli ̂ , angolo al centro e ̂ , corrispondente alla circonferenza e il centro della
circonferenza si trova sul lato AB comune ai due angoli.
Facendo riferimento al Caso 1 abbiamo che:
a) ̂ ̂ che insistono sull’arco BC b) ̂ ̂ che insistono sull’arco BD
L’angolo ̂ è la differenza tra l’angolo ̂ e l’angolo ̂ ossia ̂ ̂ ̂
Sostituendo a ̂ e ̂ il loro valore rispetto ai loro corrispondenti angoli alla circonferenza otteniamo ̂ ̂ ̂
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione ̂ ( ̂ ̂ )
̂ ̂ rappresenta l’angolo alla circonferenza ̂ per cui ̂ ̂
Anche in questo caso l'ampiezza dell'angolo al centro è il doppio di quella del corrispondente angolo alla circonferenza.
Triangolo equilatero inscritto o circoscritto ad una circonferenza
Relazione tra altezza e lato e viceversa di un triangolo equilatero Secondo il teorema di Pitagora abbiamo che
√ ( )
da cui si ricava
√ ( ) √ √
√
ossia
( √ Lato in relazione all’altezza del triangolo equilatero
Dalla (1) si ricava che
√ Se moltiplico numeratore e denominatore per √
√
√
√
√
√
√
√
ricavando la formula
( √
Triangolo equilatero inscritto ad una circonferenza OC = r della circonferenza
CH = h del triangolo equilatero ( ma anche mediana14)
O centro della circonferenza (ma anche baricentro del triangolo equilatero) Ricorda che il baricentro di un triangolo divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra; nel caso del triangolo equilatero questo vale anche per le altezze per cui
14 Ricorda che mediane, altezze, bisettrici, assi del triangolo equilatero, coincidono
e
Dato che CH è l’altezza del triangolo equilatero e OC il raggio della circonferenza possiamo scrivere (
Lato del triangolo in relazione al raggio della circonferenza
Ricordando che √ (vedi formula 2) sostituiamo ad h il suo valore rispetto a r.
√ √ √
ossia
( √ da cui si può ricavare che
√
√
√
√
√ √
ossia
( √
Triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza OH = r della circonferenza
CH = h del triangolo equilatero ( ma anche mediana15)
O centro della circonferenza (ma anche baricentro del triangolo equilatero) Ricorda che il baricentro di un triangolo divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra; nel caso del triangolo equilatero questo vale anche per le altezze per cui
In un triangolo circoscritto ad una circonferenza OH rappresenta il raggio della circonferenza inscritta ossia (
15 Ricorda che mediane, altezze, bisettrici, assi del triangolo equilatero, coincidono
Ricordando che √ (vedi formula 2) sostituiamo ad h il suo valore rispetto a r.
⌊ ⌋ ⌈ ⌉ √ √ ( √ Da cui si ricava che
√
√
√
√ √
√
√ ( √
Costruzione di tangenti ad una circonferenza passanti per un punto P con il metodo di Euclide Consideriamo una circonferenza c ed un punto P esterno ad essa.
Tracciamo il segmento OP.
Segniamo il punto D, intersezione di OP con la circonferenza.
Tracciamo la perpendicolare a OP passante per D.
Disegniamo la circonferenza d, centrata in O e passante per P.
Indichiamo con E e F i punti di intersezione della retta passante per D con la circonferenza d.
Tracciamo i segmenti OE e OF
Indichiamo con H e I i punti d’intersezione dei segmenti OE e OF con la circonferenza c.
Tracciamo la retta passante per i punti P e H e quella per i punti P e I; esse rappresentano le rette tangenti alla circonferenza c, passanti per P
Costruzione di tangenti ad una circonferenza passanti per un punto P con il metodo alternativo Consideriamo una circonferenza c ed un punto P esterno ad essa.
Tracciamo il segmento OP.
Segniamo il punto D, punto medio del segmento OP.
Tracciamo la circonferenza d centrata in D e passante per O.
Indichiamo con E e F i punti d’intersezione delle due circonferenze.
Tracciamo la retta passante per i punti P e E e quella per i punti P e F; esse rappresentano le rette tangenti alla circonferenza c, passanti per P
