Il metodo di Fo k per l'atomo d'idrogeno*
Impostazione del al olo
L'equazione di S hrodinger nello spazio degli impulsi si s rive (1)
p 2
2
'(~p) e
2
h Z
d~p 0
j~p ~p 0
j 2
'(~p 0
)=E'(~p): (1)
Poniamo p 2
0
= 2E:
(p 2
+p 2
0
)'(~p)=
h
2
a
0 Z
d~p 0
j~p ~p 0
j 2
'(~p 0
) (2)
dove a
0
=h 2
=(me 2
) e il raggio di Bohr.
Nota: In Fo k.tex 'e un errore nella ostante he moltipli a l'integrale. Non
so se mio o diFo k.
Eseguiamo latrasf. di oordinate
~
= 2p
0
~p
p 2
0 +p
2
0
= p
2
0 p
2
p 2
0 +p
2
: (3)
Proprieta della trasf. (3)
Per prima osa osserviamo he
=1: (4)
La (4) mostra he le sono oordinate (ridondanti) sulla sfera S 3
di raggio 1
in IR 4
, dove si e assunta la onsueta metri aeu lidea. Di onseguenza gli indi i
gre isi alzanoe abbassano ol tensore metri oÆ
. Coord. nonridondantisono
le omponenti di
~
o an he le oord.angolari de nite piu avanti.
E o al une relazioniutili:
p 2
= 1
0
1+
0 p
2
0 p
2
+p 2
0
= 2p
2
0
1+
0
~p = p
0
~
1+
0
(5)
j~p ~p 0
j 2
=
p 2
0
2
(1+
0
)(1+ 0
0 )
(6)
on
2
=(
0
)(
0
): (7)
*La prima versione, di embre 2007, e la tras rizione fedele della versione
originariamanos ritta,presumibilmentedeiprimianni'70. Lapresenteversione
ontiene delle aggiunte espli ative e qual he ambio di notazione.
(1)
W. Fo k,Z. Physik 98(1935), 45.
Lo ja obiano di~p rispetto a e
~p
~
= p
3
0
0 (1+
0 )
3
: (8)
e l'integrale a se ondo membro della (2) diventa
p
0 (1+
0 )
Z
d
~
0
0
0 (1+
0
0 )
2
2
'(~p 0
)
Introdu iamo oord. angolari ,#, ' sulla sfera. Abbiamo
0
= os
1
=sin sin# os'
2
=sin sin#sin'
3
=sin os#
e per l'elemento di volume:
d
~
=
0 d
essendo d l'elemento di angolo solido nella oord. angolari.
Ne segue he la (2) si s rive
'(~p)=
h(1+
0 )
2
2
2
a
0 p
0 Z
d 0
(1+ 0
0 )
2
2
'(~p 0
)
o an he
()=
h
2
2
a
0 p
0 Z
d 0
2
(
0
) (9)
avendo posto
()=
'(~p)
(1+
0 )
2
(non i uriamodella normalizzazione).
La(9)einvarianteperSO(4)eper ioavraautovaloridegeneri. L'invariante
di Casimir
1
2 (
)(
)=
+
(
+2)
haautovalorin 2
1(n=1;2;:::). Prolungandola in modo hesiaarmoni a,
si trova
u t 2
=0;
(
+2)=(n 2
1)
ioe
=n 1 oppure (n+1)
nella sfera. Allorarisulta, medianteopportuna funzione di Green:
()= n
2
2 Z
d 0
2
(
0
)
e onfrontando:
p
0
= k
2
2
n :
Introdu endo oordinate polari , #,', e ponendo
=
nl ( )Y
lm (#;')
si ottiene dall'espressionedi ut 2
u t 2
= 1
r 3
r r
3
r +
1
r 2
sin 2
sin
2
+
1
r 2
sin 2
sin#
#
sin#
#
+
1
r 2
sin 2
sin 2
#
2
' 2
l'equazione di erenziale per
nl :
1 x 2
00
nl
3x 0
nl +
n 2
1
l(l+1)
1 x 2
nl
=0:
Fa endo
nl
= p
1 x 2
Q
nl
1 x 2
Q 00
nl
(2l+3)xQ 0
nl +
n 2
(l+1) 2
Q
nl
=0
he e soddisfatta da
Q
nl
= d
l
dx l
U
n 1 (x)
dove U
n
e il polinomio di Chebys hev di 2 Æ
tipo.
Per io
nl
( )=A 1=2
nl sin
l
U (l)
n 1
( os )=A 1=2
nl sin
l
d
l
d os l
sinn
sin :
La ostanteA
nl
dipendedallanormalizzazione. Sesivuole R
djj 2
=1sitrova
A
nl
=
2 (n
2
1)(n 2
l 2
) se l>0; A
n0
=
2 :
