Integrali curvilinei

30 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Integrali curvilinei

Forme differenziali lineari

1. Calcolare gli integrali curvilinei a) I =

γxy dx, b) I =

γy² dx, c) I =

γ(x + y) dy, essendoγ il quarto di circonferenza y =√

r²− x² (0
x
r) percorso in senso orario.

[a)^r₃³; b)²₃r³; c) −^r₂²(^π₂ + 1)]

2. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ(x²+y²) ds,

essendoγ la circonferenza x = r cos t, y = r sin t, 0
t
2π, percorsa in senso antiorario.

[_2πr³]

3. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ(x²− 2xy) dx + (y²− 2xy) dy,

essendoγ l’arco di parabola y = x², −1
x
1.

[₋¹⁴₁₅]

4. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ

dx + dy

|x| + |y|

essendoγ la frontiera del quadrato di vertici V1(1, 0), V2(0, 1), V3(−1, 0), V4(0, −1).

[0]

5. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ(2r − y) dx + x dy, essendoγ l’arco di cicloide

x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), 0
t
2π, percorso in senso orario.

[−2πr²]

6. Calcolare l’integrale curvilineo I = γ

(x + y) dx − (x − y) dy x²+y² , essendoγ la circonferenza x²+y²=a² percorsa in senso antiorario.

[−2π]

1

7. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ(x²+y²− z) ds, essendoγ l’arco di elica circolare

x = r cos t, y = r sin t, z = ht (0
t
π).

[π(r²−^hπ₂ )√ r²+ h²] 8. Calcolare l’integrale curvilineo

I = γ(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,

essendo γ il quarto di circonferenza, intersezione della superficie sferica S : x² +y²+z² = 1 con il pianoα : y =√

3x, contenuto nel primo ottante e descritto a partire dal punto P (0, 0, 1).

[^√3−1₄ π] 9. Calcolare gli integrali curvilinei delle forme differenziali

a) x dx + y dy, b) (2xy + 2x − 3) dx + (x²+ 2y) dy,

estesi al quarto γ di ellisse x²/4 + y² = 1 contenuto nel primo quadrante, percorso in senso

antiorario. [a) − 3/2; b) 3]

10. Calcolare gli integrali curvilinei delle forme differenziali a) (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz,

b) (x − yz) dx + (y − xz) dy − xy dz

estesi al segmentoγ congiungente i punti P (0, 0, 0), P^(2, 3, 1). [a)11; b) 1/2]

11. Integrare le forme differenziali lineari a) xy dx + 1

2x² dy + dz, b) x²y dx +x³

3 dy,

c) x

y dx − x²

2y² dy + dz (y = 0).

[a)¹₂x²y + z + C; b)¹₃x³y + C; c)^x_2y²+ z + C] 12. Calcolare l’integrale doppio

D

(x − y) dx dy, doveD `e il dominio limitato dall’asse x e dall’arco di cicloide

x = t − sin t, y = 1 − cos t (0
t
2π)

[_{π(3π −}⁵₂₎] 13. Calcolare l’integrale doppio

D

x√y dx dy,

doveD `e il dominio limitato dagli assi coordinati e dall’arco di curva (asteroide) x = cos³t, y = sin³t

0
t
π 2



[₄₆₄₁¹²⁸]

2