CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI

IN R

E R

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Curve e loro Curve e loro lunghezza

lunghezza

 Integrali curvilinei. Integrali curvilinei.

CURVE E LORO CURVE E LORO

LUNGHEZZA

LUNGHEZZA

Abbiamo già accennato alla nozione Abbiamo già accennato alla nozione di di curvacurva o arco di curva continua. o arco di curva continua.

Saremo ora un po’ più completi.

Saremo ora un po’ più completi.

Un’applicazione

Un’applicazione f: If: I  RR^mm , dove , dove II è è un intervallo di

un intervallo di RR e e m = 2 o 3m = 2 o 3, si dice , si dice una curva continua se

una curva continua se ff è continua. è continua.

Diremo che la curva è

Diremo che la curva è regolareregolare se se la funzione

la funzione ff è derivabile su è derivabile su II e se la e se la norma del vettore derivata non è

norma del vettore derivata non è nulla in alcun punto di

nulla in alcun punto di II..

D’ora in avanti useremo la lettera D’ora in avanti useremo la lettera 

per indicare una curva. Dunque, per indicare una curva. Dunque, 

è una curva regolare se

è una curva regolare se (t)(t) è è continua e

continua e ||’(t)| > 0’(t)| > 0 per ogni per ogni t t  I I..

(I)(I) si dice il si dice il sostegnosostegno della curva. della curva.

Dunque la nozione di curva o Dunque la nozione di curva o

cammino

cammino è una nozione non solo è una nozione non solo

geometrica, ma anche cinematica.

geometrica, ma anche cinematica.

Cioè teniamo conto della legge oraria Cioè teniamo conto della legge oraria

con la quale si percorre un certo con la quale si percorre un certo

cammino.

cammino.

Due curve o cammini possono Due curve o cammini possono

avere lo stesso sostegno, ma essere avere lo stesso sostegno, ma essere

diverse:

diverse:

₁₁(t)(t) = (cos t, sen t)= (cos t, sen t)^TT, t , t  I = [0,2π] I = [0,2π]

ee

₂₂(t)(t) = (cos2t, sen2t)= (cos2t, sen2t)^TT, t , t  I = [0,2π] I = [0,2π]

hanno lo stesso sostegno, la hanno lo stesso sostegno, la

circonferenza di centro l’origine e circonferenza di centro l’origine e

raggio

raggio 11, ma la seconda è percorsa, ma la seconda è percorsa due volte (a velocità doppia) nello due volte (a velocità doppia) nello

stesso tempo.

stesso tempo.

Una curva si dice

Una curva si dice chiusachiusa se, detto se, detto I = [a,b]

I = [a,b], , (a)(a) = =  (b)(b);; è detta è detta semplice

semplice se da se da tt₁₁≠ t≠ t₂₂ segue segue

(t(t₁₁)) ≠ ≠  (t(t₂₂) ) a meno chea meno che t t_{1 1} e e tt₂₂ non non siano

siano a a e e bb. La restrizione di una. La restrizione di una curva ad un sottointervallo

curva ad un sottointervallo JJ di di II si si dice un

dice un arcoarco di curva. Due archi sono di curva. Due archi sono consecutivi

consecutivi se sono esprimibili come se sono esprimibili come due archi di curva definiti su intervalli due archi di curva definiti su intervalli

con un estremo in comune.

con un estremo in comune.

₁₁ e e ₂₂ sono consecutivi se sono consecutivi se ₁₁ è definito è definito

su su [a,c][a,c] e e ₂₂ su su [c,b][c,b] (o si possono (o si possono riparametrizzare in modo che ciò riparametrizzare in modo che ciò

accada) e

accada) e ₁₁(c) = (c) = ₂₂(c)(c)..

₁₁

₂₂

₁₁(c)(c) = = ₂₂(c)(c)

₁₁(a)(a)

₂₂(b)(b)

Una curva è

Una curva è generalmente regolaregeneralmente regolare se esiste una decomposizione di

se esiste una decomposizione di II in un numero finito di punti

in un numero finito di punti

tt₀₀ = a < t = a < t₁₁ < .. < t < .. < t_nn = b = b tale che latale che la restrizione a ogni sottointervallo restrizione a ogni sottointervallo [t[t_k-1k-1, t, t_kk]] è regolare. è regolare.

Diremo che due curve

Diremo che due curve ₁₁(t)(t) e e ₂₂(t)(t) definite sugli intervalli

definite sugli intervalli II₁₁ e e II₂₂ rispettivamente, sono

rispettivamente, sono equivalentiequivalenti se esiste un’applicazione

se esiste un’applicazione h:h: II₁₁  II₂₂ tale che: (1)

tale che: (1) h(Ih(I₁₁) =) = II_{2 2} ; (2) ; (2) h h è diè di

classe

classe C¹(I) e h’(t) > 0; (3) h’(t) > 0 ₁₁= = _{2 2}  h h.. Due curve equivalenti si dice che Due curve equivalenti si dice che

differiscono per la

differiscono per la rappresentazione rappresentazione parametrica

parametrica. Ogni intervallo ha due. Ogni intervallo ha due versi naturali d’orientazione e così versi naturali d’orientazione e così

ogni curva. Se

ogni curva. Se  : [a,b] : [a,b]  RR^{m m} è una è una curva assegnata

curva assegnata -- : [-b,-a] : [-b,-a]  RR^{m m} èè la curva orientata in

la curva orientata in verso oppostoverso opposto.. Fra i vari tipi di curve considereremo, Fra i vari tipi di curve considereremo,

in particolare, i segmenti di retta in particolare, i segmenti di retta

congiungenti

congiungenti due punti due punti xx e e yy di di RR^mm..

(t)(t) = (x= (x₁₁ + (y + (y₁₁ - x - x₁₁)t, x)t, x₂₂ + (y + (y₂₂ - x - x₂₂)t))t)^TT, , t t  I = [0,1] I = [0,1],, sese m = 2 m = 2..

Diciamo ora che cosa intendiamo per Diciamo ora che cosa intendiamo per

lunghezza

lunghezza di una curva. di una curva.

Data

Data  : [a,b] : [a,b]  RR^{m m} , consideriamo la, consideriamo la decomposizione

decomposizione  = {t = {t₀₀ = a < t = a < t₁₁ < .. < ..

< t

< t_nn = b} = b} di di [a,b][a,b]. Consideriamo la. Consideriamo la poligonale P

poligonale P data dall’unione dei data dall’unione dei segmenti di retta congiungenti i segmenti di retta congiungenti i

punti

punti (t(t₀₀) = ) = (a) (a) ee (t(t₁₁)); ; (t(t₁₁)) e e (t(t₂₂));;

… … ; ; (t(t_n-1n-1)) e e (t(t_nn) = ) = (b)(b). .

La lunghezza della poligonale P è La lunghezza della poligonale P è

data da data da

n

l(P)   ^(t

)   ^(t

⁾



Nel caso

Nel caso m = 3m = 3, osserviamo che, osserviamo che

|  ^(tk)   ^(tk1) |

i1

3 ^(xi(tk_{)  x}^i(tk1))²

Diremo

Diremo lunghezza della curvalunghezza della curva  l’l’

estremo superiore delle lunghezze estremo superiore delle lunghezze

delle poligonali inscritte alla curva delle poligonali inscritte alla curva

stessa se tale estremo è finito. In stessa se tale estremo è finito. In

tale caso la curva si dice

tale caso la curva si dice rettificabilerettificabile

l( )  sup{l(P) : P dedotta da ^}

0 100

80

60

40

20

0

0

6 8 2 4

-2 0 -4

0

6 4

2 0

-2 -4

-6 -8

La figura precedente rappresenta una La figura precedente rappresenta una

curva di

curva di RR³³ e una poligonale ad essa e una poligonale ad essa inscritta.

inscritta.

Può accadere che sia

Può accadere che sia l(l( )= +∞ )= +∞ anche anche per curve aventi sostegno limitato

per curve aventi sostegno limitato in in RR³³..

Se Se y(t) =y(t) = 00 se se t = 0t = 0,,

ttsen(1/t)sen(1/t) se se t≠ 0t≠ 0 Allora

Allora (t)=(t,y(t))(t)=(t,y(t))^TT è un esempioè un esempio in cui

in cui l(l( )= +∞ )= +∞..

Il seno del topologo Il seno del topologo

x

0.5 0.4

0.3 0.2

0 0.1 0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

Si può dimostrare che se

Si può dimostrare che se  = = ₁₁ + + ₂₂ ossia se l’arco

ossia se l’arco  è ottenuto dall’unione è ottenuto dall’unione degli archi consecutivi

degli archi consecutivi ₁₁ e e ₂₂ , allora , allora l(l() = l() = l(₁₁) + l() + l(₂₂)). Inoltre la . Inoltre la

lunghezza

lunghezza nonnon dipende dalla dipende dalla rappresentazione parametrica.

rappresentazione parametrica.

Per trattare in modo preciso il Per trattare in modo preciso il

problema

problema della lunghezza delle curvedella lunghezza delle curve e, in generale, l’integrale di funzioni e, in generale, l’integrale di funzioni

a valori vettoriali,

a valori vettoriali, conviene ricordareconviene ricordare che l’integrale di Riemann si può

che l’integrale di Riemann si può

presentare come limite di somme presentare come limite di somme

(essendo la nozione di limite intesa in (essendo la nozione di limite intesa in

modo opportuno). Precisamente, modo opportuno). Precisamente,

accanto alla somme integrali inferiori accanto alla somme integrali inferiori

e superiori si possono considerare le e superiori si possono considerare le

somme che diremo di Riemann somme che diremo di Riemann

f

m( I

)



, l

 f

 L

Si può dimostrare che

Si può dimostrare che f: If: I  RR è R-è R- integrabile se e solo se

integrabile se e solo se   , ,    tale che se

tale che se diam( diam() < ) <  alloraallora

| fdm 

 

^f

^m(I

_{) |} 

Questo fatto si esprime dicendo che Questo fatto si esprime dicendo che

lim

diam( ) 0

f

m(I

)  fdm





Vale un risultato più generale, che Vale un risultato più generale, che

ci sarà utile nel calcolo della ci sarà utile nel calcolo della

lunghezza degli archi di curva lunghezza degli archi di curva

generalmente regolari generalmente regolari

Supponiamo che, in corrispondenza Supponiamo che, in corrispondenza

ad ogni multi indice

ad ogni multi indice  sia dato un sia dato un numero

numero _in modo da essere in modo da essere uniformemente limitato:

uniformemente limitato:

  , ,    tale che setale che se diam( diam() < ) <  allora

allora ||_||_< <  . Allora si ha . Allora si ha

lim

diam( ) 0

(f

 

)m( I

)  fdm





““Principio di Duhamel”Principio di Duhamel”

Teorema

(Rettificazione delle curve regolari)

l(  _{)  | }

 ^{(t) | dt}

b



Se Se  : [a,b] : [a,b]  RR^{m m} è regolare, alloraè regolare, allora

Infatti ogni singolo lato della poligonale misura

|  ^(tk)   ^(tk1) |

i1

3 ^(xi(tk_{)  x}^i(tk1))²

 [  x

i 1



^{( }

^)]

^(t

_{ t}

⁾

 [  x

i 1



^(t

^)]

⁺



^(t

^{ t}

⁾

( )

Ciò vale per l’uniforme continuità di x_k’(t) su [a,b], avendo tenuto conto del teorema di Lagrange su ogni

intervallo [t_k-1,t_k].

Allora, per il principio di Duhamel:

l( )  limdiam( ) 0 ( x _i(t_ik)²

i1

3 ^ ^{ik )(tk} 

k 1 n

 ^{tk1) }

|  

a

b

 ^{(t) | dt}



Una formula analoga vale per le curve generalmente regolari

Esempi

1) Lunghezza dell’arco di circonferenza: x = r cos t, y = r sen t ;

s() = ∫√(x’² + y’²) du = r , 0≤  ≤ 2π

0



2) Lunghezza dell’arco di elica cilindrica: x = r cos t,

y = r sen t, z = p t;

s(t)  ( x ²(u)  y ²(u)  z ²(u)

0

t _{du }

(r

 p

)

0

t

 _{dt  r}

_{ p}

^t

Se la curva è data in forma cartesiana y = f(x), con f e f’

continue

s(x) = ∫√(1 + f’²(t))dt

a x

La lunghezza d’arco è un

parametro molto conveniente per la rappresentazione delle curve

Infatti

ds

dt  x 

(t)   y

(t)   z

(t)

e quindi, poiché

dx

ds 

dx dt 

dt

ds , dy ds 

dy dt 

dt

ds , dz ds 

dz dt 

dt ds

x 

(s)   y

(s)   z

(s)  1

Cioè ’(s) è il versore tangente alla ’(s) curva nel punto di coordinata

lunghezza d’arco s.

INTEGRALI INTEGRALI CURVILINEI.

CURVILINEI.

Se Se  : I = [a,b] : I = [a,b]  RR^{m m} è una curva è una curva regolare,

regolare, f: A f: A  RR^mm  RR è una è una

funzione continua definita su un funzione continua definita su un

aperto

aperto AA che contiene il sostegno che contiene il sostegno della curva e

della curva e w(t): I w(t): I  RR è una è una funzione di classe

funzione di classe C¹(I), definiremodefiniremo

fdw  f (x(t), y(t), z(t)) w (t)dt

a b



fdw



si dice l’integrale curvilineo esteso si dice l’integrale curvilineo esteso

alla curva

alla curva  di di ff rispetto al peso rispetto al peso ww.. In particolare

In particolare

fds  f (x(t), y(t), z(t)) | _a  ^{(t) | dt}

b



fdx  f (x(t), y(t), z(t)) x (t)dt

a b



ed espressioni simili in

ed espressioni simili in dydy e e dzdz

Si definiranno anche Si definiranno anche

(f¹dx 

 f₂dy  f3dz)  f_ 1dx  ^f_{2dy  f3}^dz



 ee

dove

dove f = (ff = (f₁₁,f,f₂₂,f,f₃₃))^TT

f , d   f (

 (t )),   ^(t)

b





 ^dt

f , d   f (

 (t )),   ^(t)

b





 ^dt

L’integrale di linea L’integrale di linea

permette di calcolare il lavoro permette di calcolare il lavoro

di una forza

di una forza ff, lungo un cammino , lungo un cammino  Invece l’integrale

Invece l’integrale

fds  f (x(t), y(t), z(t)) | _a  ^{(t) | dt}

b



permette di calcolare l’area del permette di calcolare l’area del

cilindro delimitato dalla curva cilindro delimitato dalla curva 

sul piano

sul piano x yx y e dalla superficie e dalla superficie z = f(x,y)

z = f(x,y)

z = f(x,y) z = f(x,y)



Si verifica facilmente che l’integrale Si verifica facilmente che l’integrale

curvilineo è

curvilineo è linearelineare rispetto alla rispetto alla funzione

funzione ff e al e al pesopeso ww; che ; che cambia cambia segno

segno invertendo il invertendo il versoverso del del cammino

cammino e che è e che è additivoadditivo su su archi archi consecutivi

consecutivi Esempi

Esempi

1) Si calcoli l’area del cilindro 1) Si calcoli l’area del cilindro

delimitato da

delimitato da f(x,y) = yf(x,y) = y²² e dalla e dalla semicirconferenza

semicirconferenza x = cos tx = cos t, , y = sen t

y = sen t, , π ≤ t ≤ 2π (π/2)π ≤ t ≤ 2π (π/2)

2) Si calcoli il lavoro 2) Si calcoli il lavoro

f , d   f (

 (t )),   ^(t)

b





 ^dt

dove

dove f(x,y) = (x exp(y) +log x,f(x,y) = (x exp(y) +log x, arctg y + x

arctg y + x²²/2 exp(y) )/2 exp(y) )^{T T} per per x > 0x > 0 e e (t) = (2 + sen t, t)(t) = (2 + sen t, t)^{T T} per per 00 ≤≤

t ≤ 2π (0) t ≤ 2π (0)