Programma del corso di Modelli Probabilistici (Corso di Laurea Magistrale in Informatica, A.A. 2010/2011) Titolare del corso: Massimo Campanino
Il programma del corso `e reperibile anche in rete sul sito del corso di lau- rea. Segue l’elenco dettagliato degli argomenti svolti a lezione con relativo riferimento ai libri
• Introduction to Probability Models di S. Ross. Academic Press (SR)
• An Introduction to Probability Theory and its Applications. I Volume di W. Feller. Wiley (WF).
Argomenti trattati:
1. Richiami di teoria: Additivit`a numerabile e legge forte dei grandi nu- meri per successioni di eventi indipendenti. Funzione generatrice: pro- priet`a ed esempi.
(appunti del Professore o SR, cap. 1 e 2)
2. Passeggiata aleatoria simmetrica unidimensionale: Probabilit`a di ri- torno in 0 e di primo ritorno in 0. Principio di riflessione e sue appli- cazioni. Teorema del ballottaggio. Legge arcoseno discreta.
(WF, cap.III, sez. 1,2,3,4).
3. Rovina del giocatore: Probabilit`a di perdita e vincita.
(WF, cap. XIV, sez. 1,2,3 o SR, cap. 4.5)
4. Processo di diramazione di Galton-Watson: probabilit`a di estinzione;
media e varianza del numero di individui in ciascuna generazione.
(WF, cap. XII, sez.1,2,3,4)
5. Catene di Markov : Propriet`a di Markov. Classi di equivalenza. Ir- riducibilit`a e periodicit`a. Stati transienti e stati ricorrenti. Dis- tribuzioni stazionarie e teorema ergodico. Teorema di rinnovamento (solo l’enunciato). Modello di Eherenfest e modello di Bernoulli- Laplace (WF, cap. XV).
(SR, da cap. 4.1 a 4.7, o WF cap. XV)
6. Processo di Poisson: Distribuzione esponenziale e sue propriet`a prin- cipali. Processi di conteggio. Due definizioni equivalenti di processo di Poisson. Processi di Poisson non-omogenei. Processi di pura nascita.
Processi di nascita e morte.
(SR, cap. 5.2, 5.3, 5.4, e 6.3)
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7. Catene di Markov a tempo continuo: Propriet`a di Markov. Equazioni di Kolmogorov in avanti e indietro. Equazioni di bilancio dettagliato e distribuzione stazionaria.
(SR, cap. 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5)
8. Teoria delle code: Definizione delle code M/M/1, M/M/∞, M/M/N, M/M/1/N . Esistenza e calcolo della ditribuzione invariante per tali code. Formule di Little.
(SR, cap. 8.1, 8.2, 8.3).
9. Processi di rinnovamento: processi di rinnovamento con e senza ri- compensa. Processo di rinnovamento alternato. Comportamento as- intotico. Coda M/G/1 e calcolo del tempo medio durante il quale lo sportello `e libero.
(SR, cap 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5.1 e 8.5)
10. Processi semi-Markoviani e calcolo della permanenza media negli stati (SR, cap. 7.6); reti di code aperte (SR, cap. 8.4.1); reti di code chiuse (SR, cap. 8.4.2).
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