+1 → Trasformazioni di Lorentz proprie y Se det[Λ

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 15

17.11.2020

Struttura del gruppo di Lorentz

Trasformazione dei covarianti bilineari θ−τ puzzle e violazione della parità

La vita media

y Infine possiamo calcolare la vita media

y Assumendo assenti i termini di interferenza ( κ = 0 ) abbiamo ( Fermi )

y Abbiamo inoltre visto che è presente solo il termine vettoriale (C_S = 0)

y Analogamente nelle transizioni di Gamov-Teller è presente solo il termine assiale (C_T = 0) e pertanto risulta

y In un decadimento in cui sono presenti entrambi i termini abbiamo

y Conviene riscrivere l’ultima equazione come

La vita media

y La larghezza totale è data pertanto dall’integrale

y Notiamo le dimensioni dell’integrale

y In realtà per misure di precisione occorre tenere conto di effetti che per semplicità finora abbiamo trascurato y Elemento di matrice nucleare

y Effetti del campo coulombiano y Nell’elemento di matrice nucleare

abbiamo assunto (semplificando)

y Per tenere conto degli elementi di matrice nucleari si definisce (e si calcola)

y Ovviamente con la sola misura di Γ non è possibile separare G e C_V y Ritorneremo in seguito sul rapporto C_A/C_V

La vita media

y Per tenere conto dell’effetto del campo coulombiano che modifica le funzioni d’onda dell’elettrone (abbiamo usato le funzioni d’onda di particelle libere) si introduce la funzione di Fermi F(Z,E_e)

y La funzione F(Z,E_e) moltiplica l’integrando y Si definisce

y Abbiamo in definitiva

y Sperimentalmente si studia

y Misurando la vita media di un decadimento di un nucleo e calcolato il valore di ξ per quel nucleo si ottiene G_β

y Il valore di G_β misurato e mediato su tanti decadimenti è

Il gruppo di Lorentz

y La richiesta che le leggi fisiche siano le stesse in tutti i sistemi inerziali implica che le grandezze fisiche abbiano ben precise leggi di trasformazione rispetto alle trasformazioni di Lorentz

y In particolare i 4-vettori

y Ad esempio il 4-vettore energia-impulso p^μ

y I 4-vettori hanno un modulo invariante per trasformazioni m² = g_μνp^μp^ν

y Matematicamente le trasformazioni di Lorentz possono essere definite come le trasformazioni che lasciano invariata la forma quadratica g_μνx^μy^ν

y Abbiamo visto che la condizione necessaria e sufficiente perchè ciò accada è che la matrice Λ che rappresenta la trasformazione abbia la proprietà

y Può essere scritta in modo equivalente come Λ_μ^αΛ^μ_β = δ_β^α

y Questo significa anche la matrice inversa Λ⁻¹ è data da (Λ⁻¹)_μ^ν = Λ^ν_μ y Si tratta di una trasposizione e di cambi di segno (elementi Λ⁰_i e Λⁱ₀) y Le matrici Λ che soddisfano le condizioni enunciate formano un gruppo

Il Gruppo di Lorentz

Il gruppo di Lorentz

y Ricordiamo le proprietà di un gruppo

y Chiusura: se Λ₁ e Λ₂ appartengono al gruppo anche Λ₁ Λ₂ appartiene ad esso

y Associatività: Λ₁ Λ₁ Λ₃ = (Λ₁ Λ₂) Λ₃ = Λ₁(Λ₂ Λ₃) y Il prodotto di matrici è associativo

y Identità: la matrice identità appartiene al gruppo

y La matrice I appartiene evidentemente al gruppo: I^TGI = G

y Inversa:ogni elemento Λ ha un’inverso Λ⁻¹ appartenente al gruppo e Λ⁻¹ Λ=I y Abbiamo visto che Λ^TGΛ = G mostra come scrivere l’inversa (Λ⁻¹)_μ^ν = Λ^ν_μ y Più formalmente

y Dimostriamo che Λ ha determinante non nullo y Quindi Λ ha un’inversa Λ⁻¹

y Dimostriamo che Λ⁻¹ appartiene al gruppo

Il gruppo di Lorentz

y Il gruppo definito in modo astratto nella diapositiva precedente contiene molto di più che le semplici trasformazioni di Lorentz (boost)

y Ovviamente contiene le rotazioni

y Contiene gli operatori di inversione temporale T e inversione spaziale P

y Gli operatori T e P sono di natura diversa rispetto alle trasformazioni di Lorentz fin qui studiate

y Non si possono costruire a partire dall’identità come somma di operazioni infinitesime

y Non possono essere “connesse” con continuità all’identità y Sono trasformazioni discrete

y Una qualsiasi trasformazione del gruppo di Lorentz può essere costruita combinando

y Boost, Rotazioni, Inversioni T, Inversioni P

Classificazione del gruppo di Lorentz

y Esaminiamo in maggiore dettaglio la struttura del gruppo di Lorentz

y Una prima classificazione viene fatta sulla base del segno del determinante y Abbiamo visto che

y Si definiscono i due seguenti tipi di trasformazioni y Se det[Λ] = +1 → Trasformazioni di Lorentz proprie y Se det[Λ] = −1 → Trasformazioni di Lorentz improprie

y Notiamo che il prodotto di due trasformazioni proprie è ancora una trasformazione propria

y Questa proprietà non vale per le trasformazioni improprie

y La seconda classificazione viene fatta sulla base del segno dell’elemento Λ⁰₀ y Specializziamo la relazione Λ^TGΛ = G all’indice 00 di G

y Si definiscono i due seguenti tipi di trasformazioni

y Se Λ⁰₀ ≥ +1 → Trasformazioni di Lorentz ortocrone

y Se Λ⁰₀ ≤ 1 → Trasformazioni di Lorentz non-ortocrone

Classificazione del gruppo di Lorentz

y Le trasformazioni del gruppo di Lorentz sono pertanto classificate y Per il segno del determinante

y Per il segno del termine Λ⁰₀ y Nella tabella

y Λ^(po) → trasformazione propria e ortocrona

y Le trasformazioni delle altre classi si ottengono combinando Λ^(po), T e P È facile verificare che

y I è propria e ortocrona y P è impropria e ortocrona y T è impropria e non ortocrona

y Le trasformazioni Λ^(po) sono un sottogruppo y Le trasformazioni proprie sono un sottogruppo y Le trasformazioni ortocrone sono un sottogruppo

y L’insieme delle trasformazioni proprie ortocrone e delle

trasformazioni improprie e non-ortocrone sono un sottogruppo y NB: I boost non sono un sottogruppo

y Due boost in direzioni diverse sono equivalenti ad un boost più una rotazione Generatori …

Inversione degli spinori

y In precedenza abbiamo visto come costruire le trasformazioni di Lorentz per uno spinore

y Erano trasformazioni associate a trasformazioni proprie e ortocrone

y Costruite come somma di trasformazioni infinitesime a partire dall’identità y Ricordiamo la condizione di invarianza della equazione di Dirac

y La trasformazione S(Λ) e le matrici γ avevano la seguente proprietà

y Vogliamo adesso trovare la trasformazione S_P { S(P) che corrisponde all’inversione spaziale P

y Scriviamo per esteso le condizioni sulle matrici γ per l’invarianza

y L'operatore S_P si trova facilmente definendo

y Infine richiediamo

scegliamo

Trasformazione dei covarianti bilineari

y Nel calcolo dell’elemento di matrice dell’interazione di Fermi generalizzata abbiamo trovato le seguenti quantità (bilineari covarianti)

y Per ogni matrice Γ la quantità f è un numero y Le matrici Γ_X possono avere indici

y Ad esempio γ^μ, nel qual caso anche f ha gli stessi indici

y Le matrici Γ_i sono combinazioni di matrici γ che inducono ben precise proprietà di trasformazione di Lorentz per le quantità f

y Γ_S = 1 Scalare

y Γ_V = γ^μ Vettore

y Γ_A = γ⁵γ^μ Vettore Assiale y Γ_T = σ^μν = i/2 [γ^μ,γ^ν] Tensore

y Γ_P = γ⁵ Pseudoscalare

y Verifichiamo adesso le proprietà di trasformazione delle grandezze f y Per trasformazioni di Lorentz proprie e ortocrone S(Λ)

y Per inversione spaziale S_P

Trasformazione dei covarianti bilineari

y Matrice scalare Γ_S = I

y Trasformazione di Lorentz y Inversione spaziale

y Matrice vettoriale Γ_V = γ^μ y Trasformazione di Lorentz y Inversione spaziale

y Matrice vettoriale assiale Γ_A = γ⁵γ^μ y Trasformazione di Lorentz

y Inversione spaziale

}

attenzione Vettore polare

Vettore assiale

Trasformazione dei covarianti bilineari

y Matrice tensoriale Γ_T = γ^μγ^ν , μ ≠ ν y Trasformazione di Lorentz

y Inversione spaziale

y Se i,j =1,2,3

y Se μ = 0, i = 1,2,3

y Matrice pseudoscalare Γ_P = γ⁵ y Trasformazione di Lorentz y Inversione spaziale

Analogamente per γ^jγ⁰

Inversione spaziale

y Vediamo adesso come si formalizza l’effetto dell’inversione spaziale nella teoria quantistica dei campi

y Lo stato di un sistema descritto da un vettore dello spazio di Fock y Ad esempio, una particella libera

y Le classificazione delle particelle è fatta in base alle proprietà di trasformazione delle loro funzioni d'onda quando soggette a rotazioni y Scalari o pseudoscalari spin 0

y Spinori spin ½

y Vettori o pseudovettori spin 1

y Tensori spin 2

y Nella Teoria Quantistica dei Campi queste proprietà si riflettono sulle proprietà di trasformazione degli operatori di creazione

y Facciamo solo l’esempio delle particelle di spin 0 y Possiamo avere due comportamenti

y Scalare |p> o +|−p>

y Pseudoscalare |p> o −|−p>

Inversione spaziale

y Con notazione unificata

y P è l’operatore di inversione e ξ_P è la parità intrinseca della particella y Deduciamo adesso l’effetto dell’operatore P sugli operatori a e a^† a partire

dalle proprietà di trasformazione di uno stato di una particella

y Assumiamo

y Otteniamo pertanto

y Confrontando con la definizione di P

y Dal confronto concludiamo

y Inoltre, considerando l’aggiunto hermitiano di questa equazione (assumiamo ξ^∗ = ξ)

y Utilizzando queste relazioni si dimostra facilmente che

Inversione del campo scalare

y Calcoliamo adesso il risultato dell’operatore di inversione sul campo scalare reale

y Cambiamo la variabile di integrazione k o k

Il “θ − τ puzzle”

y Nel periodo iniziale delle scoperte delle particelle strane succedeva che modi di decadimento diversi venissero confusi per particelle diverse

y Tuttavia, con l’aumento della precisione sulla misura delle masse si comprese di cosa si trattava

y Per qualche tempo rimase un paradosso: il “θ−τ puzzle”

y Due particelle (oggi si sa che è la stessa particella K⁺):

y Stessa massa

y Stessa vita media

y Differenti parità intrinseche

y Consideriamo infatti la particella θ (di spin S ) y Nello stato finale due particelle di spin 0 y Parità dello stato finale ξ_π ξ_π^l = ^l

y Poichè S = l la particella θ può avere solo spin-parità: ξθ ^S

Il “θ − τ puzzle”

y Consideriamo ora la particella τ che decade in 3 pioni

y Chiamiamo l il momento angolare orbitale dei due pioni positivi y Chiamiamo L il momento angolare orbitale del pione negativo

rispetto agli altri due

y Se lo spin della particella τ fosse S = 0 allora

y Quindi se θ e τ avessero spin S = 0 avrebbero parità differente ( ξ_θ = (−1)^S )

π^

π^ π^

l L

Il “θ − τ puzzle”

y Per altri valori dello spin non è detto che L = l

y Selezioniamo 2 configurazioni cinematiche che assicurino che L e l abbiano valori ben definiti anche se lo spin S non è nullo

y Sulla base di queste osservazioni Dalitz concluse che

y Se la particella τ decade in queste regioni cinematiche allora la sua parità è differente da quella della particella θ

y Occorre misurare l’elemento di matrice y Dalitz Plot

y π⁻ ha la massima energia

y π^π^ relativamente a riposo y l o S L

y π⁻ ha la minima energia (E_π= 0)

y π^ a riposo rispetto a π^π^ y L o S l

π^

π^ π^

π^

π^ π^

Il Dalitz Plot

y Abbiamo già studiato la cinematica del decadimento a 3 corpi

y Abbiamo visto che lo spazio delle fasi espresso in funzione delle energie di due particelle è popolato uniformemente

y Pertanto

y Si misurano le energie dei prodotti di decadimento

y Si studia la distribuzione di questi decadimenti nel piano E₁ – E₂ y La distribuzione è una misura dell’elemento di matrice

s₂₃ s₁₂

Dalitz Plot

y Spesso il Dalitz Plot viene rappresentato all’interno di un triangolo equilatero y Un evento è rappresentato da un punto all’interno

del triangolo

y La distanza dai lati è proporzionale all’energia cinetica y Si utilizza la proprietà dei triangoli

equilateri per esprimere la conservazione dell’energiaT₁ T₂ T₃ Q

y In un’approssimazione non relativistica la regione fisica è interna alla circonferenza y Inoltre dobbiamo avere simmetria fra π₁ e π₂ y Il ragionamento di Dalitz era:

y Se il decadimento della particella τ popola le regioni cinematiche allora la sua parità è differente da quella della particella θ

y L’osservazione sperimentale mostra che le regioni sono popolate

y Pertanto:

y O sono particelle diverse y O la parità non è conservata

Esperimenti allo Specchio

y Le leggi della fisica classica possiedono una proprietà di invarianza a prima vista ovvia y Consideriamo un esperimento possibile

y Ad esempio il moto di un oggetto sotto l’effetto del campo gravitazionale

y Ciò che si ottiene osservando l’esperimento allo specchio è anch’esso un esperimento possibile e realizzabile

y In tutti e due gli esperimenti la forza di gravità si calcola allo stesso modo:

y È diretta verso il centro della terra o, approssimativamente, verso il basso

y Il moto di una massa sotto l’effetto del campo gravitazionale è invariante per riflessioni

spaziali

x y z y x z

Esperimenti allo Specchio

y Un altro esperimento possibile è il moto di una particella carica in presenza di un campo

magnetico

y La spira genera un campo magnetico (regola della mano destra)

y La Forza di Lorentz sulla carica si calcola con la regola della mano destra

y Se osserviamo lo stesso esperimento allo specchio …

y Vediamo un esperimento realizzabile

y Anche nello specchio la spira genera un campo magnetico (calcolabile con la regola della mano destra)

y La Forza di Lorentz si calcola con la regola della mano destra

y Si sarebbe potuta usare la mano sinistra y Usare la mano destra è una convenzione

y Anche la deflessione di una particella in campo magnetico è invariante per riflessione spaziale

x y y z

x z

v B F

L’esperimento di Wu et al.

PHYSICAL REVIEW VOL 105 PAG. 1413 (1957)

x y z y

x z

B B

μ μ σ

σ y La prima verifica sperimentale della viola-

zione della parità nel decadimento β

y Si allineano gli spin con un campo magnetico y Si scopre che il cobalto emette elettroni

prevalentemente verso il basso in direzione opposta allo spin

y Nell’esperimento speculare (x o −x) y Il campo magnetico B_z cambia segno;

y La direzione del momento magnetico μ (allineato al campo B) cambia segno

y Ci aspetteremmo pertanto che gli elettroni vadano prevalentemente verso l’alto

y Invece, evidentemente, nell’esperimento riflesso nello specchio vanno verso il basso y L’esperimento visto allo specchio è impos-

sibile. Ciò è dovuto al fatto che nell’es- perimento reale si osserva una asimmetria

L’esperimento di Wu et al.

rivelatore elettroni

rivelatore fotoni rivelatore

fotoni

60Co

60Ni*

γ β

B

non dipende dal segno di B

dipende dal segno di B

y Per allineare gli spin occorre utilizzare temperature molto basse e un campo magnetico intenso

y Il grado di polarizzazione è misurato tramite la asim- metria delle emissioni γ nel decadimento del ⁶⁰Co

La violazione di C

x y z

B B

P P V

V

x y z

non è uno specchio y Il decadimento β viola anche la simmetria fra

particelle e antiparticelle

y La distribuzione angolare degli elettroni rispetto allo spin è

y Il coefficiente α

y È negativo per la materia y È positivo per l’antimateria

y Se nel nostro esperimento sostituiamo la materia con l’antimateria

y Il campo magnetico cambia direzione: la corrente è di antielettroni

y Il momento magnetico si allinea a B

y Lo spin è in direzione opposta al momento magnetico: è un antinucleo (Q < 0)

y Il coefficiente α diventa positivo

y Nell’antimondo gli elettroni vanno verso l’alto

α !

α 

Nel verso

Invarianza per trasformazioni CP

x y z

B P B

P V V

è uno specchio

y x z

α > 

α <  y Se si applicano contemporaneamente le due

trasformazioni C e P si ottiene un esperimento possibile che produce un risultato identico

all’originale

y L’esperimento originale …

y L’esperimento allo specchio e fatto di antimateria …

y Il campo magnetico punta verso l’alto y La spira è percorsa in senso inverso y La corrente è composta da antielettroni y Il momento magnetico punta verso l’alto

y Si allinea a B

y Lo spin punta verso il basso y È un antinucleo

y Dato che si tratta di un antinucleo α !

y Gli elettroni vanno nella direzione dello spin verso il basso

y L’interazione debole è invariante per CP

La violazione della parità

y La scoperta che la parità è violata nei decadimenti β impone una revisione dell’Hamiltoniana

y In particolare la richiesta che i singoli termini debbano essere scalari non ha più una motivazione fisica

y L’Hamiltoniana più generale non deve necessariamente conservare la parità y Ogni termine può avere sia una parte scalare sia una parte pseudoscalare

y Pertanto l’Hamiltoniana risulta composta da due termini

y La parte PV dell’Hamiltoniana contiene termini pseudoscalari

La violazione della parità

y Il termine PC (Parity Conserving) è quello che abbiamo studiato fino ad ora ed è pari per trasformazioni di inversione

y Il nuovo termine PV (Parity Violating) contiene prodotti di grandezze dispari per trasformazioni di inversione

y Ricordiamo che l’ampiezza di transizione è costruita con una serie perturbativa in funzione di H′

y In particolare al primo ordine

y Una transizione è permessa se l’elemento di matrice di H' è non nullo y Una transizione è proibita se l’elemento di matrice di H' è nullo

y Consideriamo due autostati di P |a> e |b> con parità diversa y Dimostriamo che

La violazione della parità

y Cominciamo con l’elemento di matrice del termine PC fra due autostati di P

con parità diversa

y Quindi

y Calcoliamo adesso l’elemento di matrice del termine PV fra due autostati di P

con parità diversa

y Quindi è possibile che

y Analogamente si può dimostrare che per due autostati di P con la stessa parità, ad esempio

Conseguenze Fenomenologiche

y Le modifiche introdotte non alterano la parte nucleare e pertanto y Si mantiene la classificazione dei vari termini di interazione

y Transizioni di Fermi e transizioni di Gamov-Teller con le regole di sele- zione sugli spin nucleari dedotte precentemente

y Fino a quando non si studiano processi con polarizzazione del nucleone iniziale non si hanno termini di interferenza SA, ST, VA, VT

y Gli elementi di matrice si calcolano sempre utilizzando la tecnica delle tracce y In particolare ricordiamo il calcolo dell’elemento di matrice di Fermi

y Assumendo m_ν = 0 diventa (ipotesi non essenziale)

Conseguenze Fenomenologiche

y Fare attenzione al segno del secondo operatore di vertice

y Ricordiamo infatti che la somma sugli stati di polarizzazione dava

y Abbiamo allora

y E anche

Gli elementi di matrice

y Le tracce possono essere semplicemente sviluppate ricordando le proprietà

y Per gli elementi di matrice si ottiene

Conseguenze Fenomenologiche

y Consideriamo ad esempio l’elemento di matrice di Fermi

y L’assenza del termine di interferenza, dedotta dallo studio della forma dello spettro, ha conseguenze meno dirette

y C_S C_V ( 1 – α_S α_V ) = 0

y Questo può succedere per una delle 3 condizioni

y Pertanto risulta più complicato trarre conclusioni dagli esperimenti già visti y Per le correlazioni angolari non ci sono sostanziali differenze

y Infatti cambia solo il valore numerico delle due costanti di accoppiamento

y Occorre inventare nuovi esperimenti per determinare le nuove costanti y L’esperimento di Wu et al. fornisce le nuove informazioni necessarie y I calcoli per interpretare gli esperimenti sono però un po’ più lunghi

y I nuclei sono polarizzati

y Non si annullano i termini di interferenza Fermi/Gamov-Teller