ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 2016-2017 Corsi di laurea in Scienze Statistiche
2 febbraio 2017
TEMA 1
IAM: es 1, 2, 3, 4. IAM1, v.o.: es 1, 2. IAM2, v.o.: es 3, 4.
Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione
f (x) = xex−1x
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicit`a ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cui
`e possibile prolungare f per continuit`a;
(c) studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f , studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f ;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f . Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Facoltativo: calcolare i limiti dif0se significativi.
Esercizio 2 (8 punti)
1. Determinare al variare di α > 0 reale il valore del limite lim
x→0+
sin(x2) − log(1 + x2) x4+ xα .
2. Determinare per quali α > 0 la funzione f (x) si pu`o prolungare per continuit`a in x = 0:
f (x) =
(sin(x2)−log(1+x2)
x4+xα x > 0, x sin(x12) x < 0.
Esercizio 3 (8 punti) Calcolare l’integrale indefinito
Z 1
√x(x − 3√
x + 2)dx.
FacoltativoDire se eR+∞
9
√ 1 x(x−3√
x+2)dxconverge e, in caso affermativo, calcolarlo.
Esercizio 4 (8 punti)
Studiare la convergenza della serie
X
n
n23n (n − 1)!.
Tempo: due ore. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 2016-2017 Corsi di laurea in Scienze Statistiche
2 febbraio 2017
TEMA 2
IAM: es 1, 2, 3, 4. IAM1, v.o.: es 1, 2. IAM2, v.o.: es 3, 4.
Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione
f (x) = xex−2x−3
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicit`a ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cui
`e possibile prolungare f per continuit`a;
(c) studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f , studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f ;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f . Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Facoltativo: calcolare i limiti dif0se significativi.
Esercizio 2 (8 punti)
1. Determinare al variare di α > 0 reale il valore del limite lim
x→0+
e−x2− cos(√ 2x) x4+ xα .
2. Determinare per quali α > 0 la funzione f (x) si pu`o prolungare per continuit`a in x = 0:
f (x) =
(e−x2−cos(√ 2x)
x4+xα x > 0, x arctg x1
x < 0.
Esercizio 3 (8 punti) Calcolare l’integrale indefinito
Z 1
√x(x +√
x − 2)dx.
Facoltativo: Dire se eR+∞
4
√ 1 x(x+√
x−2)dxconverge e, in caso affermativo, calcolarlo.
Esercizio 4 (8 punti)
Studiare la convergenza della serie
X
n
n32n (n − 1)!.
Tempo: due ore. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 2016-2017 Corsi di laurea in Scienze Statistiche
2 febbraio 2017
TEMA 3
IAM: es 1, 2, 3, 4. IAM1, v.o.: es 1, 2. IAM2, v.o.: es 3, 4.
Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione
f (x) = xex−2x
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicit`a ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cui
`e possibile prolungare f per continuit`a;
(c) studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f , studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f ;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f . Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Facoltativo: calcolare i limiti dif0se significativi.
Esercizio 2 (8 punti)
1. Determinare al variare di α > 0 reale il valore del limite lim
x→0+
1 + arctg x3− ex3 x6+ xα .
2. Determinare per quali α > 0 la funzione f (x) si pu`o prolungare per continuit`a in x = 0:
f (x) =
(1+arctg x3−ex3
x6+xα x > 0, x2cos x1
x < 0.
Esercizio 3 (8 punti) Calcolare l’integrale indefinito
Z 1
√x(x − 2√
x − 3)dx.
Facoltativo: Dire se eR+∞
16
√ 1 x(x−2√
x−3)dxconverge e, in caso affermativo, calcolarlo.
Esercizio 4 (8 punti)
Studiare la convergenza della serie
X
n
4n√ n + 1 n! .
Tempo: due ore. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 2016-2017 Corsi di laurea in Scienze Statistiche
2 febbraio 2017
TEMA 4
IAM: es 1, 2, 3, 4. IAM1, v.o.: es 1, 2. IAM2, v.o.: es 3, 4.
Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione
f (x) = xex−3x+1
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicit`a ed il segno di f ;
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cui
`e possibile prolungare f per continuit`a;
(c) studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f , studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f ;
(d) disegnare un grafico qualitativo di f . Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Facoltativo: calcolare i limiti dif0se significativi.
Esercizio 2 (8 punti)
1. Determinare al variare di α > 0 reale il valore del limite lim
x→0+
arctan(x2) − sin(x2) x6+ xα .
2. Determinare per quali α > 0 la funzione f (x) si pu`o prolungare per continuit`a in x = 0:
f (x) =
(arctan(x2)−sin(x2)
x6+xα x > 0, x3arctanx1 x < 0.
Esercizio 3 (8 punti) Calcolare l’integrale indefinito
Z 1
√x(x + 2√
x − 3)dx.
Facoltativo: Dire se eR+∞
4
√ 1 x(x+2√
x−3)dxconverge e, in caso affermativo, calcolarlo.
Esercizio 4 (8 punti)
Studiare la convergenza della serie
X
n
n42n (n − 1)!.
Tempo: due ore. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.
