Test intermedi December 16, 2004 11
Teoria dei Numeri – Test Junior
Tempo concesso: 90 minuti
Valutazione: risposta errata 0 punti, mancante +2, esatta +5
1. Determinare quanti sono gli interi n per cui 46 n − 7 risulta a sua volta un intero.
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
2. La cifra che occupa la 2003-esima posizione dopo la virgola nella rappresentazione deci- male di 1/14 `e
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
3. Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi da 1 a 2003. La pi`u grande potenza di 3 che divide M `e
(A) 34 (B) 35 (C) 36 (D) 37
4. La frazione che rappresenta il numero decimale 0, 123 `e
(A) 123/999 (B) 123/990 (C) 61/450 (D) 61/495
5. Determinare quanti sono gli interi positivi che si rappresentano usando 3 cifre sia in base 5, sia in base 10.
(A) 0 (B) 25 (C) 26 (D) 100
6. Siano a e b due interi > 1 tali che a5 = b4, e tali che a sia il minimo possibile. Allora (A) a ≤ 10 (B) 11 ≤ a ≤ 20 (C) 21 ≤ a ≤ 50 (D) a > 50
7. Sia n il pi`u grande intero per cui
3n2+ 1 n − 3 risulta a sua volta un intero. Allora
(A) n < 10 (B) 10 ≤ n < 20 (C) 20 ≤ n < 30 (D) n ≥ 30
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12 December 16, 2004 Capitolo 1 8. Esattamente tre dei seguenti prodotti sono congrui tra di loro modulo 11. Quello rima-
nente `e
(A) 2036 · 5813 (B) 9521 · 4388 (C) 6527 · 3471 (D) 2924 · 4689
9. Determinare a partire da quale delle seguenti coppie di interi, l’algoritmo euclideo richiede il maggior numero di divisioni.
(A) 77 e 52 (B) 88 e 47 (C) 59 e 16 (D) 62 e 45
10. La rappresentazione in base 10 di un intero `e 123456x84, dove x indica una cifra incognita.
Determinare per quanti valori di x l’intero risultante `e divisibile per 8.
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 10
11. Determinare il pi`u piccolo intero positivo n tale che 5n≡ 1 (mod 11).
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 10
12. Determinare in quale dei seguenti insiemi si trova un intero n tale che 18n + 7 ≡ 0 (mod 11).
(A) {200, 201, 202} (B) {203, 204, 205} (C) {206, 207, 208} (D) {209, 210}
13. Determinare quanti resti diversi si possono ottenere dividendo per 4 la somma di due quadrati.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
14. Per dimostrare che l’equazione
x3 = 7004 + y3 non ha soluzioni intere, basta considerarla modulo
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7
15. Determinare quale resto si ottiene dividendo per 5 il numero 15+ 25 + 35+ . . . + 20035.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
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Test intermedi December 16, 2004 13 16. Determinare quale dei seguenti criteri non `e corretto: un intero positivo `e congruo modulo
7
(A) alla somma delle cifre della sua rappresentazione in base 6 (B) alla cifra pi`u a destra della sua rappresentazione in base 7 (C) alla somma delle cifre della sua rappresentazione in base 8 (D) alla somma delle cifre della sua rappresentazione in base 15
17. Determinare quale resto si ottiene dividendo per 5 il numero 12002+ 22002+ 32002+ . . . + 20032002.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
18. Dividendo 26! per 29 si ottiene come resto
(A) 1 (B) 14 (C) 15 (D) 28
19. Determinare quale resto si ottiene dividendo per 11 il numero 20+ 21+ 22+ 23 + . . . + 22003.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
20. Determinare quanti sono gli interi n, compresi tra 0 e 100 (estremi inclusi), tali che n3+ 1
`e divisibile per 13.
(A) 7 (B) 8 (C) 21 (D) 22
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