UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTA' DI INGEGNERIA

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INGEGNERIA AEROSPAZIALE

CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA

Soluzioni

2)

Condensatore e resistore sono in parallelo (stessa tensione ai loro capi) e la loro impedenza equivalente vale:

ZRC=

R Â w C

R+ ¹

 w C

= R

1+ Â w R C = R

1+Hw R CL² - Â w R²C 1+Hw R CL²

L’induttore è in serie a ZRC (attraversati dalla stessa corrente), per cui l’impedenza equivalente complessiva vale:

Zeq= Â w L + R

1+Hw R CL² - Â w R²C

1+Hw R CL² = R

1+Hw R CL² + Âw L - w R²C+ w³L R²C² 1+Hw R CL² da cui si ricava la fase:

argIZeqM = arctan w L - w R²C+ w³L R²C²

R = arctan w L

R - w R C + w³L R C²

3)

Si definiscano i nomi di nodi, tensioni e correnti di ramo come nella figura seguente:

I I₁ L I₃

C

I

P₂

I₄ R

I5

L

P₄ P₁

I₂

C

P₃ V

*

Le leggi di Kirchhoff e le equazioni caratteristiche degli elementi lineari del circuito forniscono il seguente sistema di equazioni algebriche per i fasori rappresentativi delle grandezze alternate:

Iˆ

= Iˆ

1+ Iˆ

2 nodo P1

Iˆ

1= Iˆ

3+ Iˆ

4 nodo P2

Iˆ

5= Iˆ

2+ Iˆ

4 nodo P3

Vˆ

= ¹

ω C Iˆ

2+ ω L Iˆ

5 maglia P1P₃P₄ Vˆ

= ω L Iˆ

1+ R Iˆ

4+ ω L Iˆ

5 maglia P1P2P3P4

Vˆ

= ω L Iˆ

1+ ¹

ω C Iˆ

3 maglia P1P2P4

Sostituendo w =HL CL^-1ê2 e risolvendo il sistema, in funzione di I` si ha:

Iˆ

2= Iˆ

− Iˆ

1

Iˆ

1= Iˆ

3+ Iˆ

4

Iˆ

5= Iˆ

− Iˆ

1+ Iˆ

4

Vˆ

= ^{1 L}

C IIˆ

− Iˆ

1M + ^L_C Iˆ

5

Vˆ

= ^L

C Iˆ

1+ R Iˆ

4+ ^L

C Iˆ

5

Vˆ

= ^L

C Iˆ

1+ ^{1 L}

C Iˆ

3

Iˆ

3= Iˆ

1− Iˆ

4

Iˆ

5= Iˆ

− Iˆ

1+ Iˆ

4

Vˆ

= − ^L

C Iˆ

+ ^L

C Iˆ

1+ ^L

C IIˆ

− Iˆ

1+ Iˆ

4M H4L

Vˆ

= ^L

C Iˆ

1+ R Iˆ

4+ ^L

C IIˆ

− Iˆ

1+ Iˆ

4M H5L

Vˆ

= ^L

C Iˆ

1− ^L

C IIˆ

1− Iˆ

4M H6L

Sottraendo l'equazione (4) dalla (5) qui sopra e semplificando la (6):

0 = ^L_C Iˆ + R Iˆ

4

Vˆ

= ^L

C Iˆ

4

∴ Vˆ

= L

C −

L C

R Iˆ

= L R C Iˆ

Infine:

1 Z = Iˆ

Vˆ = R C

L

7)

Si applichi il principio di sovrapposizione.

Con il generatore di tensione alternata in cortocircuito (caso A), a regime tutte le correnti sono continue e la soluzione è data da:

I₁^A = 0

∆V_C^A = 0 I_C^A = 0 I₂^A = ^V0

R

Con il generatore di tensione continua in cortocircuito (caso B), la soluzione di regime si ottiene col metodo dei fasori. Il sistema è costituito da una resistenza (R1L in serie a un circuito RLC parallelo, pertanto alla

2 ac10-11_4s.nb

risonanza w = ¹

L C e l'impedenza equivalente vale Zeq= R₁+ R₂= 2 R. La soluzione è data da:

I₁^B = ^V0

2 R cosHωtL

∆V_C^B = ^V0

2 cosHωtL I_C^B =

tQ^BHtL = C _t∆V_C^BHtL = −¹₂ C V0ω sinHωtL I₂^B = − ^V0

2 R cosHωtL

Dalla somma delle precedenti si ha la soluzione di regime:

I₁^∞ = ^V0

2 R cosHωtL

∆V_C^∞ = ^V0

2 cosHωtL I_C^∞ = −¹

2 C V0ω sinHωtL I₂^∞ = ^V0

R − ^V0

2 R cosHωtL

La legge di Kirchhoff per i nodi ci fornisce anche la soluzione per la corrente nell'induttore (definita nel verso che va dal nodo in comune con le resistenze a quello in comune con i generatori):

I_L^∞ = I₁^∞+ I₂^∞− I_C^∞= V0

R + 1

2 C V0ω sinHωtL La potenza dissipata vale WJ= R₁II1A+ I₁^BM²+ R₂II2A+ I₂^BM².

In un istante t^* in cui la tensione alternata è massima, cosHw t^*L = 1 e si ha:

WJHt^∗L = R 0 + V0

2 R

2

+ R V0

R − V0

2 R

2

= V02

2 R

8)

La condizione iniziale per la corrente nell'induttanza, come definita nel punto precedente, è ILH0L = I1H0L + I2H0L - ICH0L =^V_R⁰.

La condizione iniziale per la tensione sul condensatore si ottiene p.e. dalla legge di Kirchhoff per le maglie, applicata alla maglia che comprende anche la resistenza R2 e il generatore di tensione continua:

DV_CH0L = V0- R₂I2H0L =^V₂⁰.

La soluzione di regime già trovata al punto precedente soddisfa tali condizioni ed è quindi valida anche durante la fase transiente iniziale:

I_L^∞H0L = V0

R

∆V_C^∞ = V0

2 Al tempo prescritto si ha:

I_L^∞ 2 π ω = V0

R +1

2 C V0ω sin ω2 π ω = V0

R

9)

Dal punto di saldatura la seconda metà della linea è equivalente alla sua impedenza caratteristica Z che, quindi, risulta in parallelo al resistore. L'impedenza equivalente R2 di questo parallelo vale:

R2= R Z R+ Z=Z

2

ac10-11_4s.nb 3

La prima metà della linea risulta pertanto terminata su un'impedenza ^Z₂ e per calcolare la frazione di energia riflessa rispetto a quella incidente si può usare la formula standard del coefficiente di riflessione dell'energia su una terminazione ^Z₂:

2 = I^Z₂ - ZM² I^Z₂ + ZM² =I¹₂M²

I³₂M² =1 9

L'energia U_i dell'impulso incidente si ricava dalla densità lineare di energia. Detti # la capacità per unità di lunghezza, v la velocità di propagazione, t la durata dell'impulso, f la sua ampiezza e ) l'intervallo in cui il segnale incidente è diverso da zero, si ha:

Ui= ‡

)# V²Hx, tL „x = # f²vt = f² Z t In conclusione l'energia riflessa vale:

Ur=2 Ui=1 9

f² Z t

10)

La resistenza del resistore e l'impedenza della seconda metà della linea sono uguali, di conseguenza la potenza trasferita al resistore (dissipata) e quella trasferita alla seconda linea (trasmessa) sono anche uguali: Wj= W_t. L'energia non riflessa si divide quindi in parti uguali tra energia dissipata su R e energia trasmessa:

Ut=U_i- U_r

2 =4

9 f² Z t

Detta h l'ampiezza dell'impulso trasmesso, da U_t=^h2

Z t si ricava:

h=2 3 f

4 ac10-11_4s.nb