VAN e TIR. Fabio Bellini. Università di Milano-Bicocca Fabio Bellini (DISMEQ) VAN e TIR 1 / 18

Fabio Bellini

Universit`a di Milano-Bicocca fabio.bellini@unimib.it

Investimenti e finanziamenti

Consideriamo ora un generico flusso finanziario F = {Fk, tk}, con

k = 1, . . . , n. Nel caso delle rendite, gli importi F_k sono tutti positivi; nel caso di un generico flusso finanziario possono essere sia di segno positivo che di segno negativo.

Si chiama operazione di investimento in senso stretto un flusso F_k che presenta un unico cambio di segno, passando dal segno negativo al positivo, ad esempio [−, −, +, +, +], in quanto i costi precedono i ricavi.

Si chiama operazione di finanziamento in senso stretto un flusso F_k che presenta un unico cambio di segno passando dal segno positivo a quello negativo, ad esempio [+, +, −]; in questo caso i ricavi precedono i costi.

Vediamo in questa lezione due criteri per confrontare operazioni

finanziarie: il criterio del VAN (=Valore Attuale Netto) e il criterio del TIR (=Tasso Interno di Rendimento).

Il criterio di scelta tra progetti finanziari pi`u semplice `e quello del valore attuale, che in questo contesto prende il nome di Valore Attuale Netto, in quanto gli importi possono essere sia positivi che negativi. Altri sinonimi sono Risultato Economico Attualizzato (REA), Net Present Value (NPV), Discounted Cash Flow (DCF). Per essere applicato, questo criterio richiede la scelta di un tasso per effettuare la attualizzazione, e come vedremo nel prossimo esempio scelte diverse del tasso possono dare risultati diversi.

Consideriamo le seguenti operazioni di investimento in senso stretto:

A = [−1000, +800, +300, +100; 0, 1, 2, 3]

B = [−1000, +200, +400, +700; 0, 1, 2, 3]

Se applichiamo il criterio del VAN con i = 5%, otteniamo V0(A) = −1000 + 800

1.05 + 300

1.05² + 100

1.05³ ' 120.4 V0(B) = −1000 + 200

1.05 + 400

1.05² + 700

1.05³ ' 158.0,

Valore Attuale Netto

quindi il progetto preferito `e B, in quanto V0(B) > V0(A). Se invece scegliessimo i = 10%, si avrebbe

V₀(A) = −1000 + 800 1.1 + 300

1.1² + 100

1.1³ ' 50.3 V₀(B) = −1000 +200

1.1 + 400

1.1² + 700

1.1³ ' 38.3,

quindi in questo caso il progetto preferito `e A, in quanto V₀(A) > V₀(B).

Il VAN ha quindi il pregio della semplicit`a e dell’ovvio significato

finanziario ma ha il difetto di presentare un elemento di soggettivit`a dato dalla della scelta del tasso di valutazione, che come abbiamo visto pu`o influenzare il risultato del confronto.

Un criterio puramente oggettivo per la scelta tra operazioni finanziarie `e il TIR (= Tasso Interno di Rendimento), in inglese detto anche IRR (=

Internal Rate of Return), che nel caso delle operazioni di finanziamento prende anche il nome di TIC (=Tasso Interno di Costo).

La definizione `e la seguente: il TIR `e quel tasso i^∗ (se esiste, `e unico ed `e positivo) che rende uguale a zero il VAN della operazione. Il TIR `e quindi soluzione della equazione

n

X

k=1

F_k

(1 + i^∗)^tk = 0.

Per capire il significato di questa definizione consideriamo due esempi:

l’acquisto di un CTZ che costa 95 e tra due anni paga 100 e l’acquisto di un BOT che costa 98 e tra un anno paga 100.

Tasso interno di rendimento

Si tratta di due semplici operazioni di investimento in senso stretto:

A = [−95, 100; 0, 2]

B = [−98, 100; 0, 1].

I TIR di A e B sono rispettivamente le soluzioni delle equazioni

−95 + 100 (1 + iA)² = 0

−98 + 100 1 + iB

= 0, che riscriviamo come

95(1 + i_A)²= 100 98(1 + i_B) = 100,

da cui si vede che i_A e i_B rappresentano effettivamente il tasso di rendimento annuo delle due operazioni. Risolvendo, otteniamo

iA = 2.60%, iB = 2.04%. L’operazione preferita `e quindi A, in quanto ha un TIR maggiore. Pi`u in generale, tra progetti di investimento, preferiamo quello con il TIR maggiore, in quanto come abbiamo visto il TIR assume il significato di rendimento della operazione di investimento. In modo

analogo, tra pi`u operazioni di finanziamento, preferiamo quella con un TIR minore, in quanto in questo caso il TIR assume il significato di tasso di costo del finanziamento.

Vediamo quindi un primo problema nell’uso del TIR: se una operazione presenta pi`u di un cambio di segno, non ha un carattere definito di

investimento o finanziamento, quindi non `e chiaro se debba essere preferito un TIR maggiore o un TIR inferiore.

Tasso interno di rendimento

Riconsideriamo ora le operazioni

A = [−1000, +800, +300, +100; 0, 1, 2, 3]

B = [−1000, +200, +400, +700; 0, 1, 2, 3]

Per determinare i TIR di A e B dobbiamo risolvere le equazioni

−1000 + 800

1 + i_A + 300

(1 + i_A)² + 100 (1 + i_A)³ = 0

−1000 + 200

1 + i_B + 400

(1 + i_B)² + 700

(1 + i_B)³ = 0.

Si tratta di equazioni piuttosto complicate, che non hanno una formula risolutiva semplice; nella prossima slide riportiamo il grafico del valore attuale di A e di B in funzione del tasso; i due TIR sono dati dalla intersezione dei rispettivi grafici con l’asse delle ascisse.

0.1 0.2 0.3 0.4

−200 200

i V (i )

Valore attuale di A (blu) e di B (rosso) in funzione del tasso i . I due TIR sono le intersezioni con l’asse delle ascisse. Osservate che i valori attuali sono funzioni decrescenti di i e per i = 0 coincidono con la somma delle rate (200 per A, 300 per B).

Tasso interno di rendimento

Utilizzando Excel (vedremo pi`u avanti come) `e possibile ottenere i_A = 14.01%, i_B = 11.79%, in accordo con il grafico. Trattandosi di operazioni di investimento preferiamo quindi A che ha un TIR maggiore.

Vediamo ora un esempio di confronto tra due finanziamenti:

A = [1000, −500, −100, −600; 0, 1, 2, 3]

B = [1000, −90, −90, −1090; 0, 1, 2, 3]

L’operazione B corrisponde a un ammortamento al tasso del 9% con rimborso del debito iniziale in un’unica quota a scadenza, pertanto anche senza fare calcoli si ha che i_B = 9%. Il TIR di A `e soluzione della equazione

1000 − 500

1 + i_A − 100

(1 + i_A)² − 600

(1 + i_A)³ = 0,

da cui si ottiene con Excel i_A= 9.34%. Tra due finanziamenti scegliamo quello con il TIR minore, pertanto sar`a preferibile B.

5 · 10⁻² 0.1 0.15 0.2

−200 200

i V (i )

Valore attuale di A (blu) e di B (rosso) in funzione del tasso i . I due TIR sono le intersezioni con l’asse delle ascisse. I valori attuali questa volta sono funzioni crescenti di i e anche qui per i = 0 coincidono con la somma delle rate (−200 per A, −270 per B).

Tasso interno di rendimento

Come secondo esempio di confronto tra finanziamenti, consideriamo l’ammortamento italiano e tedesco di un debito iniziale di 25000 Euro in 5 rate annue, al tasso annuo del 10%. Abbiamo pertanto

A = [25000, −7500, −7000, −6500, −6000, −5500]

B = [22500, −7000, −6500, −6000, −5500, −5000].

Dalla condizione di chiusura finanziaria, sappiamo che i_A= 10%. Il tasso di costo i_B `e soluzione della equazione

22500 − 7000 1 + iB

− 6500

(1 + iB)² − 6000

(1 + iB)³ − 5500

(1 + iB)⁴ − 5000 (1 + iB)⁵ = 0 da cui si ricava con Excel i_B = 11, 11%. Come ci si pu`o attendere, la corresponsione anticipata degli interessi del metodo tedesco `e meno conveniente per il debitore, e si traduce in un tasso di costo superiore.

Il TIR funziona bene quando si tratta di confrontare operazioni di investimento o di finanziamento in senso stretto. Nel caso di operazioni pi`u generali, che presentano pi`u cambi di segno, possono esserci diversi problemi:

il TIR pu`o non esistere oppure essere negativo pu`o esistere pi`u di un TIR positivo

l’operazione pu`o non avere una natura chiara di investimento o finanziamento, e di conseguenza non `e chiaro se `e conveniente scegliere il TIR maggiore oppure il TIR minore.

Vediamo alcuni esempi.

Problemi nell’uso del TIR

Consideriamo l’operazione

A = [−100, 120, −40; 0, 1, 2]

L’equazione

−100 + 120

1 + i − 40

(1 + i )² = 0, che riscriviamo ome

−100 + 120v − 40v²= 0, non ha radici reali, poich´e

∆ = 120²− 4 · 40 · 100 < 0.

1 2 3 4 5

−100

−50 50 100

i V (i )

Valore attuale in funzione del tasso di interesse per l’operazione della slide precedente: in questo caso non ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse e di conseguenza non esistono TIR positivi.

Problemi nell’uso del TIR

Consideriamo ora l’operazione

A = [−48, 140, −100; 0, 1, 2].

Ponendo v = 1/(1 + i ), l’equazione che detemina il TIR `e

−48 + 140v − 100v²= 0, da cui si ottiene

v = −140 ±√

140²− 19200

−200 = 0.6, 0.8

che corrispondono ai tassi

i1= 1/0.6 − 1 = 66, 67% e i2= 1/0.8 − 1 = 25%.

Questa operazione ha quindi due TIR positivi.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−5 5 10

i V (i )

Valore attuale in funzione del tasso di interesse per l’operazione della slide precedente: in questo caso esistono due TIR positivi. Osserviamo che in questo caso V non `e una funzione monotona del tasso i .

Teorema di esistenza del TIR

E’ quindi importante avere condizioni sufficienti che garantiscano che una operazione finanziaria abbia un unico TIR positivo. In letteratura ne sono state dimostrate moltissime, ci limitiamo a enunciare la seguente:

Teorema

Sia F un’operazione di investimento in senso stretto. Se la somma delle rate `e positiva, allora F ammette un unico TIR positivo. In modo analogo, se F `e una operazione di finanziamento in senso stretto e la somma delle rate `e negativa, allora F ammette un unico TIR positivo.

Non vediamo i dettagli della dimostrazione, ma l’idea `e molto semplice.

Nel primo caso, la funzione valore attuale ha in i = 0 un valore positivo, `e decrescente e ha un limite negativo quando i → +∞, come nei grafici della slide 8. Di conseguenza, essendo una funzione continua, deve avere un’unica intersezione con l’asse delle ascisse. Analogamente, nel secondo caso la funzione valore attuale ha in i = 0 un valore negativo, `e crescente e ha un limite positivo quando i → +∞, come nei grafici della slide 10.