Capitolo 3

(1)

Capitolo 3

Stima del timing

Per eseguire una corretta rivelazione dei simboli un ricevitore deve conoscere alcuni parametri del segnale, detti parametri di sincronizzazione.

Sappiamo che i campioni da filtro adattato hanno la minima interferenza intersimbolica quando sono presi a istanti opportuni. E’ quindi necessario disporre di circuiti, detti sincronizzatori di timing (o di clock), capaci di individuare questi particolari istanti.

Per eseguire la demodulazione coerente, è necessario disporre di una oscillazione sinusoidale con la stessa frequenza e fase della portante in arrivo. A tale scopo sono usati i sincronizzatori di portante, in grado di misurare e compensare gli errori di frequenza e di fase tra la portante e l’oscillazione locale.

Da quanto detto è evidente che la stima dei parametri di sincronizzazione rappresenta una operazione cruciale. Imprecisioni di stima possono avere conseguenze catastrofiche sul funzionamento del ricevitore.

(2)

3.1 Sincronismi per ricevitori coerenti

La Fig. 3.1 mostra la demodulazione di un segnale del tipo

0

( )

( )cos(2

)

( )sin(2

)

RF R I

r

t

=

r t

π

f t

−

r t

π

f t

₀ (3.1)

In cui rappresenta la frequenza della portante e è

l’inviluppo complesso di . 0

f

r t

_R

( )

+

jr t

_I

( )

=

r t

( )

RF

r

t

Passa basso Passa basso ( ) RF r t 2cos(2πf t_OL −ϑ) ( ) R r t′ ( ) I r t′ 2sin(2π f t_OL ϑ) − −

Fig.3.1 Demodulazione del segnale a radiofrequenza

Supponendo che il canale aggiunga solo rumore termico e detto il ritardo di propagazione si ha

τ

( )

_i

(

)

( )

i

r t

=

∑

a h t iT

−

− +

τ

w t

_(3.2)

dove sono i simboli di modulazione, è la risposta impulsiva del filtro di trasmissione,

T

è l’intervallo di segnalazione e

w t

rappresenta il rumore.

{ }

a

i

h t

( )

(3)

In generale i riferimenti locali

2

e del demodulatore non sono esattamente sincroni con la portante ma presentano un errore (offset) di frequenza

cos(2

π

f t

_OL

−

ϑ

)

0 OL

f

2sin(2

π

f t

_OL

ϑ

)

−

ν

=

−

e uno di fase .

ϑ

I filtri passa basso indicati in Fig 3.1 eliminano le componenti intorno a ma lasciano passare inalterate quelle intorno a

0 OL

f

+

f

0 OL

f

−

f

. In queste ipotesi si trova che le uscite

r

_R

′

( )

t

e

r t

_I

′

( )

sono espresse da

( )

( )cos(2

)

( )sin(2

)

R R I

r t

′

=

r t

πν

t

+

ϑ

−

r t

πν

t

+

ϑ

+

(3.3)

( )

( )cos(2

)

( )sin(2

)

I R I

r t

′ =

r t

πν

t

+

ϑ

−

r t

πν

t

ϑ

(3.4)

Perciò, posto

r t

e facendo uso delle (3.3)-(3.4), l’uscita del demodulatore si può scrivere in forma complessa come

( )

r t

_R

( )

jr t

_I

( )

′

=

′

+

′

(2 )

( )

j t

r t

′ =

r t e

πν ϑ+ (3.5)

In sostanza, coincide con l’inviluppo complesso del segnale ricevuto a meno del fattore . Con sincronismi perfetti (

( )

r t

′

(2 ) j t

e

πν ϑ+

ν ϑ

= =

0

) si ha ovviamente

r t

′ = ( )

( )

r t

.

Per valutare l’effetto del fattore sulle decisioni del ricevitore calcoliamo l’uscita dal filtro adattato. Questa è data dalla convoluzione

la quale, in base alla (3.2) e alla (3.5), si può scrivere

(2 ) j t

e

πν ϑ+

( )

x t

=

r t

′

⊗ −

h t

(2 )

( )

j

(

) (

)

( )

i i

x t

a

e

πνξ ϑ

h

ξ

iT

τ

h

ξ

t d

ξ

n t

∞ + −∞

=

∑ ∫

−

+

(3.6)

(4)

(2 )

( )

j t

( )

n t

=



_

w t e

πν ϑ+



_

⊗

h t

−

+

(3.7)

il contributo del rumore termico. Ora ammettiano per semplicità che l’offset di frequenza sia così piccolo da poter ritenere praticamente costante l’esponenziale

per tutta la durata di

h t

. Dalla (3.6) si ottiene allora

(2 ) j t

e

πν ϑ+

( )

(2 )

( )

j t

(

)

( )

i i

x t

≈

e

πν ϑ+

∑

a g t iT

−

τ

n t

_(3.8) avendo posto

g t

( )

=

h t

( )

⊗ −

h t

( )

.

Il circuito di decisione riceve i campioni di presi agli istanti

t k

. Ammesso che soddisfi la condizione di Nyquist, questi sono espressi da

( )

x t

=

T

+

τ

( )

g t

[2 ( ) ]

( )

j kT _k

( )

x k

=

e

πν + +τ ϑ

a

+

n k

(3.9)

in cui . Come si vede, la componente del segnale è ruotata di un angolo e quindi può trovarsi al di fuori della zona di decisione di . Quando questo accade il decisore commette errori anche in assenza di rumore. Risulta così evidente la necessità di compensare l’esponenziale nella (3.9). Ciò richiede la stima dei parametri

( )

(

)

n k

=

n kT

+

τ

2 πν

(kT

+

τ

k

a

)

+

ϑ

ν

e . Ammesso di riuscire a stimarli perfettamente, la compensazione si esegue controruotando di un

angolo , ossia moltiplicando i campioni per

.

ϑ

( )

x k

(

x k

2 πν

(

kT

+

τ

)

[2 ( ) ] j πν kT τ ϑ − + +

ϑ

+

)

e

Vediamo ora l’effetto di errori di campionamento. Per semplicità supponiamo che siano nulli gli errori di frequenza e di fase

(

. Allora il segnale dal filtro adattato assume la forma

0)

(5)

( )

_i

(

)

( )

i

x t

=

∑

c g t iT

−

− +

τ

n t

_(3.10)

con . Se è un impulso di Nyquist che si annulla agli

istanti (escluso

k

), basterebbe campionare a per

non avere interferenza intersimbolica (ISI). Il ricevitore però non conosce esattamente il ritardo di propagazione , dispone solo di una sua stima più o meno accurata. Quindi al circuito di decisione vengono inviati i campioni di presi agli istanti , e cioè

( )

n t

=

w t

⊗ −

h t

t kT

=

t kT

=

( )

g t

0 =

ˆ

τ

+

( )

x t

t kT

=

+

τ

ˆ

τ

( )

x t

( )

_k

(

)

_i

(

)

( )

i k

x k

a g

ε

c g kT iT

ε

n k

≠

=

− +

∑

−

+

_(3.11)

dove è l’errore di stima. Il primo addendo nella (3.11) è il termine utile ai fini della decisione, il secondo rappresenta l’ISI, il terzo è il contributo del rumore termico.

ˆ

ε τ τ

= −

3.2 Effetto degli errori di sincronismo

Indichiamo con la stima fornita dal sincronizzatore di timing e con la probabilità di errore del ricevitore condizionata agli istanti di campionamento

. Ragioni fisiche ci suggeriscono che avrà una forma a tazza, con un minimo in . Piochè è ottenuta elaborando , possiamo modellarla

ˆ

τ

=

ˆ

( | )

P e

τ

ˆ

kT

+

τ

P e

( | )

τ

ˆ

τ

ˆ

r t

( )

(6)

come una variabile aleatoria con una certa densità di probabilità . Si dice che non è polarizzata se il suo valor medio coincide con , cioè

ˆ

( )

p

τ

ˆ

τ

ˆ ( pτ

ˆ

p

( )

ˆ

d

τ

∞

τ τ

−∞

=

∫

τ

ˆ

(3.12)

Supponiamo che sia verificata la (3.12). La Fig. 3.2 illustra qualitativamente le funzioni

P e

( | )

τ

ˆ

e

p

( )

τ

ˆ

.

Fig. 3.2 Andamento qualitativo di P e( | )τˆ e )

Mediando la prima rispetto a si ottiene la probabilità di errore media del ricevitore

ˆ

τ

ˆ

( )

( | ) ( )

P e

τ

p

τ

d

∞ −∞

=

∫

τ

ˆ

(3.13)

(7)

Purtroppo questa formula non è di grande utilità perchè le espressioni di

e sono difficili da calcolare. Tuttavia in base alla (3.13) è possibile fare alcune osservazioni di carattere qualitativo.

ˆ

( | )

P e

τ

ˆ

( )

p

τ

Supponiamo che nell’intorno di in cui assume valori significativi la funzione possa essere approssimata con un polinomio di Taylor arrestato al termine quadratico

ˆ

τ τ

=

p

( )

τ

ˆ

( | )

P e

τ

2

1 ˆ

( | )

( | )(

)

2 P e

τ

≈

P e

τ

+

P e

′′

τ τ

ˆ

−

τ

(3.14)

dove è la derivata seconda di calcolata in . Nello

scrivere la (3.14) si è tenuto conto che il termine lineare è nullo in quanto, per

ipotesi, ha un minimo in per cui . Sostituendo la

(3.14) nella (3.13) si trova

( | )

P e

′′

τ

ˆ

( |

P e

τ

ˆ

( | )

P e

τ

τ τ

ˆ

=

)

τ τ

ˆ

=

P e

( | ) 0

τ

=

2

1 ( )

( | )

2 P e

≈

P e

τ

+

P e

′′

τ

σ

_τ (3.15)

in cui è la varianza di . La (3.15) indica che l’incremento di probabilità di errore rispetto al caso ideale ( ) è proporzionale a . Pertanto è un indice delle prestazioni di un sincronizzatore di timing. Il coefficiente

nella (3.15) rappresenta la sensibilità del ricevitore agli errori di timing. Si trova che questa tende ad aumentare con il numero dei punti della costellazione e al diminuire della banda del segnale.

2 τ

σ

τ

ˆ

τ τ

=

2 τ

σ

2 τ

σ

P e

′′( | )

τ

(8)

3.4 Stima del timing per sistemi multi-carrier

Discutiamo ora la stima di con il criterio della massima verosimiglianza. Ammettiamo che eventuali errori di frequenza siano già stati stimati e compensati perfettamente. Per quanto riguarda la fase , questa potrebbe essere stimata congiuntamente al timing ma un metodo più semplice consiste nel recuperare il

timing indipendentemente da e poi utilizzarlo per stimare . La fase viene

pertanto modellata come una variabile aleatoria uniformemente distribuita sull’intervallo . I simboli trasmessi sono supposti ignoti al ricevitore dal momento che la loro rivelazione richiederebbe la conoscenza di e .

τ

ϑ

[

0,2

π

)

τ

Lo stimatore che ricaveremo è un’estensione di quello di Oeder e Meyr che si applica a sistemi single-carrier per il quale vale

0 1 ₂ ₂ 0

ˆ

arg

(

)

2

k NL _j N s k

T

x kT

e

π

τ

π

− ₋ =





= −

_



∑





)

(3.16)

dove

x kT

(

_s sono i campioni in uscita dal filtro adattato presi a frequenza

1

s

=

N

T

,

N

è il fattore di sovracampionamento. Tale stimatore è non polarizzato a patto che il fattore di sovracampionamento sia sufficientemente elevato (con impulsi a coseno rialzato

N

≥

4

.

Tornando al nostro sistema, La funzione di verosimiglianza condizionata a

( , , )

τ ϑ

a

è 1 1 ( ) ( )* 2 0 0

1 ( / , , ) exp

L P m m h h h m

x

τ ϑ

a

x s

σ

− − = =





Λ

=

_

ℜ

_







∑∑



_

(3.17) Definendo

(9)

1 1 ( ) ( )* 0 0 L P m m h h h m

X

− −

x s

= =

=

∑∑

(3.18)

e sviluppando in serie di Taylor per bassi rapporti segnale rumore, si ottiene:

{ }

2 2 2 2 2 2 2

1

1 ( / , , ) 1

2

1

4

4 x

a

X

τ ϑ

σ

Λ

+

ℜ

+

ℜ

=

= +

ℜ

+

ℜ

+

2

X

(3.19) ( )m h

s

è il segnale di tentativo, in cui per semplicità si è tralasciata la dipendenza dall’intervallo di campionamento

[

]

1 ₂ ₍ _ˆ₎ ( ) ( ) 0

ˆ

(

)

k L _j _{Ph m} m k _N h n n k S

s

−

a g P h n

m

η

e

π + −η ϑ = ∈

=

∑∑

−

+ −

_e

j

}

−

(3.20)

dove è l’insieme delle sottoportanti, è il simbolo di tentativo sulla k-esima sottoportante, è un impulso radice di coseno rialzato con roll-off ,

{

0,...,

1 S

∈

N

α

ˆ

( )k n

a

( )

g t

η

è l’errore di timing di tentativo normalizzato rispetto all’intervallo di segnalazione e rappresenta l’errore di fase.

ϑ

Per avere la funzione di verosimiglianza condizionata al solo bisogna mediare rispetto alla coppia

τ

( ,

ϑ

a

)

{ }

2 ,

( / )

x

τ

E

_ϑ_a

|

X

|

Λ

=

(3.21)

(10)

[

] [

]

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( )* ( )* ( ) 2 0 0 0 0 * 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( )

|

(

)

(

)

L L P P m m k k h h n n h h m m n n k S k S k k j Ph m j Ph m N N

X

x

a

h P h

n

m

h P h

n

m

e

π η

e

π η

η

− − − − = = = = ∈ ∈ − + − + −

=

⋅

−

+

− ⋅

−

+

−

⋅

∑∑ ∑ ∑

∑∑∑ ∑

a

⋅

(3.22)

Si ottiene la seguente espressione di

Λ

( / )

x

τ

[

] [

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ₂ _{( (} ₎ ₎ ( ) ( )* 0 0 0 0 * 1 1 2 2

( / )

(

)

(

)

k L L P P _j _{P h h} _{m m} m m _N h h h h m m k S n

x

e

h P h

n

m

h P h

n

m

π

τ

η

− − − − ₋ ₋ _{+ −} = = = = ∈

Λ

=

⋅

−

+

− ⋅

−

+

∑∑ ∑ ∑

∑

]

⋅

−

]

η

=

d

(3.23)

Si introduce, a questo punto, la funzione

I

( )

η

così definita

[

] [

( ) ( ) [ ] [ ] 1 1 2 2 1 1 2 2 * 1 1 2 2 2 * 2 2 2 *

( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

S S S S n j P h n m fT n j P h n m T j Ph m fT j Ph m T

I

h P h

n

m

h P h

n

m

H f e

df

H

e

d

H f H

e

π η π η ν π η π η ν

η

ν

∞   − _ − + − _ −∞ ∞  − + −    −∞ ∞ − + − + − −∞

=

−

+

− ⋅

−

+

−

=

⋅

=

⋅

∑

∑ ∫

∫

2 ( )

j f PnTS n

e

π −ν

df

ν

⋅

∫ ∫

∑

(3.24)

Applicando la formula di Poisson si ottiene:

2 ( ) _S

1

j f PnT n S l S

l

e

f

PT

π −ν

₌

_δ



_{− −}

_ν











∑

(3.25)

(11)

che sostituita nella (3.24) fornisce [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 _*

1 ( )

( )

1 ( )

S S j Ph m fT S S l j Ph m j Ph m fT _P l l j m j P P S S

l

I

H f H f

e

PT

e

df

l

e

H f H f

PT

π η π η π η π πη

η

∞ − + − −∞ − + − + − ∞ − −∞





=

_

−

_





⋅

=





=

_

−

_





∫

2 1 2 1 2 ( ( ) )

⋅

e

j π P h h− +m m fT− S

d

⋅

f

(3.26) Per

l

=

0

la (3.26) diventa 2 1 2 1 2 _{2 ( (} ₎ ₎ 0

1 ( )

j P h h m m fTS S

I

H f

e

PT

π ∞ − + − −∞

=

∫

df

(3.27) Per

l

=

1

si ottiene [ ] 2 2 1 2 1 2 2 _* 1 2 ( )

1

1 ( )

( )

S m j j P P S S j P h h m m fT

I

e

H f H f

PT

e

d

η π π π

η

− ∞ −∞ − + −





=

_

−

_





⋅

∫

f

⋅

(3.28) Considerando la sostituzione

1

2

_S

f

PT

ν

= +

(3.29) si ricava

(12)

[ ] 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 ( )

1

1 ( )

2

1

2

S j m m j j h h _P _P S S j P h h m m T S

I

e

H

PT

H

e

PT

π _πη π π ν

η

ν

∞ − + − −∞ − + −





=

_

+

_









⋅

_

−

_





∫

d

⋅

(3.30) Analogamente per

l

= −

1

[ ] 2 2 1 2 1 2 2 _* 1 2 ( )

1

1 ( )

( )

S m j j P P S S j P h h m m fT

I

e

H f H f

PT

e

d

η π π π

η

− ∞ − −∞ − + −





=

_

+

_





⋅

∫

f

⋅

(3.31) Con la sostituzione

1

2

_S

f

PT

ν

= −

(3.32) si ottiene [ ] 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 ( )

1

1 ( )

2

1

2

S j m m j j h h _P _P S S j P h h m m T S

I

e

H

PT

H

e

PT

π _πη π π ν

η

ν

∞ + − − − − −∞ − + −





=

_

+

_









⋅

_

−

_





∫

d

⋅

)

(3.33)

Definendo a questo punto

Q f

(

come

*

1

1 ( )

(

2

_S

2

_S

Q f

H f

Q

f

PT



 



=

_

+

_{ }

−

_

=

−



 



)

(3.34)

(13)

si ottiene nel dominio del tempo *

( )

q t

=

q t

(3.35) La (3.33) diventa

[

]

1 2 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2

1 ( )

j h h j_P m m j _P

(

)

S

I

e

q P h

h

m

PT

π _πη π

η

− − + − −

=

−

₁

+

₂

−

m

₁ (3.36)

Confrontando la (3.30) con la (3.36) si nota che

* 1

( )

1

( )

I

₋

η

=

I

η

(3.37)

per cui la (3.26) si può scrivere come

{

}

0 1

( )

2 ( )

I

η

= + ℜ

I

η

(3.38)

Sostituendo nella (3.23) si ottiene

( ) ( )

₍

₎

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ₂ _{( (} ₎ ₎ ( ) ( )* 0 0 0 0 2 2 1 2 1

( / )

k L L P P _j _{P h h} _{m m} m m _N h h h h m m k S j m m j j h h _P _P

x

e

q P h

h

m

e

π π _πη π

τ

− − − − − + − = = = = ∈ − + − +





Λ

_{= ℜ}









_

⋅



_

−

+

−



_

_

_







∑∑ ∑ ∑

∑

⋅

(3.39)

(14)

( )

(

)

1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ₂ ₍ ₎ ( ) ( )* 0 0 0 0 2 ( ) 2 1 2 1

ˆ

arg

2

k L L P P _j _{Ph m} m _N m h h k S h h m m k j Ph m j Ph m Ph m N P

P

x

e

x

e

q P h

h

m

π π π

η

π

− − − − ₋ ₊ ∈ = = = = + − + + +



=

_

⋅







⋅



_

−

_{ }

_

_





∑∑∑ ∑ ∑

+

−

h

=

(3.40) Assumendo 1 2

1 ,

L

=

h

=

h

(3.41) si ottiene

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ₂ ₍ ₎ ( ) ( )* 0 0 ( ) 2 1

ˆ

arg

2

k P P _j _{m m} m m _N h h k S m m j m m P

P

x

e

q m

m

π π

η

π

− − ₋ ₋ ∈ = = − +



=

_

⋅





⋅

−

_



∑ ∑ ∑

(3.42)

Nel caso in cui si considerino tutte le sottoportanti la (3.42) si semplifica ulteriormente 1 ₂ ₂ ( ) 0