Generalità su CDMA e comunicazioni wireless cellulari CAPITOLO I

CAPITOLO I

Generalità su CDMA e

comunicazioni wireless cellulari

In questo primo capitolo verranno analizzati i due tipi fondamentali di segnale modulato, quelli Narrow-Band, e quelli Spread-Spectrum, sottolineando l’utilità delle trasmissioni a spettro espanso su canali selettivi in frequenza e in presenza di interferenti a banda stretta, e concentrandosi sulla Direct-Sequence, attualmente la tecnica più utilizzata per generare segnali Spread-Spectrum .

Sarà proposto un semplice confronto tra le occupazioni in banda dei due tipi di segnale, per poi introdurre l’analisi delle tecniche di accesso multiplo al mezzo, enfatizzando in particolare la Code Division Multiple Access (CDMA).

Verranno poi presentati i fenomeni, relativi alla propagazione delle onde elettromagnetiche in un ambiente fisico reale (come riflessioni, diffrazioni e scattering), che portano

all’analisi dei canali multipercorso (multipath). Verranno sottolineate le differenze tra i canali multipath statici e tempo-varianti (legati come noto alla mobilità del ricevitore) introducendo le problematiche legate al Fading. Infine, verranno presentati i profili di canale Standard (per GSM e UMTS) per diversi ambienti (urbano o rurale) e per diversi tipi di utenti (terminali fissi o in movimento).

1.1 Segnali Narrow-Band

Con questo termine indichiamo quei segnali la cui banda attorno alla frequenza portante è confrontabile con il rate della sorgente di informazione in bit/s. Esempi più noti di segnali Narrow Band sono i Phase Shift Keying (PSK) e i Quadrature Amplitude Modulation (QAM).

Per mostrare il legame esistente tra la banda di un segnale Narrow-Band (o “a banda stretta”) e il rate della sorgente di informazione, iniziamo col considerare l’espressione, in banda passante, di un segnale modulato QAM [Gia03]

( )

( ) (

cos 2 0

)

( ) (

sin 2

)

BP I Q 0

s t =s t

π

f t −s t

π

f t (1.1)

dove f₀ è la frequenza portante mentre s t_I

( )

e s_Q

( )

t sono rispettivamente la parte In-phase (I) e Quadrature (Q) del segnale modulato I/Q. Consideriamo adesso l’equivalente in banda base del segnale sBP

( )

t . Esso è definito come s t

( )

=s tI

( )

+ js tQ

(

)

e legato al

segnale in banda passante tramite la relazione

( )

{

( )

j2 f t0

}

BP

s t = ℜ s t e⋅ π . Nel caso di una modulazione lineare, il segnale s

( )

t è del tipo

(1.2)

( )

[ ]

T

(

i t A d i g t iT s ∞ =−∞ = ⋅

∑

⋅ − _s

)

dove d i

[ ]

=d i_I

[ ]

+ jd_Q

[ ]

i è l’i-esimo simbolo trasmesso estratto da una costellazione di W punti sul piano complesso, T è l’intervallo di segnalazione (ovvero il reciproco del symbol _s rate R_s), g_T

( )

t l’espressione dell’impulso di trasmissione e A= 2P E d i_s/

{ }

[ ]2 (doveP _s

è la potenza media del segnale modulato (1.1)). Calcolando la densità spettrale di potenza (DSP) del segnale (1.2) si osserva che essa è proporzionale a G_T

( )

f 2, dove G_T

( )

f è la trasformata di Fourier di g_T

( )

t . Per questa ragione la banda del segnale s

( )

t è strettamente legata a quella dell’impulso di trasmissione, considerata fino al primo nullo spettrale.

Figura 1: DSP a radiofrequenza di un segnale Narrow-Band su canale AWGN

Se si utilizza un impulso rettangolare, la banda del segnale (in banda base) è ( )

1/

NB

S

B = T =RS; se invece si usa un impulso a Radice di Coseno Rialzato RRCR

( )

α ,

dove

α

è il fattore di roll-off compreso tra 0 e 1, la banda risulta . ( ) (1 ) / 2 (1 ) / 2 NB S S B = +

α

T =R +

α

Si nota, dunque, che nel caso di segnali Narrow-Band, la banda (pur dipendendo dal tipo di filtro utilizzato) resta comunque confrontabile col rate R_S della sorgente.

1.2 Segnali Spread-Spectrum (SS)

I segnali Spread-Spectrum (o “a spettro espanso”), al contrario di quelli a banda stretta, presentano banda molto maggiore del rate della sorgente di informazione.

In un approccio alla trasmissione di tipo Narrow-Band, compito del progettista è quello di far in modo che la banda del segnale legato a un certo utente venga il più possibile contenuta. Questo perché, se per esempio si utilizza un sistema con tecnica di accesso al mezzo la Frequency Division Multiple Access (in cui a ogni utente viene assegnata una porzione dell’intera banda disponibile), minore è la banda associata a un singolo utente, maggiore sarà il numero di utenti che possono essere serviti

Al contrario, l’approccio Spread-Spectrum, è il risultato di una espansione intenzionale della banda che, normalmente, viene estesa fino a ricoprire tutto il range disponibile. A parità di potenza trasmessa, dunque, la banda di un segnale SS risulterà notevolmente maggiore di quella di un segnale Narrow Band. L’allargamento della banda è ovviamente legato all’abbassamento dei valori della densità spettrale di potenza [W/Hz] e, specialmente in presenza di canali molto rumorosi (canale in cui la DSP del rumore è paragonabile a quella del segnale), va accostato a una robusta codifica che aiuti la rilevazione del segnale in presenza di altri utenti. I casi in cui può risultare conveniente utilizzare segnali SS sono molteplici, in particolare essi sono usati per [Pro95]

• rendere il segnale più robusto in caso di interferenze, siano esse volontarie o casuali. Se infatti il segnale fosse Narrow-Band, tutta l’informazione a esso legata sarebbe contenuta in una piccola porzione di spettro e un’interferenza proprio su quella banda potrebbe essere molto dannosa;

• migliorare il comportamento del segnale nel caso di canali selettivi in frequenza. Un canale di questo tipo, infatti, può presentare dei “nulli”, ovvero delle porzioni di banda in cui la risposta in frequenza del canale assume valori molto bassi. Se il segnale (ovvero l’informazione) relativa a un dato utente si collocasse in una di queste zone, esso verrebbe notevolmente distorto. In un segnale SS, invece, il contenuto informativo è espanso a una porzione molto larga di banda e risulta perciò più affidabile in situazioni di questo tipo;

• migliorare la privacy dei messaggi rendendone più difficile l’intercettazione. L’abbassamento della DSP “nasconde” il segnale nel rumore di fondo del canale

e un ascoltatore non intenzionale (cioè non provvisto della “chiave” del codice) difficilmente riuscirebbe a distinguerlo dal rumore.

1.2.1 Direct-Sequence Spread-Spectrum (DS-SS)

La DS-SS è attualmente la tecnica più utilizzata in ambito civile/commerciale per generare un segnale SS. Essa consiste nel moltiplicare, nel dominio del tempo, il flusso dei simboli di informazione d l

[ ]

(che “arrivano” con rate Rs =1/TS) per una sequenza di simboli

binari c k

[ ]

detti chip, a rate R_c >>R_S (cioè T_c <<T_s). Il risultato di tale moltiplicazione è un nuovo segnale, che contiene i simboli di informazione della sorgente originaria, ma il cui rate è aumentato, passando da R_S a R_c. La sequenza c k

[ ]

è chiamata spreading sequence ed è periodica di periodo L T⋅ _c (L è detta code length), dove è la durata di un chip, scelta in modo che sia

c

T /

s c

T T =M intero. La moltiplicazione per la spreading sequence avviene a monte del filtro di trasmissione g_T

( )

t cosicché il segnale all’uscita del filtro è [Gia03] ( )

_{( )}

_[

_]

₍

// ss T L k

)

c s t A d k M c k g t kT ∞ =−∞ ⎡ ⎤ = ⋅

∑

⋅ _{⎣ ⎦}⋅ − (1.3)

dove k//M =int( /k M), k_L =kmodL e A= 2P E d is/

{ }

[ ]2 . L’aumento del rate è visibile confrontando la (1.2) con la (1.3). Infatti, mentre nel caso dei segnali Narrow-Band viene generato un impulso g_T

( )

t ogni T_s secondi, in questo caso la generazione avviene ogni T_c e dunque in un tempo T_s saranno creati M impulsi g_T

( )

t .

Osservando la (1.3) si nota che ogni simbolo di informazione viene moltiplicato per un numero M di chips della spreading sequence, per cui l’informazione prima legata a un solo simbolo di durata T_s, viene “espansa” su M simboli di durata T_c.

Si noti anche che la notazione

L

c k⎡_⎣ ⎤_⎦ deriva dalla periodicità della sequenza c k

[ ]

ed indica che la moltiplicazione avviene in maniera ciclica, nel senso che la sequenza viene scandita per tutta la sua durata L. In fig. 2 vengono mostrati i simboli di informazione, la

spreading sequence e il risultato della loro moltiplicazione. Anche nel caso di segnali SS la DSP dipende da G_T

( )

f 2; utilizzando un impulso rettangolare la banda del segnale (in banda base) è B( )SS =1/T_c =R_c mentre, con un impulso RRCR

( )

α , la banda risulta

( )

(1 ) / 2 (1 ) / 2

SS

c c

B = +

α

T =R +

α

(1.4)

Figura 2: Segnale DS/SS con short code (M=L=8)

Ora, ricordando che R_c =M R⋅ _s (ovvero T_s =M T⋅ _c) , la (1.4) può essere riscritta come

( )

(

1

)

(1 ) ( ) 2 2 SS s NB s R B M M M T

α

α

+ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ B (1.5)

dunque essa risulta espansa di un fattore M rispetto alla banda del segnale Narrow-Band precedentemente calcolata.

Per questa ragione M T T_s/ _c R_c/R_s

∆

= = è detto spreading factor, traducibile proprio come “fattore di espansione”.

Normalmente M è scelto in modo che sia R_c >> Rs, come conseguenza si ha che

( )SS ( )NB

B >>B (1.6)

Figura 3: DSP a radiofrequenza di un segnale Spread-Spectrum su canale AWGN

1.2.2 Architettura del trasmettitore digitale DS/SS

In fig. 4 è mostrato il diagramma a blocchi della sezione in banda base di un trasmettitore per segnali SS generati con la tecnica Direct-Sequence. Come abbiamo visto, la realizzazione di un segnale a spettro espanso usando la DS/SS, consiste nel moltiplicare i simboli di informazione d k

[ ]

, a rate R_S, per la sequenza di spreading c k

[ ]

a rate

.

c S

[ ]

T

g m

Figura 4: Diagramma a blocchi di un trasmettitore DS/SS in banda base

Si è inoltre osservato che un intervallo di simbolo T_s dura M intervalli di chip T_c.

Bisognerà allora che all’ingresso del moltiplicatore, per M tempi consecutivi, si presenti lo stesso simbolo

c

T

[ ]

d k . Ciò si realizza con un sovracampionamento a ripetizione (ovvero una ripetizione di ogni simbolo d k

[ ]

) di fattore M. Il flusso sovracampionato viene poi moltiplicato, ogni T_c, per la sequenza di chip, realizzando lo spreading.

Il risultato della moltiplicazione (mostrato in fig. 2) è un segnale a rate R in cui l’informazione prima legata a un solo simbolo

c

[ ]

d k è adesso espansa su M simboli c k

[ ]

. Il filtraggio è effettuato con un filtro FIR che realizza le versione campionata dell’impulso RRCR g_T

( )

t . Possiamo indicare la risposta impulsiva di tale filtro con

, dove

[ ] [ ]

T T

g m =g m T⋅ _SA T_SA =T_c/N_c e, normalmente, N_c =4.

Si noti che il segnale all’uscita del filtro è la versione digitale del segnale (1.3) campionato a rate . La rivelazione dei segnali DS/SS e le strutture dei vari ricevitori verranno trattate nel capitolo 2.

1/

SA SA

1.3 Tecniche di accesso multiplo al mezzo

Si parla di sistemi ad accesso multiplo quando un certo numero di utenti condivide un canale di comunicazione comune per trasmettere informazioni a un ricevitore. Esiste quindi la necessità di regolamentare l’accesso alle risorse disponibili da parte di ogni utente in modo che a ciascuno venga garantita la possibilità di trasmettere usufruendo delle stesse risorse riservate agli altri utenti.

Nei successivi paragrafi verranno analizzate la Time Division Multiple Access, la Frequency Division Multiple Access e la Code Division Multiple Access.

Nel caso della TDMA ad ogni utente viene fornita tutta la banda disponibile per un certo intervallo di tempo, e tale intervallo è reso disponibile ciclicamente dal sistema. Con la FDMA ogni utente ha a disposizione una propria porzione di banda alla quale può avere accesso senza interruzioni nel tempo. Con la CDMA gli utenti trasmettono allo stesso tempo e sulla stessa banda ma ciascuno con un codice diverso che lo identifica.

1.3.1 TDMA e FDMA

Come accennato nel paragrafo precedente, due interessanti approcci alla risoluzione del problema dell’accesso multiplo al mezzo, consistono nel suddividere, in maniera equa tra i diversi utenti, la risorsa disponibile. Cominciamo analizzando la multiplazione a suddivisione di tempo (TDM).

Immaginiamo che n segnali provenienti da n utenti diversi debbano essere trasmessi sullo stesso canale fisico e che ogni utente renda disponibile un simbolo di informazione (composto da una parola di m cifre binarie) ogni T secondi.

La creazione del segnale multiplex avviene in due fasi consecutive [Dan02]. In una prima fase, all’istante , gli n simboli provenienti dagli n utenti vengono scritti ordinatamente, a frequenza , in un buffer. Nella seconda fase la memoria viene letta con frequenza

. 0 t / m T / n m T⋅

In tal modo, in un tempo T , viene letto un blocco di n m⋅ cifre che costituisce la trama del segnale multiplex. Aumentando la frequenza di lettura di n volte rispetto a quella di scrittura e iniziando a leggere la memoria all’istante , il sistema riesce a completare la trasmissione delle cifre binarie all’istante

0

t

A questo punto gli utenti rendono disponibili n nuove parole che possono essere memorizzate nel buffer sovrascrivendo quelle vecchie già trasmesse. Viene poi ripetuto il ciclo di lettura per creare la nuova trama del segnale multiplex e così via. Le procedure di scrittura e lettura durano dunque un totale di T secondi e generano una sequenza continua di trame ciascuna di durata T e composta da n m⋅ cifre binarie. Dunque, nel caso di segnalazione binaria, la frequenza di segnalazione del segnale multiplex è n volte superiore a quella relativa a ciascuno degli n segnali multiplati.

Di conseguenza, ricordando che la banda minima necessaria a trasmettere un segnale è pari alla metà della frequenza di segnalazione, il segnale multiplex avrà banda n volte maggiore di quella m/ 2T relativa a ciascun segnale.

Figura 5: utilizzo delle risorse in un sistema TDMA

Come mostrato in fig. 5, la TDM è una tecnica basata sull’idea di permettere a ciascun utente di usare tutte le risorse disponibili (per esempio tutta la banda) per un intervallo di tempo limitato, fornito ciclicamente dal Sistema. Entrando nel dettaglio, in presenza di n

utenti, ciascuno avrà a disposizione l’intera banda ogni T secondi per un intervallo di durata T n/ .

Nel caso della multiplazione a suddivisione di frequenza (FDM), al contrario, ogni utente ha a disposizione solo una porzione dell’intera banda disponibile ma senza suddivisioni temporali, nel senso che ciascun utente ha accesso “continuo” alla porzione di banda ad esso assegnata (vedi fig. 6).

Normalmente, infatti, la banda occupata da un segnale è molto più piccola della banda del canale fisico di comunicazione, e pertanto, al fine di sfruttare al meglio le risorse disponibili, è necessario che lo stesso canale fisico sia condiviso da una molteplicità di utenti.

Se immaginiamo di avere N utenti, il segnale multiplex FDM, sarà formato dalla somma di N segnali, ciascuno proveniente da un modulatore che trasla alle frequenze f f1, 2,...,f N

i segnali modulanti a a (cioè quelli in cui risiede l’informazione) legati a ciascun utente. Il segnale multiplex così composto viene poi trasmesso sul canale sfruttando un sistema di comunicazione,

1, 2,...,aN

Figura 6: utilizzo delle risorse in un sistema FDMA

solitamente, a modulazione di ampiezza. La scelta delle frequenze f f₁, ₂,..., f_N di modulazione deve essere tale da far in modo che i filtri di ricezione possano “separare” i distinti segnali. È quindi necessario che tra le porzioni di banda assegnate a due utenti modulati a frequenze adiacenti, ci sia una banda di guardia, cioè una porzione di banda lasciata volontariamente libera. Normalmente, la scelta delle frequenze di modulazione, è effettuata secondo il criterio f_i+1= +f_i B dove B è la banda lorda del segnale pari alla somma della banda netta (quella propria del segnale modulante) e della banda di guardia. È immediato dedurre che, in presenza di N utenti, a ciascuno dei quali è assegnata una porzione di banda B, il segnale multiplex presenta banda N B⋅ .

1.3.2 Code Division Multiple Access (CDMA)

Nel paragrafo 1.2 abbiamo visto che la generazione di un segnale DS/SS avviene moltiplicando lo stream di dati per la sequenza di spreading. Questa operazione fa espandere lo spettro del segnale fino a coprire tutta la banda disponibile. Immaginiamo che N utenti debbano trasmettere i propri dati in formato DS/SS sullo stesso canale fisico. Si ripresenta il problema dell’accesso multiplo al mezzo che, in questo caso, può essere superato sfruttando le caratteristiche del segnale DS/SS. È possibile, infatti, assegnare ad ogni utente una sequenza di spreading differente. Così facendo tutti gli utenti potranno trasmettere allo stesso tempo sulla stessa banda. La separazione degli utenti, in questo caso, non avverrà nel dominio del tempo o della frequenza (come nel caso di TDMA e FDMA rispettivamente), ma nel dominio del codice (fig. 7).

Figura 7: utilizzo delle risorse in un sistema CDMA

Per questa ragione, la tecnica di accesso multiplo basata sulla divisione di codice è detta Code Division Multiple Access (CDMA). Si può chiarire il concetto di divisione di codice con un semplice esempio.

Immaginiamoci, assieme a tante persone, in una piccola sala a conversare in italiano; tutti stiamo parlando contemporaneamente e, quindi, comprendere ciò che il nostro interlocutore ci sta dicendo potrebbe essere complicato perché le parole delle altre persone nella sala (che utilizzano tutte la stessa lingua) gli si sovrapporrebbero. Se però nella sala ci fossero due persone a parlare tra loro in cinese, esse subirebbero una “interferenza” minore da parte degli altri (poiché le parole italiane sarebbero poco equivocabili come cinesi) e percepirebbero le parole degli altri più come un rumore che come un vero e proprio

disturbo. Ciò che in questo semplice esempio è la lingua parlata dalle persone nella sala, può essere associato al codice in una trasmissione DS/SS.

Si parla di CDMA sincrono (S-CDMA) quando le sequenze di spreading legate ad ogni utente sono generate tutte con uno stesso riferimento di chip e di simbolo (per esempio quando una Base Station trasmette contemporaneamente a un certo numero di utenti). In presenza di N utenti, come illustrato in [Fan04], il segnale S-CDMA in banda base, all’uscita dei filtri di trasmissione, può essere scritto come

( )

( ) ( )

_[

_]

( )

₍

1 // N i i i S CDMA _L T c i k

)

s t A d k M c k g t kT ∞ − = =−∞ ⎡ ⎤ =

∑

⋅

∑

⋅ _{⎣ ⎦}⋅ − (1.7)

dove la notazione ( ) identifica l’ampiezza, i dati e la sequenza di spreading dell’i-esimo utente.

i

Lo schema a blocchi del sistema che genera un segnale S-CDMA è mostrato in fig. 8.

( )1

A

( )1 c ( )2 c ( )N c ( )2

A

( )N

A

( )1

d

( )2

d

( )N

d

...

1.4 Canale radio-mobile

In molte applicazioni si può supporre che il canale aggiunga solo rumore termico al segnale trasmesso, senza alterarne la forma. Spesso, il rumore viene modellato come un processo gaussiano bianco a media nulla e DSP e, il canale, definito Additive White Gaussian Noise (AWGN). Nei canali radio-mobili, però, questo modello è poco realistico in quanto la propagazione avviene per cammini multipli, cioè all’antenna del ricevitore giungono diverse repliche del segnale trasmesso, ciascuna con un proprio ritardo, una propria fase e attenuata in maniera differente dalle altre. La propagazione per cammini multipli è causata dagli ostacoli incontrati dalle onde elettromagnetiche provenienti dal trasmettitore (fig. 9).

0/ 2

N

Figura 9: esempio di propagazione multipath

Diversi sono i fenomeni che possono dare origine a una propagazione multipath. Si parla di riflessione quando l’onda e.m. colpisce ostacoli di grandi dimensioni rispetto alla propria lunghezza d’onda λ ; in tal caso l’onda giunge al ricevitore con un certo ritardo (dipendente dallo spazio percorso) e una certa attenuazione dovuta alle caratteristiche elettriche dell’ostacolo. Quando, invece, l’onda colpisce parti molto aspre di ostacoli grandi rispetto a λ (si pensi agli “spigoli” dei palazzi) si parla di diffrazione. Come conseguenza di questo fenomeno, da una sola onda incidente se ne creano diverse, ciascuna attenuata e sfasata rispetto all’onda iniziale. La diffusione (scattering) è, invece, causato dall’impatto dell’onda con asperità le cui dimensioni sono dello stesso ordine di λ (per esempio

lampioni, alberi, etc.). In questo caso, le diffrazioni e le riflessioni che si verificano sono molteplici e, come conseguenza, si ha una diffusione del campo in una certa area.

1.4.1 Canale multipath statico

Immaginiamo un canale multipath a N raggi indipendenti. Se indichiamo con le attenuazioni relative a ciascun cammino, con

1, 2,..., N

a a a

1, 2,..., N

τ τ τ i ritardi e con ϕ ϕ₁, ₂,...,ϕ_N gli sfasamenti dovuti alla presenza degli ostacoli su ciascun cammino, possiamo scrivere la risposta in frequenza del canale come

( )

2 1 l N j j f l l C f a eϕ e− π τl = =

∑

⋅ ⋅ (1.8)

Si parla di canale multipath statico quando gli a_l, i τ_l e i

ϕ

_l sono costanti nel tempo. Un canale di questo tipo si può presentare, per esempio, nel caso in cui una antenna trasmetta un segnale a un ricevitore fisso che si trovi in ambiente urbano. In tal caso la propagazione avviene per cammini multipli a causa degli ostacoli, ma le attenuazioni e i ritardi si mantengono costanti nel tempo in quanto il trasmettitore “vede” sempre lo stesso canale. Al fine di studiare il comportamento in frequenza di un canale multipath statico, introduciamo il concetto di banda di coerenza B come il massimo intervallo in cui _c C f ( ) non varia apprezzabilmente. Per ricavare una notazione analitica di B , [Men01], _c indichiamo con 2 2 1 l l N k k a p a = =

∑

(1.9)

il peso del cammino l-esimo, cioè il contributo dato dall’l-esimo raggio alla potenza totale ricevuta, e con 1 N l l l p τ τ = =

∑

(1.10)

la media pesata dei ritardi.

È ora possibile calcolare la deviazione standard dei ritardi definita come

(

)

1 N l l l p τ σ τ τ = =

∑

− (1.11)

La (1.11) è un indice della tendenza dei ritardi τ_l ad allontanarsi dal valor medio τ e si può dimostrare che quanto più σ_τ è grande, tanto più la risposta in ampiezza del canale

( )

C f varia rapidamente. Dunque esisterà un legame di inversa proporzionalità tra σ_τ e

c B e si può scrivere 1 c B τ σ ∝ (1.12)

Se pensiamo a B come al massimo intervallo in cui _c C f( ) si mantiene “abbastanza piatta”, ci accorgiamo che il grado di distorsione esercitato dal canale su un certo segnale non dipende solo dalle caratteristiche del canale stesso, ma anche dalla banda del segnale trasmesso (fig. 10 (a), (b)).

( )

C f C

( )

f

f f

Per una cera velocità di segnalazione 1/T, il canale si definisce

• non selettivo se B_c 1/T. In questo caso tutte le componenti del canale vengono attenuate allo stesso modo (fig. 10(a)).

• selettivo se B _c≈1/T . In questo caso, a seconda della frequenza, le componenti del segnale vengono attenuate in maniera diversa causando distorsione (fig. 10(b)).

Nel caso di canale non selettivo, per quantificare la distorsione subita dal segnale, è sufficiente calcolare la risposta del canale alla frequenza portante, poiché in questo caso il canale ha risposta piatta nella banda del segnale.

Calcoliamo allora la risposta del canale alla frequenza f₀

( )

( )

( ) 0 0 2 0 1 0 l l N j j f l l j C f j C f C f a e e e e ϕ π τ θ γ − = ∠ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

∑

(1.13)

e chiamiamo A= ⋅γ ejθ . La risposta impulsiva del canale, alla frequenza f₀, è

( )

j

( )

( )

c t = ⋅γ eθ ⋅δ t = ⋅A δ t (1.14)

Se su questo canale trasmettiamo il segnale

( )

{

( )

j2 f t0

}

BP

s t = ℜ s t ⋅e π (1.15)

il segnale ricevuto, a meno del rumore termico, sarà

( )

( )

( )

{

( )

j2 f t0

}

BP BP

r t =s t ⊗c t = ℜ A s t⋅ ⋅e π (1.16)

( )

( )

r t = ⋅A s t (1.17)

ed ha la stessa forma di quello trasmesso venendo solo moltiplicato per la costante

j

A= ⋅γ eθ che rappresenta l’attenuazione complessa introdotta dal canale.

Nel caso di canale selettivo, invece, le diverse componenti frequenziali del segnale vengono attenuate in maniera differente. Anche in questo caso calcoliamo il segnale ricevuto come

( )

( ) ( )

BP BP

r t =s t ⊗c t (1.18)

ma questa volta la risposta impulsiva del canale non è una costante e può essere ricavata antitrasformando la (1.8), ottenendo

( )

(

1 l N j l l c t a e ϕ

δ

t

τ

_l

)

= =

∑

⋅ ⋅ − (1.19) Si avrà allora

( )

( )

(

)

(

)

1 1 l l N j BP BP l l l N j l l l r t s t a e t a e s t ϕ ϕ

δ

τ

τ

= = = ⊗ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

∑

∑

(1.20)

La (1.20) rende chiaro che il segnale ricevuto è una composizione di N repliche del segnale trasmesso ciascuna attenuata di un fattore a_l, ritardata di

τ

l secondi e sfasata di

l

ϕ

.

Concludendo possiamo dire che, nel caso di canale statico non selettivo, il segnale “non si accorge” della presenza dei cammini multipli e non viene dunque distorto, al contrario, nel caso di canale statico selettivo, la sovrapposizione delle repliche ha un effetto distorcente tanto più rilevante quanto più grandi sono i ritardi

τ

_l rispetto all’intervallo di segnalazione

.

1.4.2 Canale multipath variabile nel tempo

Nel paragrafo precedente abbiamo visto che nel caso in cui il trasmettitore e i ricevitori sono fissi, le attenuazioni (complesse) e i ritardi legati ai percorsi di propagazione sono delle costanti. Se però pensiamo a comunicazioni tra mezzi mobili, questa ipotesi non è più valida in quanto, a causa del movimento del ricevitore, il segnale non “vede” sempre lo stesso canale, le cui caratteristiche variano nel tempo. In questo caso la (1.19) va modificata, diventando (1.21)

( )

( )

( )

(

_{( )}

1 l N j t l l c t a t eϕ

δ

t

τ

t = =

∑

⋅ ⋅ − _l

)

dove le attenuazioni, gli sfasamenti e i ritardi non sono più costanti ma, per quanto appena detto, funzioni del tempo.

Con procedimento analogo a quello effettuato per il canale statico, ipotizziamo un canale variabile nel tempo non selettivo e calcoliamone la funzione di trasferimento alla frequenza portante f₀. Essa ha forma simile alla (1.13) valida per il canale statico non selettivo e vale

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

0 0 2 0 1 0 l l N j t j f t l l j C f j t C f C f a t e e e t e A t ϕ π θ γ − = ∠ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

∑

τ (1.22)

dove il modulo e la fase di C f

( )

₀ , in questo caso, sono funzioni del tempo.

Nel caso di canale statico, le attenuazioni subite dal segnale vengono analizzate con un approccio deterministico reso possibile dal fatto che le caratteristiche del canale sono costanti nel tempo.

In questo caso, invece, l’attenuazione complessa introdotta dal canale non è una costante, ma una funzione del tempo che varia in modo imprevedibile e che, per questa ragione, necessita di un approccio di tipo statistico per essere studiata.

Se ipotizziamo, come in [Men01], che il numero di cammini sia molto elevato, A t

( )

può essere modellato come un processo aleatorio gaussiano. Nel 1989, Clarke ha dimostrato

che, in particolari condizioni (raggi caratterizzati dalla stessa potenza media, componenti del campo incidente provenienti da tutte le direzioni), A t

( )

è approssimabile come un processo gaussiano stazionario con funzione di autocorrelazione

( )

2

(

)

0 2

A

R

τ

=

σ

J

π

fD

τ

(1.23)

dove

σ

2 =E A t

{ }

( )

2 è la potenza di A t

( )

, J₀

( )

x è la funzione di Bessel di ordine zero e f_D è la frequenza Doppler definita come

0 D v f f c = (1.24)

dove f₀ è la frequenza portante, v la velocità del mobile e c la velocità della luce nel vuoto.

Calcolando la trasformata di Fourier della (1.23) otteniamo la DS del processo A t

( )

data da

( )

(

)

2 2 1 2 _{1 /} A D D S f f _{f f}

σ

π

= ⋅ − (1.25) e riportata in fig. 11.

Dunque, l’attenuazione complessa variabile nel tempoA t

( )

, detta anche fading, ha banda pari alla frequenza Doppler. Ciò significa che, nel tempo, A t

( )

varia su intervalli dell’ordine di 1/ f o maggiori. Definiamo il tempo di coerenza del canale _D T₀ ≅1/ f_D

come il massimo intervallo temporale entro il quale A t

( )

rimane sostanzialmente invariata, se è l’intervallo di segnalazione, in un tempo possono essere effettuate

segnalazioni. Si parla di fading lento quando 1/ , ovvero quando il

T T₀

0/ 1/ D

fading si mantiene costante per numerosi intervalli di segnalazione e di fading veloce negli altri casi, cioè quando esso varia significativamente in pochi intervalli T.

Figura 11: DS di A t

( )

nel modello di Clarke

Nel caso di fading lento,A t

( )

, può essere pensata come una funzione costante a tratti e, analogamente a quanto fatto per il canale statico, essa può essere definita come

j

A

= ⋅

γ

e

θ (1.26)

dove, in questo caso, γ e

θ

non sono costanti ma variabili aleatorie estratte ad ogni intervallo pari al tempo di coerenza del canale. Normalmente θ è considerata una variabile uniformemente distribuita nell’intervallo

[

_{0, 2π}

]

mentre, per

γ

, si usano in pratica due modelli.

Il primo considera che nessuna componente multipath del segnale sia prevalente sulle altre. Questo modello è molto utilizzato per le propagazioni in ambiente urbano dove, non essendoci una linea di vista tra trasmettitore e ricevitori, la potenza ricevuta risulta

distribuita su tutti i cammini di propagazione. In queste condizioni A ha media nulla e γ

ha DDP di Rayleigh

( )

2

2

f_γ

γ

=

γ

⋅e−γ

γ

≥0 (1.27) Il secondo modello, invece, considera la presenza di un percorso prevalente sugli altri. È il

caso di trasmissioni in ambienti in cui esista visibilità diretta tra trasmettitore e ricevitore. In tal caso il segnale ricevuto può essere scomposto in due componenti: quella prevalente relativa alla componente diretta e quella diffusa pari alla somma di tutte le altre componenti. In questa condizione A ha media non nulla e γ ha DDP di Rice

( )

(

)

( ) 2

(

₍

₎

)

1

0

2 1 K K 2 1

f_γ

γ

=

γ

K + e− + γ − ⋅I

γ

K K +

γ

≥0 (1.28)

dove è la funzione di Bessel modificata di ordine zero e , detto fattore di Rice, è definito come

( )

0 I x K 2 0 2 1 N l l K

γ

γ

= =

∑

(1.29)

dove

γ

₀2 rappresenta il contributo in potenza relativo al percorso prevalente.

Nel caso di canale variabile nel tempo e selettivo, invece, non è possibile considerare il comportamento del canale alla sola frequenza centrale f₀ come fatto nella (1.22), poiché la risposta in frequenza del canale risulta non piatta nella banda del segnale. Non potendo dare dunque una descrizione precisa del comportamento di ogni canale, ci si riferisce spesso a studi empirici realizzati su canali che possono essere presi come rappresentativi di un dato ambiente. Si ottengono così dei profili di canale dai quali, come verrà mostrato nel prossimo paragrafo, vengono estratte condizioni da usare in fase di sperimentazione di sistemi di comunicazione.

1.5 Profili di canale GSM e UMTS

Gli studi empirici a cui si accennava nel paragrafo precedente, forniscono informazioni relative ai ritardi, e alle attenuazioni dei diversi percorsi di un canale multipath. Tali informazioni vengono spesso sintetizzate nel Power Delay Profile (o profilo di potenza/ritardo), un istogramma in cui, di ogni l-esimo cammino, viene riportato il ritardo relativo (cioè la differenza tra il ritardo effettivo

τ

_l il ritardo del percorso più breve

τ

₁) sulle ascisse e il contributo relativo in potenza (cioè il rapporto tra la potenza relativa all’l-esimo cammino e la potenza totale ricevuta) sulle ordinate.

Per il sistema GSM esistono due profili standard fondamentali realizzati nell’ambito dello studio COST207 che riguardava applicazioni macrocellulari.

Il primo riguarda l’ambiente urbano. Tale profilo prende il nome di TU50 ed è riportato in forma di tabella in Tab. 1.

Cammino Ritardo Relativo (

µ

s)

Potenza media relativa (dB) 1 0 - 3 2 0.2 0 3 0.6 - 2 4 1.6 - 6 5 2.4 - 8 6 5.0 - 10

Tabella 1: Profilo di canale TU50 per applicazioni GSM

Esso è riferito a trasmissioni con frequenza portante f₀ =800MHz e velocità del mobile .

50 /

v= Km h

Il secondo riguarda ambienti suburbani collinari ed è chiamato HT200. Esso considera la frequenza portante f₀ =800MHz e la velocità del mobile v=200Km h/ .

Cammino Ritardo Relativo (

µ

s)

Potenza media relativa (dB) 1 0 0 2 0.2 - 2 3 0.4 - 4 4 0.6 - 7 5 15.0 - 6 6 17.2 - 12

Tabella 2: Profilo di canale HT200 per applicazioni GSM

La tabella relativa al profilo HT200 è riportata in Tab. 2, mentre in fig. 12 è riportato un esempio di Power Delay Profile in forma di istogramma.

Analogamente a quanto appena esposto per il GSM, esistono profili di canale anche per le comunicazioni UMTS, riferiti in questo caso alla frequenza portante f₀ =1.9GHz.

In Tab. 3 sono riportati quattro profili di canale, i primi due (PA3, PB3) si riferiscono a utenti che si muovono a piedi, gli altri due (VA30, VA120) a utenti a bordo di veicoli.

Tabella 3: Profili di canale PA3, PB3, VA30, VA120 per applicazioni UMTS

Nelle simulazioni effettuate, come sarà esposto nei successivi capitoli, è stato utilizzato il profilo VA30 per applicazioni UMTS.