Al res eredellafrequenza,ifenomenisonosempre piustrettamente on atenati

Le e,5-8marzo2003

Lo studio dell'elettromagnetismonegli ultimi

50 anni: il ontributo delle te nologie informati he e

dei metodi matemati i

MarioCalamia

DipartimentodiElettroni aeTele omuni azioni-UniversitadiFirenze

OsservatorioAmbientalediCampiSalentina(Le)

1 Ri hiami

Ifenomenielettri iemagneti isononotidall'anti hita. Ifenomenielettri i

(ilnomederivadallaparolagre a\elektron")sonoprodottida ari heelet-

tri hee vengono aratterizzatidal ampoelettri o E, misuratoin V/m. I

fenomenimagneti i(il nomederivadallamagnetite,unmineraledelferro)

sonoprodottida ari hemagneti he,semprein oppia,evengono aratter-

izzatidal ampomagneti oH, misuratoin A/m.

Allor he i fenomeni elettri i e magneti i sono temporalmente variabili, si

parla di ampi elettromagneti i, ioe ampi elettri i e magneti i on ate-

nati. Il grado di on atenamento e funzione della variabilita temporale,

quindidellafrequenza. Al res eredellafrequenza,ifenomenisonosempre

piustrettamente on atenati.

Parlandodielettromagnetismo,allos opodievidenziareilruoloavutodalla

matemati a,tornautiledistingueredue aspettisigni ativi:

1. l'aspetto fenomenologi o (sperimentale) he parte dall'osservazione

dell'esperienza (o dall'analogia) per risalire alla legge he la gover-

na;i referentiprin ipalisonoCoulomb (1785),Volta(1799),Oersted

(1820)eFaraday(1831).

2. L'aspetto matemati o, on i tentativi di sintesi he portarono alla

formulazionediteorie hehannotrovatovalidazioneproprionell'espe-

rienza;ireferentiprin ipalisonoPoisson(1811),Green(1828),Maxwell

(1873).

Senza soermarsi sui ontributi degli s ienziati itati, e di altri, l'elet-

tromagnetismoin sensostrettotrovaidueriferimentiprin ipaliinFaraday

eMaxwell.

Faraday, proveniente da modesta famiglia e privo pertanto della ultura

matemati adei grandi ontemporanei,mafornito diun prodigiosointuito

si o,introdusseil on ettodi elettromagnetismo,ripreso poi daMaxwell

Faradaypostulol'esistenza dellelinee di forza, assegnandoallestesse una

vera euna propriarealtasi a(Maxwell postulerapersino l'esistenzadel-

l'etere)eintrodusseil on ettodipolarizzazionedeldielettri otradue on-

duttoriequindilas omparsadell'azioneimmediataadistanza( heeraalla

basedeilavoridiCoulomb).

Maxwell tradusse in forma matemati ala visione di Faraday introdu en-

do l'ipotesi della orrente di spostamento dielettri o e quindi della sua

propagazione,nelvuoto, onvelo ita . La oin idenzadi onlavelo ita

dellalu eeilfatto heil ampoe.m. fossetrasversale, ondusseroMaxwell

adenun iarelateoriaelettromagneti a dellalu e. Maxwellarrivo osal-

laformulazionedellesueequazioni, henon stoaris rivere,ormaiassunte

ome postulatofondamentale dell'elettromagnetismo. Da questeequazioni

sipossonoderivaretuttele lassi heleggidell'elettromagnetismo, ottenute

dalleesperienzedi laboratorio,e prevedere situazioni nuove, onfermatea

lorovoltadaesperienzesemprepiu sosti ate.

E o l'intre io tra esperienza e matemati ain un nesso ontinuo, he lo

sviluppodeglistrumentidi al oloharesosemprepiuprodigioso.

Le equazioni di Maxwell sono equazioni dierenziali, di ui i matemati i

sannodar ilasoluzione.

Pertantopotremmo on ludere he,avendoleequazionielesoluzioni,tutto

siarisolto. Lasituazionee,purtroppo, ompletamentediversa.

2 Soluzioni delle equazioni di Maxwell

LasoluzionedelleequazionidiMaxwell( hesono,loripeto,delleequazioni

dierenziali)ri hiedela onos enzadel ontorno(edellerelative ondizioni).

Lasoluzioneinforma hiusaestatapossibilesoloinpo hissimi asi (sfera,

ilindro, ono, semipiani, et .). Se il ontorno non apparteneva a questi

asi,losis omponevaeri ondu evaaformesempli i,inmododautilizzare

lesoluzioninote.



E questo il periodo delle soluzioniperforme sempli i, hesi esviluppato

nellaprimametadelse oloXX.

Nellase ondametadelse oloXXsisonosviluppatiimetodi approssimati,

he trovano supportonellosviluppodei al olatori(periododellesoluzioni

onapprossimazione). Al momento,i al olatorieranoan oralentiequin-

di bisognavamettere apunto parti olarialgoritmiperrendere ontenuti i

tempidi al olo.

a. MetododelMomento (MoM).



E il piu noto frai metodi approssimati,presentatonel 1967 daR.F.

Harrington (\Appli azione ad antenne lari") e nel 1982 da A. W.

Glisson,D.R.Wilton,S.M.Rao(\Appli azioneastrutturemoltepli e-

mente onnesse").

Ilmetododeimomentioperaneldominiodellafrequenzaelaversione

Nelmetododeimomenti,lastrutturavienesuddivisaintrattielemen-

tarisu uisisupponenotalaformadelladistribuzionedi orrente,ma



ein ognitalasuaampiezza. Datalasorgenteeimpostele ondizioni

al ontorno il problema e ri ondottoalla soluzione di un sistema li-

neare hegeneralmenteri hiedel'inversionediunamatri e.

L'inversionedellamatri e ostituis eillimitediappli abilitadelmeto-

do per he per strutture grandi (in termini di lunghezza d'onda) la

dimensionedellamatri e ondu ea:

 elevati tempidi al olo;

 elevatao upazionedi memoriadinami a;

 problemidi mal ondizionamento.

b. Metodiderivati dalmetododeimomenti(FDTDeFEM).

b.1 MetododelleDierenzeFinitenelDominiodelTempo(FDTD):

estatointrodottodaK.Yee(1966)edegeneralmenteappli ato

allesoluzionidiequazionidierenziali.

Ipunti hiavedelmetodosono:

 Sempli ita: le equazioni di Maxwell in forma dierenziale

sonodis retizzateneldominiospazialeetemporaleinmodo

sempli e;

 fa uso di una matemati a reale ( ontrapposta a quella in

ampo omplessodei metodi heoperanonel dominio della

frequenza);

 bensiprestaaunavisualizzazionedell'andamentotemporale

delle varie quantita ( iopermette una per ezione si adel

omportamentodel ampoelettromagneti o);

 elevata essibilita geometri a he permette la soluzione di

unaampiavarietadiproblemielettromagneti i(problemidi

a oppiamento, diantenna,direirradiazione,...)

Intalemetodo:

 lastrutturaedis retizzatauniformemente (ononuniforme-

mente);

 le derivate spaziali e temporali sono approssimate da dif-

ferenze nite entralioperatesu due punti esi ottiene os

unabuonaa uratezza on osti omputazionaliminimi.

L'FDTDsidimostrageneralmentepieÆ ientedelMoMquando

eri hiestalavalutazionesuunaampiabandadifrequenza.

b.2. MetododegliElementiFiniti(FEM).

 Introdottoda Courant (1943)ma appli ato aun problema

prati osolonel1959daDuÆn.

 Lastruttura suddivisain elementinonsovrappostiin uiil

ampo approssimatotramite funzionipolinomiali.

 EÆ ientenel asodistrutturediforma omplessain uisono

presentipi materiali.

 Matri erisultantesparsa(es lusoeventualmentelaparte in

uisonopresentipimateriali).

 Matri erisultantesparsa(es lusoeventualmentelaparte he

tiene ontodellaradiazione).

. Metodi asintoti i.

L'approssimazioneasintoti asiattua onunosviluppoinserieestudia

l'interazione di un'onda (prodotta da una sorgente lontana) on un

oggetto granderispettoalla lunghezzad'onda, onduttoreonon, per

mezzodell'equazionedelleonde onopportune ondizionial ontorno.

Itermini dellaseriesonofunzionedella omplessitadel ontornoede

possibileidenti areivari ontributi (otti asi a,dirazione).

d. Metodi perturbativi.

Utilizzati, inparti olare,nellos atteringdisuper ieruvide.

e. Metodi variazionali.

3 Soluzioni numeri he

La disponibilita di al olatori sempre piu velo i hamodi ato il modo di

arontarelasoluzionedeiproblemidi elettromagnetismo.

Vediamonerapidamenteil pro esso.

Sipartedaunodeimetodiapprossimati(MOM-FEM-FDTD)esis rivono

leequazionimatri ialiriferiteaitrattiin uiside omponelastruttura.

Alnediaumentarelafedeltadirappresentazionebisogna reareunamesh

semprepiutta equindilasoluzioneelegataallavelo itadel al olatore.

Losviluppodimetodi numeri isemprepiueÆ ientihapermessodiridurre

notevolmente siai tempi di al olo he l'o upazione di memoria rispetto

allete ni henumeri hetradizionali.

Metodinumeri i Nuovimetodi

tradizionali numeri i

Tempidi al olo O(N2) O(NlogN)

O upazionedi memoria O(N2) O(NlogN)

Neilnumerodiin ognitedelproblema

L'aumentatavelo itadei al olatorinonvienequindiutilizzatainmaniera

brutale, ma attraverso l'uso di algoritmi sempre piu eÆ ienti, he fanno

4 Modellizzazione elettromagneti a

Suunbinarioparallelo,siesviluppatalamessaapuntodimodelli. Gianel-

laprimametadelse oloXX(quello heabbiamo hiamatoil periododelle

soluzioniperforme sempli i), sel'oggetto eraappenapiu omplesso, losi

s omponevain forme sempli i dalle soluzioninote. Ilpro esso di adegua-

mento delmodelloallo strumento di al olo disponibileestato ostante e

trovariferimentonelmodo omeestatoimpostatolostudiodell'interazione

traondaelettromagneti aedoggetto,passandodall'analogiaotti a all'uso

di teorie sempre piu omplesse per meglio aratterizzare gli oggetti. Si e

passati osdaimodelli fondatisull'otti ageometri a,attraversoquelli he

utilizzano l'otti asi a, aquelli heintrodu onoi entridi diusioneper

unapiupuntuale aratterizzazionedeglioggetti.

Possiamo osriassumereil pro edimento des ritto:

a. l'otti a geometri a si basa sull'appli abilita delle leggi dell'otti a e

ri hiedequindisuper iessenzialmentepiane;

b. l'otti asi a, onl'introduzionedelle orrentisuper iali onsentean-

hel'estensioneasuper ileggermente urve(rispettoalla lunghezza

d'onda);

. lateoriageometri adelladirazione(siaGTD heUTD),ri hiedel'in-

dividuazionedei entrididiusioneequindi unamiglioredes rizione

del ontornodell'oggetto.

Al res eredelnumerodei entrididiusione, res ela omplessitadelmo-

delloequindidellesoluzioninumeri he,perlequalisiri hiedonoalgoritmi

semprepiueÆ ienti.

5 Con lusioni

Da quanto detto pre edentemente, e immediato arrivare alle on lusioni.

Losviluppodi al olatorivelo ihaeettivamentemodi atoilmodoin ui

s ienziatiedingegneriusanoglistrumentidi simulazioneelettromagneti a.

Si ontinuaastudiaree er aremodelli(elettromagneti i)adaltarisoluzione

heri hiedonoan he al olatorisemprepiuvelo i.

Puosembrareun gio o esasperatoed inutile. Manon e os per he redo

heinpo hi ampidellas ienza, omeinquelloelettromagneti o,lostimolo

re ipro o tra lo sviluppo delle te nologie informati he e la ri er a di piu

adeguatemodellizzazioni,abbiaavutounaimportanza ditalidimensioni.

Nella gura 1. si e messo a onfronto la omplessita della struttura da

studiare onlepotenzialitadellostrumentodi al oloeleridottedimensioni

dellostessoalpassaredeltempo.

Nella gura 2. a), b), ) l'evoluzione nella modellizzazione di un aereo

Nellavorodei olleghiA.FrenieA.Mori,sarannoillustratiedes rittial uni

metodi,derivatidaquelli presentati, perevidenziarelaloroappli abilitaa

asi on reti.

Figura1

Figura2