Esercizio 1
Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore
trascurabile, hanno raggi R1 = 10 cm, R2 = 20 cm, R3 = 40 cm. L’intercapedine compresa tra R2 e R3 e` riempita di ossigeno liquido (r = 1,5). Un generatore di f.e.m.
nota viene collegato al conduttore piu` interno (polo positivo) e piu` esterno (polo negativo). Si esprima, in funzione della carica sulle armature,
(a) il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a zero il potenziale sulla superficie piu` interna, esprimere (b) la differenza di potenziale tra i due conduttori piu` interni
e
(c) tra i due piu` esterni; si calcoli anche
(d) la capacita` dei due conduttori piu` interni e (e) dei due piu` esterni. Calcolare
(f) il valore numerico della carica sulle armature nel caso in cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti
valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e). Infine si calcoli (g) l’energia elettrostatica del sistema.
• Soluzione dell’esercizio 1
• Applicando la legge di Gauss nelle diverse regioni di spazio delimitate dalle sfere, troviamo il campo:
• Per il potenziale:
• Da cui si trova la ddp tra le sfere 1 e 2, e
r r R
Q
R r
r R Q
R r
r R Q
R r
r E
r
2 3 0
3 2 2
0
2 2 1
0
1
...
4 ... 1
...
4 ... 1
...
4 ... 1
...
...
...
0 )
(
2 1
1 0 0
2 0 1
...
...
1 1 4
1 4
4 ) 1
( ) (
1
1 1
1
R r r R
R Q r
Q
r dr Edr Q
r d E R
V r V
r
R
r
R r
R r
R
3 2
2 0
2 0 2
...
...
1 1 4
4 ) 1
( ) (
2
R r r R
R Q
r dr R Q
V r V
r
r
R r
• Da cui si trova la ddp tra le sfere 2 e 3. Possiamo quindi trovare la ddp tra le sfere 1 e 3:
• La capacita` tra le sfere 1 e 2 e`:
• E tra le sfere 2 e 3:
• Dall’espressione della ddp tra 1 e 3 possiamo ricavare la carica:
2 1
0 21
12 1 1
4 R R V
C Q
3 2
2 1
0 1
3
1 1
1 1
1 ) 4
( )
( R R R R
R Q V R
V
r
3 2
0 32
23 1 1
4
R R
V
C Q r
nC R
R R
R
R V R
Q V
r
10 4
. 0
1 2
. 0
1 5 . 1
1 2
. 0
1 1
. 0 10 1 99
. 8
600
1 4 1
1 1
1
) ( )
(
9
0
3 2
2 1
1 3
• La ddp tra le sfere 1 e 2 e`:
• E tra le sfere 2 e 3:
• Le capacita` tra 1, 3 e 2, 3 sono rispettivamente:
V pF
C Q 22.2
450 10 8
21
12
V
R R
R R
R R R
V R
V R
V R
V
r
450 4
. 0
1 2
. 0
1 5 . 1
1 2
. 0
1 1
. 0
1 0 . 2
1 1
. 0
1 600
1 1
1 1
1
1 1
) ( )
( )
( )
(
3 2
2 1
2 1
1 3
1 2
V
R V R
V R
V R
V R
V R
V
150 450
600
) ( )
( )
( )
( )
( )
(
3 2 3 1 2 1
V pF
C Q 66.7 150
10 8
23
23
• Per calcolare l’energia elettrostatica conviene prima calcolare la capacita` risultante, tenendo conto che le coppie di conduttori 1,2 e 2,3 sono posti in serie:
• L’energia e` quindi:
C pF C
C
C C 16.7
23 12
23 12
13
J V
C
E
13 31216 . 7 10
12600
23 10
62
1 2
1
Esercizio 2
Nel circuito seguente sono presenti due resistenze R1, R2, una sorgente di fem E, un’induttanza L e un interruttore A.
Inizialmente l’interruttore e` aperto, di modo che e`
presente una sola maglia.
Trovare
(a) la corrente circolante nella maglia, (b) la potenza erogata dal generatore,
(c) la potenza dissipara in ciascuna resistenza.
Successivamente, all’istante t = 0, l’interruttore A viene chiuso. Trovare
(d) le correnti circolanti nelle due maglie (indicate con 1 e 2) nell’istante in cui A viene chiuso e
(e) per un tempo arbitrariamente grande (supponendo, come accade, di raggiungere uno stato stazionario). In quest’ultimo caso calcolare
(f) la potenza erogata dal generatore,
(g) la potenza dissipara in ciascuna resistenza,
(h) l’energia magnetica dell’induttanza. Si trovi infine
(i) in modo analitico l’andamento temporale delle correnti circolanti nelle due maglie al tempo arbitrario t e se ne schizzi il grafico.
R1
E
R2
L
A
1 2
• Soluzione dell’esercizio 2
• Prima della chiusura dell’interruttore abbiamo un semplice circuito con generatore e resistenza. La seconda legge di Kirchhoff ci permette di trovare la corrente circolante:
• La potenza erogata dal generatore e`:
• E quella dissipata in ciascuna resistenza:
• Si verifica subito che la somma delle potenze dissipate nelle resistenze uguaglia la potenza erogata dal
generatore:
R R I
E
1
22
1
R
R I E
2 1
2
R R
EI E P
G
1 2
2 1 1
2
1 R
R R R E
I
P
2 2
2 1 2
2
2 R
R R R E
I
P
PG
P P1 2
• Alla chiusura dell’interruttore, detta EL la fem dell’induttanza, applichiamo la seconda legge di
Kirchhoff alle due maglie indicate nella figura del testo:
• Al tempo t=0 in cui avviene la chiusura, le correnti assumono valori continui rispetto a tempi precedenti, quindi:
• Per tempi sufficientemente grandi, le correnti diventano stazionarie, EL si annulla e i valori delle correnti si
trovano dalle equazioni semplificate:
• Quindi:
• La potenza del generatore e` in questo caso:
1
1
R
i E
I i
i
1
2
2 2
1 1
0 R i i R E
2
0 i
2 2
1 1
i R E
i R E
E
L
L
1 2
1
R
Ei E
P
G
• La potenza dissipata nelle resistenze e`:
• L’energia magnetica immagazzinata nell’induttanza e`:
• La soluzione analitica si ottiene studiando le equazioni ottenute dalla legge di Kirchhoff. Esplicitiamo intanto EL
in funzione della corrente che scorre nell’induttanza:
• Sommando le due equazioni si elimina la derivata:
• Da questa equazione si ricava i2 in funzione di i1:
2
0
1 2 1
2 1 1
P
R R E
i P
2
1 2
1
2
1 2
1
R
L E E Li
2 2 1
2
1 1 2
1
i dt R
i i
L d
i dt R
i i
L d E
2 2 1
1
i R i R
E
2 1 1
2
R
i R i E
• Che sostituita nella prima equazione di Kirchhoff, dopo aver raccolto i termini, da`:
• Questa equazione ha la stessa forma dell’equazione di un circuito LR, sostituito L con
• L’equazione si risolve tenuto conto della condizione iniziale i1 = I. A conti fatti si ottiene:
• Con la costante di tempo
• Dalla relazione algebrica tra le correnti si ricava i2 :
1 1 1
2
1
1R i
dt di R
L R
E
2
1
1R L R
e
t R R
R R
t E i
2 1
2 1
1
( ) 1
2 1
1 1
R L R
e
tR R
t E
i
2 1
2
( )
• Il grafico delle correnti e` il seguente:
2
1 R
R I E
t i
i1
i2
R1
E
