TERMINE NOTO

TERMINE NOTO

Formule di quadratura Gauss-Legendre

Sono formule per l’approssimazione di integrali.

� 1

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx�

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

dove:

ˆ

x_j sono (n + 1) punti distinti in (−1, 1) detti nodi di quadratura, ˆ

wj sono (n + 1) valori reali positivi detti pesi di quadratura

n xˆ_j wˆ_j

1 −^√1₃, ^√1₃ 1, 1

2 −^√5¹⁵, 0, ^√₅^{15 5}₉, ⁸₉, ⁵₉

3 ±

√525−70√ 30

35 ,±

√525+70√ 30

35 , ⁽¹⁸⁺₃₆^√30), ⁽¹⁸⁻₃₆^√30)

Per ogni n≥ 1, i nodi di quadratura {ˆxj}ⁿj=0 sono le radici del polinomio di Legendre L_n+1(ˆx) (di grado n + 1); i pesi sono ˆw_j= _(1−ˆx2 ²

j)[L^�_n+1(ˆxj)]²

Polinomi di Legendre

I polinomi di Legendre{Ln(x)∈ Pn, n = 0, 1, . . . ,} soddisfano la relazione ricorsiva

L0(x) = 1, L1(x) = x, e per n≥ 1 Ln+1(x) = 2n + 1

n + 1 xLn(x)− n

n + 1Ln−1(x),

-1 -0.5 0 0.5 1

x -1

-0.5 0 0.5 1

Formule di quadratura gaussiane (cont’d..)

Le formule di Gauss-Legendre hanno grado di esattezza pari a 2n + 1, ovvero, se ˆg `e un polinomio di grado ≤ 2n + 1, allora si ha:

� 1

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx=

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

Pi`u in generale, se ˆg ∈ H^s+1(−1, 1),¹ allora

��

��

��

� ₁

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx−

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

��

��

��≤

�1 n

�s+1

�ˆg�H^s+1(−1,1)

1H^s+1(−1, 1) `e lo spazio di Sobolev di ordine (s + 1), cio`e `e lo spazio delle funzioni definite su (−1, 1) le cui derivate in senso distribuzionale fino all’ordine (s + 1) stanno nello spazio L²(−1, 1).

Formule di quadratura gaussiane (cont’d..)

nodi e pesi Gauss-Legendre (GL) in (a, b) ⊂ R:

Se (ˆxj, ˆwj), per j = 0, . . . , n, sono i nodi in (−1, 1), allora

� b a

g (x)dx�

�N j=0

g (xj)wj, con

xj = b− a

2 xˆj +a + b

2 , wj = b− a 2 wˆj

1 a

x

−1 b

Φ ˆ

x

TERMINE NOTO

Formule di quadratura Gauss-Legendre

Sono formule per l’approssimazione di integrali.

� 1

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx�

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

dove:

ˆ

x_j sono (n + 1) punti distinti in (−1, 1) detti nodi di quadratura, ˆ

wj sono (n + 1) valori reali positivi detti pesi di quadratura

n xˆ_j wˆ_j

1 −^√1₃, ^√1₃ 1, 1

2 −^√5¹⁵, 0, ^√₅^{15 5}₉, ⁸₉, ⁵₉

3 ±

√525−70√ 30

35 ,±

√525+70√ 30

35 , ⁽¹⁸⁺₃₆^√30), ⁽¹⁸⁻₃₆^√30)

Per ogni n≥ 1, i nodi di quadratura {ˆxj}ⁿj=0 sono le radici del polinomio di Legendre L_n+1(ˆx) (di grado n + 1); i pesi sono ˆw_j= _(1−ˆx2 ²

j)[L^�_n+1(ˆxj)]²

Polinomi di Legendre

I polinomi di Legendre{Ln(x)∈ Pn, n = 0, 1, . . . ,} soddisfano la relazione ricorsiva

L0(x) = 1, L1(x) = x, e per n≥ 1 Ln+1(x) = 2n + 1

n + 1 xLn(x)− n

n + 1Ln−1(x),

-1 -0.5 0 0.5 1

x -1

-0.5 0 0.5 1

Formule di quadratura gaussiane (cont’d..)

Le formule di Gauss-Legendre hanno grado di esattezza pari a 2n + 1, ovvero, se ˆg `e un polinomio di grado ≤ 2n + 1, allora si ha:

� 1

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx=

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

Pi`u in generale, se ˆg ∈ H^s+1(−1, 1),¹ allora

��

��

��

� ₁

−1

ˆ

g (ˆx)d ˆx−

�n j=0

ˆ g (ˆxj) ˆwj

��

��

��≤

�1 n

�s+1

�ˆg�H^s+1(−1,1)

1H^s+1(−1, 1) `e lo spazio di Sobolev di ordine (s + 1), cio`e `e lo spazio delle funzioni definite su (−1, 1) le cui derivate in senso distribuzionale fino all’ordine (s + 1) stanno nello spazio L²(−1, 1).

Formule di quadratura gaussiane (cont’d..)

nodi e pesi Gauss-Legendre (GL) in (a, b) ⊂ R:

Se (ˆxj, ˆwj), per j = 0, . . . , n, sono i nodi in (−1, 1), allora

� b a

g (x)dx�

�N j=0

g (xj)wj, con

xj = b− a

2 xˆj +a + b

2 , wj = b− a 2 wˆj

1 a

x

−1 b

Φ ˆ

x

ϕ2i+1

ϕ2i

x2i−2 x2i−1 x_2i x2i+1 x_2i+2 T_i T_i+1

ELEMENTI FINITI QUADRATICI

T_i ˆ

ϕ0 ϕ2i−2 ϕ2i−1 ϕ2i

x_2i−1 x2i−2 x_2i ˆ

ϕ1 ϕˆ2

ˆ 1

−1 T

Errore di approssimazione fem- P

Grazie al Lemma di C´ea abbiamo

�u − uh�H¹(Ω) ≤ M α inf

vh∈Vh�u − vh�H¹(Ω)

Dobbiamo stimare l’errore di miglior approssimazione

vhinf∈Vh�v − vh�H¹(Ω) ∀v ∈ V

Interpolazione composita lineare di Lagrange

Dati Ω⊂ R intervallo, Np punti distinti xi in Ω e v ∈ C⁰(Ω).

L’interpolatore composito lineare di v `e una funzione Π¹_hv (x) t.c.:

1. Π¹_hv ∈ C⁰(Ω), 2. Π¹_hv���

[x_i−1,x_i]∈ P1

3. Π¹_hv (xi) = v (xi) per i = 1, . . . , Np (condizioni di interpolazione)

Π¹_hv (x) =

Np

�

i=1

v (xi)ϕi(x) {ϕi(x)} = base di Xh

0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3

y

Errore di interpolazione

TeoremaSia Ω⊂ R^d, sia v ∈ H^s+1(Ω),² con s > d/2, e sia Π¹_hv∈ Xh il polinomio di interpolazione composita di Lagrange di grado locale 1.

Allora

�v − Π¹hv�L²(Ω) ≤ C0h²�v�H^s+1(Ω)

�v − Π¹hv�H¹(Ω) ≤ C1h�v�H^s+1(Ω).

2H^s+1(Ω) `e lo spazio di Sobolev di ordine s + 1, contiene funzioni definite su Ω le cui derivate in senso distribuzionale fino all’ordine s + 1 stanno nello spazio L²(Ω)

Confronto tra norme di L

e di H

� −u^��+ σu = f x ∈ Ω = (0, 1) σ = 10⁴, f = 10⁴ u(0) = u(1) = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y

Se v ≡ 1, abbiamo �v�L²(Ω)= 1 e �v�H¹(Ω)= 0.

⇒ �v� � �u� , ma�v� `e ben diversa da �u�

Errore di approssimazione fem- P

Grazie al Lemma di C´ea ed alla stima dell’errore di interpolazione abbiamo

�u − uh�H¹(Ω) ≤ M α inf

vh∈Vh�u − vh�H¹(Ω)

≤ M

α�u − Π¹hu�H¹(Ω)≤ M

αc1h�u�H^s+1(Ω)

quindi:

�u − uh�H¹(Ω) ≤ c1h�u�H^s+1(Ω) ∀u ∈ H^s+1(Ω) Applicando una tecnica dimostrativa (detta di Aubin–Nitsche) si ottiene

�u − uh�L²(Ω) ≤ c0h²�u�H^s+1(Ω) ∀u ∈ H^s+1(Ω)

Interpolazione composita di Lagrange di grado r ≥ 1

Dati Ω⊂ R intervallo, r ≥ 1 intero, una partizione Th di Ω in N + 1 intervalli Tk, r + 1 punti distinti xi in ogni Tk, v ∈ C⁰(Ω).

L’interpolatore composito di grado r di v `e una funzione Π^r_hv (x) t.c.:

1. Π^r_hv ∈ C⁰(Ω), 2. Π^r_hv���

T_k ∈ Pr

3. Π^r_hv (xi) = v (xi) (i = 1, . . . , Np)

Π^r_hv (x) =

Np

�

i=1

v (xi)ϕi(x) Np= numero totale di punti distinti

r

-1 -0.5 0 0.5 1

x -0.5

0 0.5 1

y

N = 2, r = 3, Nh= 10

Errore di interpolazione

TeoremaSia Ω⊂ R^d, sia v ∈ H^s+1(Ω),³ con s > d/2, e sia Π^r_hv∈ X_h^r con r ≥ 1 il polinomio di interpolazione composita di Lagrange di grado locale r .

Allora

�v − Π^rhv�L²(Ω) ≤ C0,rhmin(s,r )+1�v�H^s+1(Ω)

�v − Π^rhv�H¹(Ω) ≤ C1,rh^{min(r ,s)}�v�H^s+1(Ω).

3H^s+1(Ω) `e lo spazio di Sobolev di ordine s + 1, contiene funzioni definite su Ω le cui derivate in senso distribuzionale fino all’ordine s + 1 stanno nello spazio L²(Ω)

Errore di approssimazione fem- P

�u − uh�H¹(Ω) ≤ M α inf

vh∈Vh�u − vh�H¹(Ω)≤ M

α�u − Π^rhu�H¹(Ω)

quindi:

�u − uh�H¹(Ω)≤ c1h^{min(r ,s)}�u�H^s+1(Ω) ∀u ∈ H^s+1(Ω) e

�u − uh�L²(Ω)≤ chmin(r ,s)+1�u�H^s+1(Ω) ∀u ∈ H^s+1(Ω)

r u∈ H¹(Ω) u ∈ H²(Ω) u ∈ H³(Ω) u ∈ H⁴(Ω) u ∈ H⁵(Ω)

1 converge h¹ h¹ h¹ h¹

2 converge h¹ h² h² h²

3 converge h¹ h² h³ h³

4 converge h¹ h² h³ h⁴