Insegnare relatività

(1)

Insegnare relatività

nel XXI secolo

(2)

P r o b l e m i s u i

m o d e l l i c o s m o l o g i c i

(3)

Problema

Si consideri un ipotetico universo in cui R = at.

Assumendo H = 70 km s ^–1 Mpc ^–1 calcolare:

a) la relazione redshiftdistanza b) il valore del “tempo presente”.

È stato osservato un oggetto con z = 4. Calcolare:

c) la distanza attuale dell'oggetto

d) la variazione di tale distanza nel tempo

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

(4)

Il problema appare molto complesso, ma se lo si affronta per gradi è più semplice di quanto appare.

In ogni intervallo elementare dt la luce percorre una distanza c dt (la velo

cità della luce è sempre c !).

Espressa nella coordinata comovente , questa distanza vale (come ab

biamo visto) R d.

Confrontando

c dt = at d

che si può integrare immediatamente:

 = (2c / a) (t _r – t _e ) = (2c / a ² ) (R _r – R _e )

dove  è la coordinata comovente della sorgente di luce, t _e il tempo di emissione, t _r quello di ricezione, R _e e R _r i corrispondenti parametri di sca

la.

(5)

Detta l _r la distanza della sorgente al tempo t _r , sarà l _r = R _r  e quindi l _r = (2c / a ² ) R _r ² (1 – R _e /R _r ) = (2c / a ² ) R _r ² [1 – 1/(1 + z)] =

= (2c / a ² ) R _r ² z /(1 + z).

Conviene porre

D = (2c / a ² ) R _r ² = 2c t _r ; vedremo fra poco il significato di D.

Allora

l _r = D z /(1 + z) z = l _r / ( D – l _r ). (1) Le (1) rispondono alla prima domanda.

Le (1) mostrano inoltre che z  ∞ quando l _r  D.

Ciò significa che non si può ricevere luce da distanze maggiori di D, os

sia che D è l'orizzonte del nostro modello d'universo.

(6)

Per rispondere a b) occorre calcolare H in funzione di t _r , cosa che si ot

tiene dalla seconda delle (1) assumendo l _r ≪ D.

Si ha infatti z = l _r / D, e con z = v/c :

v = c l _r / D.

Dunque H = c / D, e D = c / H.

Possiamo usare queste relazioni per verificare la fornula data alla fine del

la lezione precedente e non dimostrata: H = (1/R) (dR/dt).

Basta partire da R = at, derivare, e usare D = 2c t _r . I passaggi sono

semplici.

(7)

Col valore numerico dato di H si trova D = 4.3 Gpc = 14×10 ⁹ anni

luce (1 pc = 3.26 anniluce).

Il valore di t _r si ricava dall'espressione già vista: D = 2c t _r . Risulta t _r = 7×10 ⁹ anni.

È il caso di ricordare a questo punto che stiamo lavorando su un modello

fittizio, quindi non si devono prendere sul serio i numeri...

(8)

Rivediamo le domande che restano:

È stato osservato un oggetto con z = 4. Calcolare:

c) la distanza attuale dell'oggetto

d) la variazione di tale distanza nel tempo

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

(9)

c) la distanza attuale dell'oggetto.

La distanza attuale si ottiene subito da l _r = D z /(1 + z): l _r = 3.4 Gpc.

d) la variazione di tale distanza nel tempo.

Questo è un punto più delicato.

È ovvio che si deve calcolare la derivata di l _r rispetto a t _r ; ma che cosa va tenuto costante quando si deriva?

La sola grandezza che resta costante durante l'espansione è la coordinata comovente  della sorgente: partiamo dunque da l _r = R _r  e deriviamo, ri

cordando anche che R = at:

dl _r /dt _r = (dR _r /dt _r )  = (a / 2t _r )  =

= (a / 2t _r ) (l _r / at _r ) = l _r / 2t _r = H l _r Mettendo i numeri:

dl _r /dt _r = 2.4×10 ⁵ km/s.

(10)

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e .

La distanza all'emissione si calcola facilmente, dato che tutte le distanze variano come R. Quindi

l _e = l _r (R _e / R _r ) = l _r / (1 + z) = 0.68 Gpc.

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

Il calcolo si fa come prima:

dl _e /dt _e = l _e / 2t

_e

. Sappiamo già che l _e = l _r / (1 + z); quanto a t _e :

t _e = R _e / a ² = (R _r ² / a ² ) / (1 + z) ² = t _r / (1 + z) ² e perciò

dl _e /dt _e = (l _r / 2t

_r

) (1 + z) = H l _r (1 + z).

Il risultato numerico è 1.2×10 ⁶ km/s, ossia 4c, e questo era lo scopo della

Insegnare relatività

Insegnare relatività

nel XXI secolo

P r o b l e m i s u i

m o d e l l i c o s m o l o g i c i

Problema

Si consideri un ipotetico universo in cui R = at.

Assumendo H = 70 km s –1 Mpc –1 calcolare:

a) la relazione redshift­distanza b) il valore del “tempo presente”.

È stato osservato un oggetto con z = 4. Calcolare:

c) la distanza attuale dell'oggetto

d) la variazione di tale distanza nel tempo

e) la distanza all'istante di emissione t = t e

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

Il problema appare molto complesso, ma se lo si affronta per gradi è più semplice di quanto appare.

In ogni intervallo elementare dt la luce percorre una distanza c dt (la velo­

cità della luce è sempre c !).

Espressa nella coordinata comovente , questa distanza vale (come ab­

biamo visto) R d.

Confrontando

c dt = at d

che si può integrare immediatamente:

 = (2c / a) (t r – t e ) = (2c / a 2 ) (R r – R e )

dove  è la coordinata comovente della sorgente di luce, t e il tempo di emissione, t r quello di ricezione, R e e R r i corrispondenti parametri di sca­

la.

Detta l r la distanza della sorgente al tempo t r , sarà l r = R r  e quindi l r = (2c / a 2 ) R r 2 (1 – R e /R r ) = (2c / a 2 ) R r 2 [1 – 1/(1 + z)] =

= (2c / a 2 ) R r 2 z /(1 + z).

Conviene porre

D = (2c / a 2 ) R r 2 = 2c t r ; vedremo fra poco il significato di D.

Allora

l r = D z /(1 + z) z = l r / ( D – l r ). (1) Le (1) rispondono alla prima domanda.

Le (1) mostrano inoltre che z  ∞ quando l r  D.

Ciò significa che non si può ricevere luce da distanze maggiori di D, os­

sia che D è l'orizzonte del nostro modello d'universo.

Per rispondere a b) occorre calcolare H in funzione di t r , cosa che si ot­

tiene dalla seconda delle (1) assumendo l r ≪ D.

Si ha infatti z = l r / D, e con z = v/c :

v = c l r / D.

Dunque H = c / D, e D = c / H.

Possiamo usare queste relazioni per verificare la fornula data alla fine del­

la lezione precedente e non dimostrata: H = (1/R) (dR/dt).

Basta partire da R = at, derivare, e usare D = 2c t r . I passaggi sono

semplici.

Col valore numerico dato di H si trova D = 4.3 Gpc = 14×10 9 anni­

luce (1 pc = 3.26 anni­luce).

Il valore di t r si ricava dall'espressione già vista: D = 2c t r . Risulta t r = 7×10 9 anni.

È il caso di ricordare a questo punto che stiamo lavorando su un modello

fittizio, quindi non si devono prendere sul serio i numeri...

Rivediamo le domande che restano:

È stato osservato un oggetto con z = 4. Calcolare:

c) la distanza attuale dell'oggetto

d) la variazione di tale distanza nel tempo

e) la distanza all'istante di emissione t = t e

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

c) la distanza attuale dell'oggetto.

La distanza attuale si ottiene subito da l r = D z /(1 + z): l r = 3.4 Gpc.

d) la variazione di tale distanza nel tempo.

Questo è un punto più delicato.

È ovvio che si deve calcolare la derivata di l r rispetto a t r ; ma che cosa va tenuto costante quando si deriva?

La sola grandezza che resta costante durante l'espansione è la coordinata comovente  della sorgente: partiamo dunque da l r = R r  e deriviamo, ri­

cordando anche che R = at:

dl r /dt r = (dR r /dt r )  = (a / 2t r )  =

= (a / 2t r ) (l r / at r ) = l r / 2t r = H l r Mettendo i numeri:

dl r /dt r = 2.4×10 5 km/s.

e) la distanza all'istante di emissione t = t e .

La distanza all'emissione si calcola facilmente, dato che tutte le distanze variano come R. Quindi

l e = l r (R e / R r ) = l r / (1 + z) = 0.68 Gpc.

f) la variazione nel tempo di tale distanza.

Il calcolo si fa come prima:

dl e /dt e = l e / 2t

. Sappiamo già che l e = l r / (1 + z); quanto a t e :

t e = R e / a 2 = (R r 2 / a 2 ) / (1 + z) 2 = t r / (1 + z) 2 e perciò

dl e /dt e = (l r / 2t

) (1 + z) = H l r (1 + z).

Il risultato numerico è 1.2×10 6 km/s, ossia 4c, e questo era lo scopo della

domanda!

Non c'è niente di paradossale nell'aver trovato un valore superiore a c, per­

ché dl e /dt e non può essere interpretata come velocità della sorgente ri­

spetto al ricevitore.

Infatti questa interpretazione richiederebbe di poter definire un RI che si

Assumendo H = 70 km s ^–1 Mpc ^–1 calcolare:

a) la relazione redshiftdistanza b) il valore del “tempo presente”.

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e

In ogni intervallo elementare dt la luce percorre una distanza c dt (la velo

Espressa nella coordinata comovente , questa distanza vale (come ab

 = (2c / a) (t _r – t _e ) = (2c / a ² ) (R _r – R _e )

dove  è la coordinata comovente della sorgente di luce, t _e il tempo di emissione, t _r quello di ricezione, R _e e R _r i corrispondenti parametri di sca

Detta l _r la distanza della sorgente al tempo t _r , sarà l _r = R _r  e quindi l _r = (2c / a ² ) R _r ² (1 – R _e /R _r ) = (2c / a ² ) R _r ² [1 – 1/(1 + z)] =

= (2c / a ² ) R _r ² z /(1 + z).

D = (2c / a ² ) R _r ² = 2c t _r ; vedremo fra poco il significato di D.

l _r = D z /(1 + z) z = l _r / ( D – l _r ). (1) Le (1) rispondono alla prima domanda.

Le (1) mostrano inoltre che z  ∞ quando l _r  D.

Ciò significa che non si può ricevere luce da distanze maggiori di D, os

Per rispondere a b) occorre calcolare H in funzione di t _r , cosa che si ot

tiene dalla seconda delle (1) assumendo l _r ≪ D.

Si ha infatti z = l _r / D, e con z = v/c :

v = c l _r / D.

Possiamo usare queste relazioni per verificare la fornula data alla fine del

Basta partire da R = at, derivare, e usare D = 2c t _r . I passaggi sono

Col valore numerico dato di H si trova D = 4.3 Gpc = 14×10 ⁹ anni

luce (1 pc = 3.26 anniluce).

Il valore di t _r si ricava dall'espressione già vista: D = 2c t _r . Risulta t _r = 7×10 ⁹ anni.

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e

La distanza attuale si ottiene subito da l _r = D z /(1 + z): l _r = 3.4 Gpc.

È ovvio che si deve calcolare la derivata di l _r rispetto a t _r ; ma che cosa va tenuto costante quando si deriva?

La sola grandezza che resta costante durante l'espansione è la coordinata comovente  della sorgente: partiamo dunque da l _r = R _r  e deriviamo, ri

dl _r /dt _r = (dR _r /dt _r )  = (a / 2t _r )  =

= (a / 2t _r ) (l _r / at _r ) = l _r / 2t _r = H l _r Mettendo i numeri:

dl _r /dt _r = 2.4×10 ⁵ km/s.

e) la distanza all'istante di emissione t = t _e .

l _e = l _r (R _e / R _r ) = l _r / (1 + z) = 0.68 Gpc.

dl _e /dt _e = l _e / 2t

. Sappiamo già che l _e = l _r / (1 + z); quanto a t _e :

t _e = R _e / a ² = (R _r ² / a ² ) / (1 + z) ² = t _r / (1 + z) ² e perciò

dl _e /dt _e = (l _r / 2t

) (1 + z) = H l _r (1 + z).

Il risultato numerico è 1.2×10 ⁶ km/s, ossia 4c, e questo era lo scopo della

Non c'è niente di paradossale nell'aver trovato un valore superiore a c, per

ché dl _e /dt _e non può essere interpretata come velocità della sorgente ri

dalla curvatura dello spaziotempo.