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1) Si consideri l’applicazione lineare

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizi sugli endomorfismi simmetrici

1) Si consideri l’applicazione lineare

f : R

2

→ R

2

v = (x, y) 7→ (x + 2y, 2x − y)

a) Verificare che si tratta di un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare stan- dard · di R

2

.

b) Determinare una base ortonormale di autovettori per f .

c) Determinare la forma canonica della forma quadratica Q

f

corrispondente a f . 2) Si consideri l’applicazione lineare

f : R

3

→ R

3

v = (x, y, z) 7→ (x − y, −x + 2y + z, y + z)

a) Verificare che si tratta di un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare stan- dard · di R

3

.

b) Determinare una base ortonormale di autovettori per f .

c) Determinare la forma canonica della forma quadratica Q

f

corrispondente a f .

3) Si consideri l’applicazione lineare f : R

3

→ R

3

che ad ogni vettore v = (x, y, z) associa il suo simmetrico rispetto al piano vettoriale π : x − y = 0.

a) Scrivere l’espressione esplicita di f .

b) Verificare che si tratta di un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare stan- dard · di R

3

.

c) Determinare una base ortonormale di autovettori per f . 4) Si consideri la forma quadratica

Q : R

3

→ R

v = (x

1

, x

2

, x

3

) 7→ 4x

21

+ 5x

21

− 2x

1

x

2

+ 5x

23

a) Scrivere l’espressione esplicita dell’endomorfismo simmetrico f corrispondente a Q rispetto al prodotto scalare standard · di R

3

.

b) Determinare una base ortonormale di autovettori per f .

c) Se esiste (giustificare la risposta!), determinare l’operatore radice quadrata di f .

1

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