5.136. RISPOSTA ALLA RISONANZA E FATTORE DI QUALITÀ??
PROBLEMA 5.136
Risposta alla risonanza e fattore di qualità ??
Un oscillatore armonico caratterizzato da una massa m, una costante di richiamo elastica k e un coefficiente di attrito viscoso λ viene sottoposto ad una forzante periodica
F(t) =F0cos ωt
Detta A(ω)l’ampiezza di oscillazione a regime, mostrare che il rapporto A(ωr)
A(0)
dove ωrè la frequenza di risonanza dell’oscillatore si può scrivere come una funzione del solo fattore di qualità Q.
Soluzione
La soluzione a regime dell’equazione del moto
m¨x+λ ˙x+kx= F0cos ωt si può scrivere come
xr(t) =Re
F0eiωt k−mω2+λiω
ed è dunque una oscillazione di ampiezza (ω02= k/m)
A(ω) = F0 m
q 1
ω02−ω22+ mλ22ω2
La frequenza di risonanza si determina calcolando il massimo di questa espressione, che corrisponde al valore di ω2che rende minimo il termine al denominatore. Questo si determina da
d dω2
ω02−ω22+ λ
2
m2ω2
=2 ω2−ω20
+ λ
2
m2 =0 ossia
ωr2=ω20− λ2 2m2 Sostituendo troviamo
A(ωr)
A(0) = mω0 λ =
rkm λ2 = Q
391 versione del 22 marzo 2018
