2.1 Segno degli autovalori.

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 6 marzo 2015

1 Condizioni sucienti per determinare la natura di un punto critico.

Sia f : dom (f) 7→ R, sia x0un punto critico, ovvero un punto appartenente al dominio della funzione tale che

∇f (x0) = 0 (1.1)

Sia inoltre Hf(x0)la matrice Hessiana della funzione f valutata nel punto x0. Allora:

• Hf(x0)DEFINITAPOSITIVA =⇒ x0 punto di minimo relativo;

• Hf(x0)DEFINITANEGATIVA =⇒ x0 punto di massimo relativo;

• Hf(x0)INDEFINITA =⇒ x0 punto di sella (né massimo né minimo);

• H_f(x₀)SEMIDEFINITAPOSITIVA =⇒ x₀ punto di minimo relativoOdi sella;

• Hf(x₀)SEMIDEFINITANEGATIVA =⇒ x₀ punto di massimo relativoOdi sella.

2 Come determinare il segno di una matrice quadrata.

2.1 Segno degli autovalori.

Sia inoltre Hf(x0) ∈ M^n×n

R la matrice Hessiana della funzione f valutata nel punto x0. Siano λi, i = 1...n gli autovalori di H. Allora:

• H_f(x₀)DEFINITAPOSITIVA ⇐⇒ λ_i> 0, ∀i(tutti gli autovalori sono strettamente positivi);

• Hf(x₀)DEFINITANEGATIVA ⇐⇒ λi< 0, ∀i (tutti gli autovalori sono strettamente negativi);

• Hf(x0)INDEFINITA ⇐⇒ ∃λi> 0 ∧ ∃λj < 0(esistono due autovalori con segno discorde);

• Hf(x0)SEMIDEFINITAPOSITIVA ⇐⇒ λi≥ 0, ∀i (tutti gli autovalori sono positivi o nulli);

• Hf(x0)SEMIDEFINITANEGATIVA ⇐⇒ λi≤ 0, ∀i(tutti gli autovalori sono negativi o nulli).

2.2 Criterio dei minori incapsulati.

2.2.1 Denizione di minore incapsulato.

Sia Hf(x0) ∈ M_R^n×nla matrice Hessiana della funzione f valutata nel punto x0. Si denisce minore ∆idi ordine idella matrice H il determinante della matrice quadrata di ordine i che contiene gli elementi della matrice H a partire da quello di posto (1, 1) - ovvero quello in alto a sinistra.

Ad esempio,

H =





1 2 3 4 5 6 7 8 9



 (2.1)

Allora:

∆₁= 1

= 1 (2.2)

∆2=    

1 2 4 5    

= 1 · 5 − 2 · 4 = −3 (2.3)

∆3=      

1 2 3 4 5 6 7 8 9      

= 0 (2.4)

1

2.2.2 Criterio.

• ∆i> 0, ∀i =⇒ H_f(x₀)DEFINITAPOSITIVA;

• (−1)ⁱ∆i> 0, ∀i(in pratica, i segni devono essere −, +, −, ...) =⇒ Hf(x0)DEFINITANEGATIVA;

3 Denizione.

Sia f : dom (f) 7→ R, sia x0∈ dom (f ). Allora:

• f (x) > f (x0) ∀x ∈ Br(x0) =⇒ x0 punto di minimo relativo;

• f (x) < f (x0) ∀x ∈ Br(x0) =⇒ x0 punto di massimo relativo;

• f (x1) > f (x₀) ∧ f (x₂) < f (x₀) , x₁, x₂∈ Br(x₀) =⇒ x₀ punto di sella;

4 Come scegliere.

In caso di matrici diagonali (tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli) o di matrici triangolari (tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono nulli) gli autovalori sono proprio gli elementi sulla diagonale principale. In tale contesto risulta quindi preferibile applicare il criterio degli autovalori 2.1. In tutte le altre situazioni è bene utilizzare prima il criterio dei minori incapsulati 2.2 e tenere il calcolo degli autovalori con il polinomio caratteristico come ultima spiaggia. Qualora nessuno dei due criteri fornisca una risposta, non rimane che ricorrere alla denizione 3.

5 Caso particolare: funzioni di due variabili.

Il determinante di una matrice è il prodotto dei suoi autovalori. Nel caso di una funzione di due variabili, la matrice Hessiana è di tipo 2 × 2. In questo caso, sia

H_f(x₀, y₀) =a b c d



(5.1)

Allora:

• det (H) > 0 e a > 0 =⇒ H DEFINITAPOSITIVA =⇒ (x0, y0)punto di minimo relativo;

• det (H) > 0 e a < 0 =⇒ H DEFINITANEGATIVA =⇒ (x0, y0)punto di massimo relativo;

• det (H) < 0 =⇒ H INDEFINITA =⇒ (x0, y0)punto di sella;

• det (H) = 0 =⇒ H SEMIDEFINITA =⇒ non si può concludere alcunché.

2