• Gli autovalori e autovettori sono ampiamente usati nella fisica quantistica
• ad ogni grandezza fisica ` e associato un operatore autoaggiunto
• un operatore autoaggiunto pu` o essere rappresen- tato da una matrice hermitiana
• se ` e reale la matrice ` e simmetrica
• i valori discreti che le grandezze possono assumere sono gli autovalori di queste matrici
• gli stati del sistema sono espandibili in termini degli autovettori |u j i , che formano un sistema ortonormale completo
• gli elementi di matrice sono ottenuti, in questa base, da
hu i | ˆ A|u j i = A ij
• ad esempio, l’energia si ottiene calcolando gli ele-
menti di matrice dell’Hamiltoniana H ˆ
(3)
Autovettori
Suppongo di aver trovato la matrice S che diagona- lizza A
SAS −1 = diag(λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) = Λ
per ricavare gli autovettori; moltiplico a sinistra per S −1 e ottengo
AS −1 = S −1 Λ
Chiamo u (i) il vettore che ha per componenti gli ele- menti della colonna i di S −1 e ottengo
A ik S kj−1 = S ik−1 Λ kj = λ j S ij−1
A ik u (j)k = λ j u (j)i ⇒ A~ u (j) = λ j ~ u (j) I vettori colonna di S −1 sono gli autovettori
Il metodo preferito per trovare autovalori e autovettori
sono le trasformazioni di similarit` a. Usare l’equazione
secolare per trovare n radici complesse ` e un sistema
lento e poco efficace, salvo che per casi particolari.
(4)
Iterazioni
Per risolvere il problema si possono effettuare trasfor- mazioni consecutive T 1 , T 2 , ...T n per cui
A 1 = T 1 AT 1−1 A 2 = T 2 A 1 T 2−1 = T 2 T 1 AT 1−1 T 2−1 = (T 2 T 1 )A(T 2 T 1 ) −1 per arrivare ad ottenere, dopo n , iterazioni, una matrice
in forma diagonale
Λ = T n · T n−1 . . . T 1 · A · T 1−1 . . . T n−1−1 T n−1
= (T n · T n−1 . . . T 1 ) · A · (T n · T n−1 . . . T 1 ) −1 Da cui si ricava che
S = T n · T n−1 · ... · T 1
e S −1 ` e la matrice che contiene gli autovettori
(5)
Matrici simmetriche ed hermitiane
• Le matrici simmetriche hanno a ij = a ji e quelle her- mitiane a ij = a ∗ji
• Se il loro ordine ` e n hanno sempre n autovalori reali (simmetriche) o complessi coniugati (hermitiane)
• Alcuni autovalori possono coincidere
• La matrice U che le diagonalizza ` e una matrice uni-
taria (U † · U = U · U † = 1) se le matrici sono com-
plesse, isometrica se sono reali.
(6)
Rotazioni di Jacobi
Una trasformazione unitaria conserva la quantit` a
n
X
ij=1
a 2ij = T r(A † · A)
• Faccio un gran numero di trasformazioni unitarie
• Ognuna di queste diminuisce gli elementi di matrice non diagonali
• Alla fine otterr` o una matrice che ha gli autovalori sulla diagonale principale ed ` e nulla altrove
La trasformazione elementare T ij con i < j differisce dalla matrice unit` a solo per
T ii = T jj = cos(θ) T ij = sin(θ) T ji = − sin(θ)
L’angolo θ ` e scelto in modo da annullare a ij . Ad esem- pio T 13 con n = 3 ` e
cos(θ) 0 sin(θ)
0 1 0
− sin(θ) 0 cos(θ)
(7)
Dettagli tecnici
• solo le righe i e j sono cambiate da ogni rotazione;
• se a ij ` e gi` a molto piccolo la rotazione non viene effettuata;
• si fanno pi` u cicli ciascuno con tutti i possibili i e j;
• Se la trasformazione ` e T ij questa modifica la ma- trice secondo la regola:
a ′jj = a ii sin 2 θ + a jj cos 2 θ + 2a ij sin θ cos θ a ′ii = a ii cos 2 θ + a jj sin 2 θ − 2a ij sin θ cos θ
a ′ij = (cos 2 θ − sin 2 θ)a ij + sin θ cos θ(a ii − a jj ) a ′ki = a ki cos θ − a kj sin θ k 6= i, j
a ′kj = a kj cos θ + a ki sin θ k 6= i, j
• il valore di θ per cui a ′ij = 0 riduce gli elementi non diagonali
n
X
p,q=1,p6=q
(a ′pq ) 2 =
n
X
p,q=1,p6=q
(a pq ) 2 − 2a 2ij
(8)
Matrici tridiagonali
Sono diverse da zero solo per a ij con |i − j| ≤ 1
a 11 a 12 0 0 a 21 a 22 a 23 0 0 a 32 a 33 a 34
0 0 a 43 a 44
E particolarmente facile calcolare il determinante, e quindi ` il polinomio caratteristico, per una matrice tridiagonale simmetrica
D 4 (λ) =
a 11 − λ a 12 0 0
a 12 a 22 − λ a 23 0 0 a 23 a 33 − λ a 34
0 0 a 34 a 44 − λ
Da cui
D 4 (λ) = (a 44 − λ)D 3 (λ) − a 234 D 2 (λ)
Gli zeri di D N (λ) possono poi essere trovati con il
metodo di Newton o con altri metodi per la ricerca delle
radici
(9)
Metodo di Householder
• Vale per matrici simmetriche
• Le riduce alla forma tridiagonale
• usa il metodo delle successive trasformazioni di si- milarit` a
P N −2 · P N
3
. . . P 2 · P 1
• Scelgo P della forma
P ij = δ ij − 2u i u j con kuk = 1
• P 2 = I Infatti
P ik P kj = (δ ik − 2u i u k )(δ kj − 2u k u j )
= δ ij − 2u i u j − 2u i u j + 4u i u j kuk 2 = δ ij
• Ne segue che P = P −1 e la trasformazione di simi- larit` a per una matrice A ` e
P AP −1 = P AP
(10)
• La trasformazione conserva la simmetria di A (P AP ) ij = (δ ik − 2u i u k )a kl (δ lj − 2u l u j ) = a ij − 2u i (u k a kj ) − 2u j (a il u l ) + 4u i u j (u k a kl u l ) =
a ji − 2(a jk u k )u i − 2(u l a li )u j + 4u i u j (u k a lk u l ) = (P AP ) ji
• Posso ora cercare un valore del vettore ~ u che renda la matrice pi` u vicina a una tridiagonale, annullando tutti gli elementi a j1 con j > 2, e quindi anche a 1j con j > 2 In particolare se u 0 = 0 ho che
a ′00 = (δ 0k − 2u 0 u k )a kl (δ l0 − 2u l u 0 ) = a 00
a ′0j = (δ 0k − 2u 0 u k )a kl (δ lj − 2u l u j ) = a 0j − 2a 0l u l u j
Definisco per comodit` a di calcolo T =
N −1
X
k=0
a 0k u k e trovo
a ′0j = a 0j − 2T u j facendo il quadrato e sommando su j
N −1
X
j=0
a ′20j =
N −1
X
j=0
a 20j + 4T 2
N −1
X
j=0
u 2j − 2T
N −1
X
j=0
a 0j u j =
N −1
X
j=0
a 20j
Impongo ora che la prima colonna della matrice A ′ sia analoga a quella di una matrice tridiagonale. Ho allora
a ′0j = 0 se j > 1 ⇒ a 0j = 2T u j
(11)
e trovo facilmente
a ′00 = a 00 a ′201 =
N −1
X
j=1
a 20j
Partendo ora dalle due equazioni a 01 = a ′01 + 2T u 1
a 0j = 2T u j j > 1
Moltiplicando per a 01 la prima equazione e per a 0j la seconda e sommando su j ottengo
N −1
X
j=1
a 20j = 2T 2 + a ′01 a 01
e infine
T =
v u u t (
N −1
X
j=1
a 20j − 2a 01 a ′01 )/2
u 1 = (a 01 − a ′01 )/2T
u j = a 0j /2T
(12)
• Si pu` o ora proseguire calcolando in modo analogo le trasformazioni che annullano gli
elementi non tridiagonali della seconda, terza, etc.
colonna.
• Ogni volta dovr` o prendere trasformazioni in cui u 1 = 0, u 1 = u 2 = 0, u 1 = u 2 = u 3 = 0, in modo da non modificare la colonna 1, 2, 3, ... e cos`ı via fino alla colonna N − 2 compresa.
• A questo punto la matrice ` e tridiagonale e si appli- cano le regole per trovare gli autovalori delle matrici tridiagonali.
In sostanza
• Considero gli elementi a ij della colonna che voglio ridurre a forma tridiagonale
• Trovo u j dalle formule precedenti
• Calcolo y i = P
j a ij u j e z= P
ij u i u j a ij che mi servono per calcolare tutti gli a ′ij dalla formula
a ′ij = a ij − 2u i y j − 2u j y i + 4zu i u j
• Ripeto il procedimento per N − 2 volte.
(13)
Limiti sugli autovalori
Si dimostra che per ogni autovalore λ vale
min i
a ii − X
j6=i
|a ij |
≤ λ ≤ max
i
a ii + X
j6=i
|a ij |
Questo mi permette di restringere la ricerca degli au- tovalori in un intervallo noto
Per una matrice tridiagonale simmetrica, con elementi diagonali α i ed elementi non diagonali β i , questo si pu` o esprimere come
α k − |β k−1 | − |β k | ≤ λ ≤ α k + |β k−1 | + |β k | . . .
α n−1 − |β n−2 | ≤ λ ≤ α n−1 + |β n−2 |
Inoltre, per matrici tridiagonali simmetriche, si dimostra che la sequenza dei determinanti parziali
1, D 1 (λ), D 2 (λ), . . . , D N (λ) cambia segno tante volte quanti sono gli
autovalori minori di λ . Ci` o mi consente di verificare se
ho trovato tutte le radici
(14)
Oscillatore armonico quantistico
• Considero l’equazione di Schr¨ odinger per gli auto- valori
Hψ = Eψ ˆ
e prendo un s.o.n.c. di funzioni u j (x).
• l’hamiltoniana dell’oscillatore armonico ` e data da H = − ˆ ¯ h 2
2m + 1
2 ω 2 x 2
• ψ si potr` a esprimere come combinazione lineare di queste
ψ(x) =
N −1
X
j=0
c j u j (x)
• Moltiplicando la prima equazione a destra per u i (x) e integrando trovo
N −1
X
j=0
c j
Z
u i (x) ˆ Hu j (x) dx = E
N −1
X
j=0
c j δ ij = Ec i N −1
X
j=0
H ij c j = Ec i
Quast’ultima ` e un’equazione agli autovalori in cui le
componenti degli autovettori sono i c j
(15)
Implementazione numerica
• Non posso studiare il problema in un intervallo in-
finito, perci` o devo rinchiudere il mio sistema nell’intervallo [−L/2, +L/2].
• Le soluzioni dell’equazione di una particella libera, che posso utilizzare come base, sono
u j (x) =
r 2 L sin
2π L jx
oppure
u j (x) =
r 2 L cos
2π L jx
• Il potenziale armonico e simmetrico rispetto allo scambio x → −x e quindi la parit` a sar` a conservata;
perci` o, se parto da una base di funzioni pari trovar` o autovettori pari, e analoga situazione vale per una base dispari.
• Posso quindi limitarmi, per esempio, agli autovet- tori pari Gli elementi di matrice, in questo caso, saranno
2 L
Z L/2
−L/2
cos
2π L ix
¯ h 2 2m
2π L j
2
+ 1
2 mω 2 x 2
! cos
2π L jx
• A questo punto posso calcolare gli autovalori di H ˆ e i c j , e le autofunzioni ψ saranno date da:
ψ =
r 2 L
N −1
X
j=0
c j cos
2π L jx
(16)
Riscalare le equazioni
• Gestire con il computer piccole o grandi costanti fisiche ` e complicato
• Cerco di liberarmene riscalando le equazioni
• Per l’oscillatore armonico questo significa scrivere ξ =
r mω
¯ h x e ε = 2E
¯ hω
• L’equazione di Schr¨ odinger diventa ψ
′′
(ξ) − ξ 2 ψ(ξ) = −εψ(ξ)
• Se l’oscillatore ha autovalori E n = ¯ hω(n + 12 ) quello riscalato ha autovalori ε n = 2n + 1
• calcolando separatamente gli autovalori relativi ad
autovettori pari e dispari, mi aspetto le sequenze
3,7,11,. . . oppure 1,5,9. . .
(17)
Test
Si possono fare alcune verifiche ed esercizi
• per ω = 0 gli elementi di matrice diversi da zero sono solo quelli diagonali
• i valori di L sono arbitrari, come pure l’ordine N della matrice che diagonalizziamo. E necessario ` verificare che il risultato finale non cambia se si incrementano L e N , purch´ e abbastanza grandi.
• posso cercare di calcolare anche gli autovettori
• quando ho trovato un autovettore seleziono quello pi` u basso che so comportarsi come e −ξ
2
/2
• faccio un grafico dell’autofunzione in funzione di x
• ripeto tutto il procedimento per il potenziale V (x) = −U 0 − b/2 ≤ x ≤ b/2
ora l’aver risolto l’oscillatore armonico funge da
