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Autovalori e autovettori

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Academic year: 2021

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(1)

Autovalori e autovettori

Se esiste un vettore x per cui

Ax = λx x 6= 0

Allora λ ` e un autovalore della matrice A corrispondente all’autovettore x

• Gli autovalori sono soluzioni dell’equazione secolare det(A − λI) = 0

• Le trasformazioni di similarit` a non cambiano gli autovalori

det(SAS −1 − λI) = det(SAS −1 − λSS −1 )

= det(S(A − λI)S −1 ) = det(S)det(A − λI)det(S −1 )

= det(A − λI)

• Gli autovettori sono invece cambiati

Ax = λx ⇒ SAx = Sλx ⇒ SAS −1 Sx = λSx

da qui si vede che il nuovo autovettore con auto-

valore λ ` e Sx

(2)

Uso in fisica

• Gli autovalori e autovettori sono ampiamente usati nella fisica quantistica

• ad ogni grandezza fisica ` e associato un operatore autoaggiunto

• un operatore autoaggiunto pu` o essere rappresen- tato da una matrice hermitiana

• se ` e reale la matrice ` e simmetrica

• i valori discreti che le grandezze possono assumere sono gli autovalori di queste matrici

• gli stati del sistema sono espandibili in termini degli autovettori |u j i , che formano un sistema ortonormale completo

• gli elementi di matrice sono ottenuti, in questa base, da

hu i | ˆ A|u j i = A ij

• ad esempio, l’energia si ottiene calcolando gli ele-

menti di matrice dell’Hamiltoniana H ˆ

(3)

Autovettori

Suppongo di aver trovato la matrice S che diagona- lizza A

SAS −1 = diag(λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) = Λ

per ricavare gli autovettori; moltiplico a sinistra per S −1 e ottengo

AS −1 = S −1 Λ

Chiamo u (i) il vettore che ha per componenti gli ele- menti della colonna i di S −1 e ottengo

A ik S kj −1 = S ik −1 Λ kj = λ j S ij −1

A ik u (j) k = λ j u (j) i ⇒ A~ u (j) = λ j ~ u (j) I vettori colonna di S −1 sono gli autovettori

Il metodo preferito per trovare autovalori e autovettori

sono le trasformazioni di similarit` a. Usare l’equazione

secolare per trovare n radici complesse ` e un sistema

lento e poco efficace, salvo che per casi particolari.

(4)

Iterazioni

Per risolvere il problema si possono effettuare trasfor- mazioni consecutive T 1 , T 2 , ...T n per cui

A 1 = T 1 AT 1 −1 A 2 = T 2 A 1 T 2 −1 = T 2 T 1 AT 1 −1 T 2 −1 = (T 2 T 1 )A(T 2 T 1 ) −1 per arrivare ad ottenere, dopo n , iterazioni, una matrice

in forma diagonale

Λ = T n · T n−1 . . . T 1 · A · T 1 −1 . . . T n−1 −1 T n −1

= (T n · T n−1 . . . T 1 ) · A · (T n · T n−1 . . . T 1 ) −1 Da cui si ricava che

S = T n · T n−1 · ... · T 1

e S −1 ` e la matrice che contiene gli autovettori

(5)

Matrici simmetriche ed hermitiane

• Le matrici simmetriche hanno a ij = a ji e quelle her- mitiane a ij = a ji

• Se il loro ordine ` e n hanno sempre n autovalori reali (simmetriche) o complessi coniugati (hermitiane)

• Alcuni autovalori possono coincidere

• La matrice U che le diagonalizza ` e una matrice uni-

taria (U · U = U · U = 1) se le matrici sono com-

plesse, isometrica se sono reali.

(6)

Rotazioni di Jacobi

Una trasformazione unitaria conserva la quantit` a

n

X

ij=1

a 2 ij = T r(A · A)

• Faccio un gran numero di trasformazioni unitarie

• Ognuna di queste diminuisce gli elementi di matrice non diagonali

• Alla fine otterr` o una matrice che ha gli autovalori sulla diagonale principale ed ` e nulla altrove

La trasformazione elementare T ij con i < j differisce dalla matrice unit` a solo per

T ii = T jj = cos(θ) T ij = sin(θ) T ji = − sin(θ)

L’angolo θ ` e scelto in modo da annullare a ij . Ad esem- pio T 13 con n = 3 ` e

cos(θ) 0 sin(θ)

0 1 0

− sin(θ) 0 cos(θ)

(7)

Dettagli tecnici

• solo le righe i e j sono cambiate da ogni rotazione;

• se a ij ` e gi` a molto piccolo la rotazione non viene effettuata;

• si fanno pi` u cicli ciascuno con tutti i possibili i e j;

• Se la trasformazione ` e T ij questa modifica la ma- trice secondo la regola:

a jj = a ii sin 2 θ + a jj cos 2 θ + 2a ij sin θ cos θ a ii = a ii cos 2 θ + a jj sin 2 θ − 2a ij sin θ cos θ

a ij = (cos 2 θ − sin 2 θ)a ij + sin θ cos θ(a ii − a jj ) a ki = a ki cos θ − a kj sin θ k 6= i, j

a kj = a kj cos θ + a ki sin θ k 6= i, j

• il valore di θ per cui a ij = 0 riduce gli elementi non diagonali

n

X

p,q=1,p6=q

(a pq ) 2 =

n

X

p,q=1,p6=q

(a pq ) 2 − 2a 2 ij

(8)

Matrici tridiagonali

Sono diverse da zero solo per a ij con |i − j| ≤ 1

a 11 a 12 0 0 a 21 a 22 a 23 0 0 a 32 a 33 a 34

0 0 a 43 a 44

E particolarmente facile calcolare il determinante, e quindi ` il polinomio caratteristico, per una matrice tridiagonale simmetrica

D 4 (λ) =

a 11 − λ a 12 0 0

a 12 a 22 − λ a 23 0 0 a 23 a 33 − λ a 34

0 0 a 34 a 44 − λ

Da cui

D 4 (λ) = (a 44 − λ)D 3 (λ) − a 2 34 D 2 (λ)

Gli zeri di D N (λ) possono poi essere trovati con il

metodo di Newton o con altri metodi per la ricerca delle

radici

(9)

Metodo di Householder

• Vale per matrici simmetriche

• Le riduce alla forma tridiagonale

• usa il metodo delle successive trasformazioni di si- milarit` a

P N −2 · P N

3

. . . P 2 · P 1

• Scelgo P della forma

P ij = δ ij − 2u i u j con kuk = 1

• P 2 = I Infatti

P ik P kj = (δ ik − 2u i u k )(δ kj − 2u k u j )

= δ ij − 2u i u j − 2u i u j + 4u i u j kuk 2 = δ ij

• Ne segue che P = P −1 e la trasformazione di simi- larit` a per una matrice A ` e

P AP −1 = P AP

(10)

• La trasformazione conserva la simmetria di A (P AP ) ij = (δ ik − 2u i u k )a kllj − 2u l u j ) = a ij − 2u i (u k a kj ) − 2u j (a il u l ) + 4u i u j (u k a kl u l ) =

a ji − 2(a jk u k )u i − 2(u l a li )u j + 4u i u j (u k a lk u l ) = (P AP ) ji

• Posso ora cercare un valore del vettore ~ u che renda la matrice pi` u vicina a una tridiagonale, annullando tutti gli elementi a j1 con j > 2, e quindi anche a 1j con j > 2 In particolare se u 0 = 0 ho che

a 00 = (δ 0k − 2u 0 u k )a kll0 − 2u l u 0 ) = a 00

a 0j = (δ 0k − 2u 0 u k )a kllj − 2u l u j ) = a 0j − 2a 0l u l u j

Definisco per comodit` a di calcolo T =

N −1

X

k=0

a 0k u k e trovo

a 0j = a 0j − 2T u j facendo il quadrato e sommando su j

N −1

X

j=0

a ′2 0j =

N −1

X

j=0

a 2 0j + 4T 2

N −1

X

j=0

u 2 j − 2T

N −1

X

j=0

a 0j u j =

N −1

X

j=0

a 2 0j

Impongo ora che la prima colonna della matrice A sia analoga a quella di una matrice tridiagonale. Ho allora

a 0j = 0 se j > 1 ⇒ a 0j = 2T u j

(11)

e trovo facilmente

a 00 = a 00 a ′2 01 =

N −1

X

j=1

a 2 0j

Partendo ora dalle due equazioni a 01 = a 01 + 2T u 1

a 0j = 2T u j j > 1

Moltiplicando per a 01 la prima equazione e per a 0j la seconda e sommando su j ottengo

N −1

X

j=1

a 2 0j = 2T 2 + a 01 a 01

e infine

T =

v u u t (

N −1

X

j=1

a 2 0j − 2a 01 a 01 )/2

u 1 = (a 01 − a 01 )/2T

u j = a 0j /2T

(12)

• Si pu` o ora proseguire calcolando in modo analogo le trasformazioni che annullano gli

elementi non tridiagonali della seconda, terza, etc.

colonna.

• Ogni volta dovr` o prendere trasformazioni in cui u 1 = 0, u 1 = u 2 = 0, u 1 = u 2 = u 3 = 0, in modo da non modificare la colonna 1, 2, 3, ... e cos`ı via fino alla colonna N − 2 compresa.

• A questo punto la matrice ` e tridiagonale e si appli- cano le regole per trovare gli autovalori delle matrici tridiagonali.

In sostanza

• Considero gli elementi a ij della colonna che voglio ridurre a forma tridiagonale

• Trovo u j dalle formule precedenti

• Calcolo y i = P

j a ij u j e z= P

ij u i u j a ij che mi servono per calcolare tutti gli a ij dalla formula

a ij = a ij − 2u i y j − 2u j y i + 4zu i u j

• Ripeto il procedimento per N − 2 volte.

(13)

Limiti sugli autovalori

Si dimostra che per ogni autovalore λ vale

min i

 a ii − X

j6=i

|a ij |

 ≤ λ ≤ max

i

 a ii + X

j6=i

|a ij |

Questo mi permette di restringere la ricerca degli au- tovalori in un intervallo noto

Per una matrice tridiagonale simmetrica, con elementi diagonali α i ed elementi non diagonali β i , questo si pu` o esprimere come

α 0 − |β 0 | ≤ λ ≤ α 0 + |β 0 |

α 1 − |β 0 | − |β 1 | ≤ λ ≤ α 0 + |β 0 | + |β 1 | . . .

α k − |β k−1 | − |β k | ≤ λ ≤ α k + |β k−1 | + |β k | . . .

α n−1 − |β n−2 | ≤ λ ≤ α n−1 + |β n−2 |

Inoltre, per matrici tridiagonali simmetriche, si dimostra che la sequenza dei determinanti parziali

1, D 1 (λ), D 2 (λ), . . . , D N (λ) cambia segno tante volte quanti sono gli

autovalori minori di λ . Ci` o mi consente di verificare se

ho trovato tutte le radici

(14)

Oscillatore armonico quantistico

• Considero l’equazione di Schr¨ odinger per gli auto- valori

Hψ = Eψ ˆ

e prendo un s.o.n.c. di funzioni u j (x).

• l’hamiltoniana dell’oscillatore armonico ` e data da H = − ˆ ¯ h 2

2m + 1

2 ω 2 x 2

• ψ si potr` a esprimere come combinazione lineare di queste

ψ(x) =

N −1

X

j=0

c j u j (x)

• Moltiplicando la prima equazione a destra per u i (x) e integrando trovo

N −1

X

j=0

c j

Z

u i (x) ˆ Hu j (x) dx = E

N −1

X

j=0

c j δ ij = Ec i N −1

X

j=0

H ij c j = Ec i

Quast’ultima ` e un’equazione agli autovalori in cui le

componenti degli autovettori sono i c j

(15)

Implementazione numerica

• Non posso studiare il problema in un intervallo in-

finito, perci` o devo rinchiudere il mio sistema nell’intervallo [−L/2, +L/2].

• Le soluzioni dell’equazione di una particella libera, che posso utilizzare come base, sono

u j (x) =

r 2 L sin

 2π L jx



oppure

u j (x) =

r 2 L cos

 2π L jx



• Il potenziale armonico e simmetrico rispetto allo scambio x → −x e quindi la parit` a sar` a conservata;

perci` o, se parto da una base di funzioni pari trovar` o autovettori pari, e analoga situazione vale per una base dispari.

• Posso quindi limitarmi, per esempio, agli autovet- tori pari Gli elementi di matrice, in questo caso, saranno

2 L

Z L/2

−L/2

cos

 2π L ix

 ¯ h 2 2m

 2π L j

 2

+ 1

2 mω 2 x 2

! cos

 2π L jx



• A questo punto posso calcolare gli autovalori di H ˆ e i c j , e le autofunzioni ψ saranno date da:

ψ =

r 2 L

N −1

X

j=0

c j cos

 2π L jx



(16)

Riscalare le equazioni

• Gestire con il computer piccole o grandi costanti fisiche ` e complicato

• Cerco di liberarmene riscalando le equazioni

• Per l’oscillatore armonico questo significa scrivere ξ =

r mω

¯ h x e ε = 2E

¯ hω

• L’equazione di Schr¨ odinger diventa ψ

′′

(ξ) − ξ 2 ψ(ξ) = −εψ(ξ)

• Se l’oscillatore ha autovalori E n = ¯ hω(n + 1 2 ) quello riscalato ha autovalori ε n = 2n + 1

• calcolando separatamente gli autovalori relativi ad

autovettori pari e dispari, mi aspetto le sequenze

3,7,11,. . . oppure 1,5,9. . .

(17)

Test

Si possono fare alcune verifiche ed esercizi

• per ω = 0 gli elementi di matrice diversi da zero sono solo quelli diagonali

• i valori di L sono arbitrari, come pure l’ordine N della matrice che diagonalizziamo. E necessario ` verificare che il risultato finale non cambia se si incrementano L e N , purch´ e abbastanza grandi.

• posso cercare di calcolare anche gli autovettori

• quando ho trovato un autovettore seleziono quello pi` u basso che so comportarsi come e −ξ

2

/2

• faccio un grafico dell’autofunzione in funzione di x

• ripeto tutto il procedimento per il potenziale V (x) = −U 0 − b/2 ≤ x ≤ b/2

ora l’aver risolto l’oscillatore armonico funge da

test!

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