Operatore Numero

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

Lezione n. 7

19.10.2020

Oscillatore Quantistico Teoria quantistica dei campi

Operatore Numero

Quantum Field Theory: Introduzione

y Un campo elettromagnetico all’interno di una cavità presenta degli aspetti interpretabili con una visione “particellare” del campo

y Il campo può essere rappresentato come integrale di Fourier y All’equazione dell’onda corrisponde un’equazione di oscillatore

armonico per ogni componente

y L’energia del campo è espressa come somma delle energie dei singoli oscillatori

y Per un campo all’interno di una cavità in equilibrio termico con le pareti si può utilizzare la meccanica statistica per descrivere

y La distribuzione di energia degli oscillatori y L’energia media degli oscillatori

y Abbiamo visto che

y L’utilizzo del principio di equipartizione dell’energia (classico) porta alla distribuzione di Rayleigh-Jeans

y In disaccordo con le osservazioni sperimentali

y L’ipotesi di Planck che l’energia di ogni oscillatore sia un multiplo intero di hν conduce alla distribuzione di Planck

y In ottimo accordo con le osservazioni sperimentali

Quantum Field Theory: Introduzione

y Ai nostri fini, l’aspetto più importante del calcolo della radiazione del corpo nero è che il campo può essere visto come un insieme di particelle (quanti) y Alla descrizione ondulatoria (campo) si affianca una descrizione particellare

y Dualità onda-particella

y L’aspetto particellare è associato ai modi descritti da oscillatori ( fotoni ) y L’energia degli oscillatori è quantizzata (E_n = nhν )

y Il formalismo dell’oscillatore quantistico è perfetto per questo scopo y Proveremo ad estendere questa formulazione alle equazioni d’onda

relativistiche (Klein-Gordon, Dirac)

y Le differenze con il campo elettromagnetico sono

y Il campo elettromagnetico ha una interpretazione classica

y Le equazioni di Dirac e di Klein Gordon non hanno corrispettivo classico y L’analogia è pertanto

L’oscillatore quantistico

y Rivediamo la teoria dell’oscillatore armonico quantistico

y In seguito utilizzeremo, per i campi, il formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano

y È conveniente trattare anche l’oscillatore armonico in questo modo y La Lagrangiana di un oscillatore armonico con un grado di libertà q è

y L’equazione di Eulero-Lagrange

y Le due soluzioni di questa equazione sono y Pertanto la soluzione generale (reale) è

L’oscillatore quantistico

y Passiamo al formalismo Hamiltoniano y Il momento canonico è definito da

y L’Hamiltoniana è

y Le Equazioni di Hamilton danno

ritroviamo la definizione di p

L’oscillatore quantistico

y La quantizzazione dell’oscillatore si ottiene y Trasformando p e q in operatori

y Imponendo la regola di commutazione (==1)

y Utilizziamo la rappresentazione di Heisenberg y Funzioni d’onda indipendenti dal tempo

y Operatori dipendenti dal tempo

y L’evoluzione di q(t) e di p(t) è pertanto

uguali alle equazioni classiche

L’oscillatore quantistico

y È noto che la quantizzazione dell’oscillatore rende discrete le energie che la particelle può assumere

y Occorre risolvere l’equazione agli autovalori

y Si può risolvere questo problema prescindendo dalla forma esplicita di y Si introducono gli operatori (dipendenti dal tempo)

y Si verifica facilmente che gli operatori hanno la seguente regola di commutazione

y Utilizzando gli operatori l’Hamiltoniana diventa

y L’evoluzione temporale di è data da

L’oscillatore quantistico

y Analogamente si trova

y Per semplificare la notazione da ora in poi y Evidentemente

y E pertanto l’Hamiltoniana è indipendente dal tempo

y Nella teoria gioca un ruolo molto importante l’operatore Numero

y L’operatore N è hermitiano e pertanto i suoi autovalori sono reali y Sono inoltre positivi (non negativi)

y Infatti consideriamo un autostato |n>

y Osserviamo che

y Si verifica facilmente che

Pertanto n ≥ 0

ovviamente

L’oscillatore quantistico

y Dalle regole precedenti discende che se |n> è un autostato dell’operatore Numero N sono suoi autostati anche

y Infatti y E inoltre

y Pertanto sono autostati di N y Consideriamo lo stato ( k < n )

y L’autovalore di N corrispondente è

y Se k assumesse valori k ! n il risultato contraddirebbe la positività di N y Per evitare questa contraddizione concludiamo che

y Gli autovalori di N sono numeri interi

y Esiste uno stato |0> (lo stato vuoto) con autovalore 0 che ha le proprietà Postulato

L’oscillatore quantistico

y A partire dal vuoto si possono costruire esplicitamente gli autovettori di N y Lo stato |1> è normalizzato

y Analogamente lo stato

y Per induzione si può dimostrare che lo stato con n particelle è ottenuto dalla applicazione ripetuta n volte dell’operatore a^†

L’oscillatore quantistico

y Per finire osserviamo che gli autostati dell’operatore numero N sono anche autostati dell’Hamiltoniana

y Pertanto

y Osserviamo che l’energia del vuoto non è nulla y Commenti

y Abbiamo diagonalizzato l’Hamiltoniana e trovato gli autovalori dell’energia utilizzando solo proprietà algebriche

y La soluzione è la stessa per tutti i problemi che hanno le stesse regole di commutazione per gli operatori a

y Se gli a hanno anche una espressione esplicita in termini di operatori differenziali si può trovare una espressione esplicita per gli stati

y Ad esempio i Polinomi di Hermite

Quantizzazione di un campo scalare (reale)

y Consideriamo un campo (reale) φ(x) che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon

y Abbiamo visto che il campo ha una rappresentazione di Fourier

y I coefficienti a(k) determinano completamente il campo

y Possiamo usare in modo equivalente φ(x) o a(k) per descrivere il campo y Abbiamo inoltre visto che i coefficienti

y Soddisfano l’equazione dell’oscillatore armonico

y Possiamo pertanto interpretare il campo come formato da un insieme infinito di oscillatori ciascuno dei quali è individuato dal momento k

y Classicamente l’energia del modo è associata all’ampiezza a(k) y Quantisticamente l’energia del modo è quantizzata

y È un multiplo di ω_k

y Lo stato del campo è determinato dal numero di quanti nIl campo è un insieme di particelle: quantiin ogni modo

Quantizzazione di un campo scalare (reale)

y Per quantizzare il campo pertanto interpretiamo i coefficienti a e a^∗ come operatori con le regole di commutazione dell’oscillatore armonico

y Le precedenti regole di commutazione sono la generalizzazione al continuo delle regole di commutazione dell’oscillatore armonico quantistico

y Uno stato del campo è determinato definendo il numero dei quanti che sono presenti in ciascun modo

y Gli stati definiscono uno spazio di Hilbert (spazio di Fock) y Lo spazio (astratto) dei numeri di occupazione

y Gli operatori di creazione e distruzione permettono di costruire questi stati partendo dal vuoto

Normalizzazione degli stati

y Consideriamo uno stato con una particella

y Verifichiamo la normalizzazione dello stato

y Espressioni di questo tipo si calcolano utilizzando le regole di commutazione per portare gli operatori di distruzione a destra

y La loro azione sul vuoto annulla lo stato y Otteniamo pertanto

Simmetria degli stati

y Consideriamo adesso uno stato con due particelle

y Scambiamo l’ordine delle due particelle

y Ricordiamo la regola di commutazione fra due operatori di creazione

y Possiamo pertanto scambiare l’ordine degli operatori

y Pertanto lo stato è simmetrico rispetto allo scambio di due particelle y Si tratta di bosoni

Operatori di campo

y Ritorniamo all’espansione del campo tramite l’integrale di Fourier

y Se sostituiamo alle funzioni a_k gli operatori di creazione e distruzione otteniamo un operatore (limitiamoci al caso t = 0)

y Qual è l’effetto di questo operatore ? y Applichiamolo al vuoto

y L’operatore di distruzione non contribuisce

y Poiché è uno stato di singola particella è una sovrapposizione di stati di singola particella

Operatori di campo

y Abbiamo precedentemente definito uno stato con una particella di momento definito

y Analizziamo lo stato definito tramite l’operatore di campo φ(r,0)|0>

calcolandone il prodotto scalare con lo stato |p>

y Utilizzando le regole di commutazione otteniamo

y Introduciamo nell’integrale

Operatore numero e Hamiltoniana

y Continuiamo con l’analogia con l’oscillatore armonico y Definiamo l’operatore numero

y È una generalizzazione dell’operatore numero dell’oscillatore armonico y Adesso dipende dal momento k degli stati

y C’è una infintà (continua) di stati possibili

y L’operatore è singolare: deve essere utilizzato in un integrale

y Ad esempio, contiamo le particelle nello stato

|p> contiene 1 particella

Operatore numero e Hamiltoniana

y Utilizzando l’operatore numero si possono costruire altri operatori importanti y Ad esempio l’energia totale: l’operatore Hamiltoniana

y L’energia di uno stato |k> è

y Pertanto possiamo definire l’Hamiltoniana

y Questa definizione è corretta in pratica

y Allo stesso modo si potrebbe definire l’operatore momento P y Tuttavia non è evidente che i due operatori formino un 4-vettore

y Inoltre operatori più complicati sono meno intuitivi y È opportuno un approccio sistematico più potente

Formalismo di Lagrange - Hamilton

Lagrangiana di campo classico

y Supponiamo di avere N oscillatori classici accoppiati y Ogni massa è collegata ad una molla (k)

y Le masse sono legate fra di loro da una corda senza massa che applica una

tensione τ

y La Lagrangiana del sistema è

y Nel passaggio ad un sistema continuo

y Pertanto la Lagrangiana diventa

y L’integrando è una Lagrangiana per unità di lunghezza Densità di Lagrangiana L

Lagrangiana di campo classico

y Anche nel caso continuo l’equazione di evoluzione del sistema si ottiene minimizzando l’azione

y La condizione di minimo conduce alle equazioni di Eulero – Lagrange

y Applichiamo questa equazione alla densità di Lagrangiana dell’esempio della fune

Equazione dell’onda Mezzo dispersivo

Lagrangiana di campo classico

y Il formalismo si estende facilmente al caso 3-dimensionale

y La densità di Lagrangiana è funzione delle 4 derivate del campo e del campo stesso

y In notazione covariante

y Nel primo caso l’equazione di Eulero - Lagrange è

y Nel secondo caso, in notazione covariante

y La densità è adesso per unità di volume

Lagrangiana di campo classico

y Per finire, nel caso in cui il campo abbia più di una componente y Campo di Dirac

y Campo Elettromagnetico

y Campo di Klein Gordon complesso

y In questo caso la densità di Lagrangiana dipende da tutte le componenti y Vale l’equazione di Eulero - Lagrange per ciascuna componente del campo

y Esempio: Lagrangiana per il campo di Klein Gordon complesso