Questa equazione può essere proiettata sulle tre direzioni indipendenti x, y e z

(1)

Lezione n. 5 (2 ore)

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

(2)

Equazione di Newton in 2D e 3D

Questa equazione può essere proiettata sulle tre direzioni indipendenti x, y e z

La forza è

F = F

_x

i + F

_y

j + F

_y

k = Σ (F

_i,x

) i + Σ (F

_i,y

) j + Σ (F

_i,z

) k

e dunque si ha:

F

_x

= ma

_x

F

_y

= ma

_y

F

_z

= ma

_z

F = m a

(3)

3

Caduta libera e moto parabolico

Sono questi due moti dovuti all’accelerazione di gravità, g, prodotta dalla forza di gravità, F_g

Come si procede:

1. Si sceglie il sistema di coordinate

2. Si ricava l’accelerazione dalle forze

3. Si ricava l’equazione del moto dall’accelerazione

4. Si applicano le condizioni iniziali

Esempio del grattacielo:

Esempio del proiettile:

g -gm

-gm

-gm -gm

-gm

-gm 0

Nota: i risultati non dipendono dalla massa m

y

(4)

Moto parabolico (seguito)

Le equazioni generali sono:

La traiettoria si ottiene eliminando il tempo:

Quelle sopra sono equazioni generali

Formula specifica: gittata R (punto di ritorno alla quota si partenza)

Altra formula specifica: punto più alto della traiettoria:

g -gm

-gm

-gm -gm

-gm

(5)

5

In figura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità iniziale v₀= 42.0 m/s e angolo di lancio θ₀ = 60°sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si trascuri la resistenza dell’aria.

I dati del problema sono:

x0 = y₀ = 0 t_f = 5 s θ₀ = 60°

v0.x= 42.0 cos(θ₀) = 21.0 m/s

v0.y= 42.0 sin(θ₀) = 36.4 m/s

y(t_f)= h ?

Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t = t_f

Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (v_y> 0) a discendente (v_y< 0).

Calcolo quindi il valore di t_H al quale v_y= 0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H

= y (t_H)

Esercizio sul moto parabolico

[ ]

m 1 . 59 5 36.4 2 5

9.83 2

) 1 ( )

(

m 105 5

21 )

(

) (

2 ,

0 2 ,

0 ,

0

, 0 ,

0

=

⋅ +

⋅

−

=

= +

−

⇒ = +

−

= +

=

⋅

=

⇒ =

=

h t v t g t

y v

t g v

t a t

v

m t

v t

x v

t v

f y f

f y

f y f

y

f x f

x f

x

y

x v

[ ]

[

^ms

]

³^.⁷

[ ]

^s ³⁶^.⁴

[

^ms

]

³^.⁷[ ]^s ^67.4^m

83 . 2 9 1 2

) 1 (

s s 3.70

m 9.83

s m 36.4

0 )

(

1 2

2 2

, 0 2

2 - -1 ,

0 ,

0

=

⋅ +

⋅

−

= +

−

=

= ⇒

=

⇒ =

= +

−

=

−

− f

y f

H

y H

H y

t v gt t

y H

g t v

v t g t

v

(6)

Il moto armonico

Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla musica. Il moto oscillatorio fondamentale è il moto armonico semplice.

Ad esempio, il moto associato ad una forza elastica, cioè proporzionale allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico!

L’andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo è rappresentato da una funzione caratteristica, detta sinusoide.

(7)

7

Legge oraria del moto armonico

L’equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi parametri principali sono:

Grandezza Unità SI Simbolo / Relazione

Frequenza hertz, Hz 1 Hz = 1 oscillazione al secondo Periodo s Tempo per un’oscillazione completa Ampiezza Escursione massima dalla posizione

di equilibrio Pulsazione radianti/s

ν

1

ν

= T

xm

π πν

ω

2 2

=

= T

(8)

Dinamica del moto armonico

Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed accelerazione del moto armonico:

E con queste, applicare il II principio della dinamica:

Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto armonico semplice e lineare per cui vale:

– Pulsazione

– Periodo

( )

= =

[

x

(

ωt +ϕ

) ]

= −ωx

(

ωt +ϕ

)

dt d dt

t dx

v _m cos _m sin

( )

⁼ ⁼ ⁻^ω ^x

(

^ω^t ⁺^ϕ

)

dt t dv

a ² _m cos

(

^m^ω²

)

^x ^kx ^; ^k ^m^ω²

ma

F = = − = − =

k T m

m k

π ω

2

=

(9)

9

Il pendolo semplice

L’oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di sistemi fisici in cui è presente un’oscillazione, ad esempio il pendolo

La scomposizione delle forze per un generico angolo θ permette di ricavare l’espressione della forza di richiamo:

Non si tratta dunque di una forza di richiamo lineare!

Ma per piccoli angoli vale sempre che:

E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere:

Otteniamo infatti una legge di moto armonico per la variabile θ:

( )

θ sin

( )

θ

sin mg

F

F_osc = − _g = −

( )

^θ ^≈^θ

sin

( )

^mg

( )

^mg ^k ^k ^mg

F

F_osc = − _g sin θ = − sin θ ≈ − θ = − θ ; =

( )

g

T L t

Lt

g π

ω ω π

θ θ

θ 2 2

; sin

sin ₀

0  = = =









= 

(10)

Gravitazione

Newton per primo mise in relazione la forza che attira gli oggetti alla superficie

terrestre con la forza che vincola i corpi celesti e formulò qualitativamente la legge di gravitazione universale:

Ogni corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva gravitazionale su ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione

La legge di gravitazione può essere espressa così:

m₁ ed m₂ sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a:

E’ proprio un classico esempio di azione e reazione secondo la III legge della dinamica

2 2 1

r m G m

F =

2 2

11 /

10 67 ,

6 N m kg

G = ⋅ ⁻ ⋅

(11)

11

Gravitazione - 2

La legge della gravitazione può essere espressa in forma vettoriale nel seguente modo:

– L’elemento è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la congiungente le due particelle

Una sfera di materiale uniforme da un punto di vista gravitazionale attira una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse

concentrata nel suo centro

Se un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale

il principio di sovrapposizione: la forza risultante è data dalla somma dei singoli effetti

– Questo si applica anche ad un corpo esteso:

rˆ

(12)

Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti

Johannes Kepler, astronomo tedesco (1571-1601), arrivò a formulare tre leggi empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si possano tutte derivare dalla legge della gravitazione

• 1° legge o legge delle orbite:

Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

•2° legge o legge delle aree:

Il segmento che collega un pianeta al sole descrive aree uguali in tempi uguali

•3° legge o legge dei periodi:

Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo

del semiasse maggiore della sua orbita

(13)

13

3° legge di Keplero per i pianeti

3

2 r

T ∝

2 3

R

a

T ∝

3 2

2 4

GM r

T 







= 

π

Orbita circolare ⇒⇒⇒⇒

Moto Circolare Uniforme Orbita ellittica

3

2

r

T ∝

Attraverso il II principio della dinamica e le leggi del moto circolare possiamo

esprimere la terza legge di Keplero come:

E le cose si fanno molto più complicate

(14)

Per un sistema costituito da n masse concentrate m_i e dalla massa totale pari a M in uno spazio a tre dimensioni il centro di massa ha coordinate:

Le tre equazioni scalari possono essere sostituite da un’unica equazione vettoriale

Il centro di massa - 1

Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che si muove come se vi fosse concentrata tutta la massa e vi agissero

tutte le forze esterne

∑

=

n

i i

n

i

i i cdm

n

i

i i cdm

n

i

i i cdm

m M

z M m

z y

M m y

x M m

x

1

1 1

1

; 1

; 1 1

(15)

15

Il centro di massa - 2

Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate, dipendono dal sistema di riferimento (ma questo non è vero per la sua posizione rispetto alle masse stesse)

m₁= 1 kg ; m₂= 3 kg d = 4 m

m m kg kg

x M m

x

kg kg kg m M

n

i i i cdm

n

i i

3 ] )[

4 3 0 1 4 (

1 1

4 3 1

1 1

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

∑

=

x₁= 0 ; x₂= d = 4 m x₁= 1.5 ; x₂= x₁+ d = 5.5 m

m m

kg kg x

M m x

kg kg kg m M

n

i i i cdm

n

i i

5 . 4 ] )[

5 . 5 3 5 . 1 1 4 (

1 1

4 3 1

1 1

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

∑

=

m₁= 1 kg ; m₂= 1.5 kg ; m₃= 2 kg ; M = 4.5 kg ; a = 150 cm

(16)

La quantità di moto

Definiamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiforme il vettore:

m = massa del corpo v = velocità del corpo

La formulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in funzione della quantità di moto! Vale infatti l’equazione:

Che non è altro che un’enunciazione perfettamente equivalente della già vista:

“La rapidità di variazione del momento di una particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella e ha la stessa direzione di quella forza”

(17)

17

Conservazione della quantità di moto

Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M definiamo la quantità di moto totale del sistema come:

v_cdm è le velocità del centro di massa del sistema

Dalla definizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di più particelle che:

• sia isolato: la risultante di tutte le forze esterne è nulla

• sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema

vale che:

E’ il principio di conservazione della quantità di moto.

= ⇒

=0 ⇒ 0

. dt

P F_risult d

ρ

P = costante => P

_iniziale

= P

_finale

(18)

Conservazione quantità di moto - 2

Esempio: Un’astronave che procede alla velocità di 2100 km/h espelle uno stadio esaurito di massa pari al 20% della massa totale e alla velocità relativa v_r = 500 km/h. Determinare la velocità finale dell’astronave dopo l’espulsione.

Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un

piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione della massa e una delle velocità delle parti

Dati: M_A=0.5M M_B=0.2M M_C=0.3M v_C= 5 m/s v_B? v_A? Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto => P_f= P_i = 0.

P_x= - M_A v_A+ M_Cv_Ccos(80°) + M_B v_B cos(50°) = 0 P_y= 0 + M_Cv_Csin(80°) - M_B v_B sin(50°) = 0 =>

M_Bv_B= M_Cv_Csin(80°)/sin(50°) => v_B= 1.5 v_Csin(80°)/sin(50°) = Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto => P_f= P_i

P_i= M v_i= P_f= M [0.8 v_f+ 0.2 (v_f– v_r)] =>

=> v_f= v_i+ 0.2 v_r = (2100 + 100) = 2200 km/h

v_B= 9.94 m/s v_A = M_Cv_Ccos(80°) + M_B v_B cos(50°) = 3 m/s

(19)

19

definizione di impulso teorema dell’impulso

forza media che agisce nell’intervallo di tempo ∆t

Impulso

La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione di problemi legati alla collisione tra due o più corpi.

Durante l’urto una forza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da t₁a t₂, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo scrivere:

variazione di quantità di moto

∆p = <F> ∆t