1 Gli esponenziali

1 Gli esponenziali

Finora abbiamo definito una potenza attraverso la notazione xⁿ, dove con x ∈ IR abbiamo indicato la base e con n ∈ Q l’esponente. Possiamo esten- dere la notazione di potenza anche per esponenti irrazionali a patto che la base sia positiva: per cui avr`a senso definire (+2)<sup>√2</sup> mentre non avr`a senso (−2)^√2. In generale (−2)^x `e un’espressione che ha significato solo per x ∈ Q con denominatore dispari.

Possiamo anche definire una potenza dove l’incognita compare come espo- nente, ad esempio 2^x: in questo caso diremo che siamo di fronte ad un espo- nenziale.

Definizione 1 Si chiama esponenziale ogni potenza in cui la variabile com- pare come esponente. Per gli esponenziali sono ancora valide le propriet`a delle potenze ad esponente reale e in particolare:

a^x> 0 ∀x ∈ IR

se a 6= 1 a^x = a^y ⇔ x = y se a 6= 1 a^x = 1 ⇔ x = 0

(1)

2 Le equazioni esponenziali

Definizione 2 Si definisce equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognita compare all’esponente di una o pi`u potenze.

Il caso pi`u semplice di equazione esponenziale `e dato dall’equazione a^x = b

dove a > 0, b > 0, x ∈ IR.

Esempio 1 3^x = 9^x+ 1

Per risolvere un’equazione esponenziale `e necessario conoscere ed appli- care correttamente le seguenti propriet`a

a^x > 0 a⁰ = 1 1^x = 1

a^x+y = a^xa^y a^xb^x= (ab)^x (a^x)^y = a^xy

∀ x, y ∈ IR e ∀ a, b > 0

(2)

Da queste si possono anche dedurre le seguenti uguaglianze a^−x= _a¹x a^x−y = a^x

a^y a^x

b^x =

µa b

¶_x

(a^x)^1y = a^xy

(3)

Attenzione!

• a^x+y 6= a^x+ a^y

• (a + b)^x 6= a^x+ b^x

• a^xy 6= a^xa^y

• (a^x)^y 6= a^(xy)

Per risolvere un’equazione esponenziale, anche se non c’`e una regola co- mune da seguire perch`e ogni caso `e diverso dall’altro, la prima cosa da fare `e quella di trasformare le potenze dei due membri dell’equazione in potenze aventi la stessa base, per poi uguagliare gli esponenti e risolvere cos`ı l’equazione data.

Esempio 2 3^x = 9 ⇔ 3^x = 3² ⇔ x = 2

Esempio 3 3^x = −9 l’equazione `e impossibile Esempio 4 3^x = 1 ⇔ x = 0

Esempio 5 3^x = ¹₉ ⇔ 3^x = 3⁻² ⇔ x = −2

Esempio 6 ¹₃^x = 9 ⇔ 3^−x = 3² ⇔ −x = 2 ⇔ x = −2 Esempio 7 Risolvere

3^x+1+ 7^x = 3^x+ 3 · 7^x Soluzione

3^x+1+ 7^x= 3^x+ 3 · 7^x 3^x+1− 3^x = 3 · 7^x− 7^x 3^x(3 − 1) = 7^x(3 − 1)

3^x 7^x =

µ3 7

¶_x

= 1 ⇔ x=0

Esempio 8 Risolvere

2^3x−2− 2^3x−3− 2^3x−4= 4 Soluzione

2^3x−2− 2^3x−3− 2^3x−4= 4

2^3x· 2⁻²− 2^3x· 2⁻³− 2^3x· 2⁻⁴= 2² 2^3x³1₂²− ₂¹³− ¹₂^4´= 2²

2^3x· ₁₆¹ = 2² 2^3x= 2⁴· 2²

2^3x= 2⁶· ⇔ 3x = 6 ⇔ x=2 Esempio 9 Risolvere

7^x+2· 7^x−3 = 7⁷ Soluzione

7^x+2· 7^x−3 = 7⁷

7^x+2+x−3= 7⁷ ⇔ 2x − 1 = 7 ⇔ x=4 Esempio 10 Risolvere

3^2−8x = 9^3x+1 Soluzione

3^2−8x = 9^3x+1

3^2−8x = 3^2(3x+1) ⇔ 2 − 8x = 6x + 2 ⇔ 14x = 0 ⇔ x=0 Esempio 11 Risolvere

2^2x+ 2^x+1− 3 = 0 Soluzione

2^2x+ 2^x+1− 3 = 0, ponendo 2^x = t

t²+ 2t − 3 = 0 da cui si ricava t = −3 ∨ t = 1 Per la posizione fatta si ricavano le due equazioni 2^x = −3 ∨ 2^x = 1

la prima `e impossibile mentre la seconda d`a come soluzione x=0

Esempio 12 Risolvere (√

2 − 1)^x+ (√

2 + 1)^x = 2√ 2 Soluzione

(√

2 − 1)^x+ (√

2 + 1)^x = 2√

2 moltiplicando ambo i membri per (√

2 − 1)^x (√

2 − 1)^x(√

2 − 1)^x+ (√

2 − 1)^x(√

2 + 1)^x = 2√ 2(√

2 − 1)^x (√

2 − 1)^2x+^³(√

2 − 1)(√

2 + 1)^´x = 2√ 2(√

2 − 1)^x (√

2 − 1)^2x+ 1 = 2√ 2(√

2 − 1)^x (√

2 − 1)^2x− 2√ 2(√

2 − 1)^x+ 1 = 0 ponendo t = (√

2 − 1)^x t²− 2√

2t + 1 = 0

t =√ 2 ∓√

2 − 1 =





t₁ =√ 2 − 1 t₂ =√

2 + 1 da cui per la posizione t = (√

2 − 1)^x

(√

2 − 1)^x =√

2 − 1 ⇔ x=1

(√

2 − 1)^x =√

2 + 1 ⇔ (√

2 − 1)^x = (√

2 + 1)(√ 2 − 1) (√

2 − 1) ⇔ (√

2 − 1)^x = 1 (√

2 − 1) ⇔ x=-1

3 Disequazioni esponenziali

Per disequazione esponenziale si intende una disequazione del tipo a^{f (x)} < b^g(x)

a^{f (x)} > b^g(x) con a e b numeri reali positivi e diversi da 1.

Come per le equazioni esponenziali, non c’`e una regola comune da seguire per la loro soluzione. La prima cosa da fare `e trasformare le potenze dei due membri della disequazione in potenze aventi la stessa base, per poi risolvere la diseguaglianza tra gli esponenti. Bisogna comunque ricordare che

• ∀a ∈ IR : a > 1 a^x> a^y ⇔ x > y

• ∀a ∈ IR : 0 < a < 1 a^x > a^y ⇔ x < y

Esempio 13 3^x > 9 ⇔ 3^x > 3² ⇔ x > 2 quindi la soluzione `e data da x ∈ (2, +∞);

Esempio 14 3^x−1 > 1 ⇔ 3^x−1 > 3⁰ ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 quindi la soluzione `e data da x ∈ (1, +∞);

Esempio 15

µ1 3

¶_x

> 9 ⇔

µ1 3

¶_x

>

µ1 3

¶₋₂

⇔ x < −2 quindi la soluzione `e data da x ∈ (−∞, −2);

Esempio 16

µ1 2

¶_x

< 32 ⇔

µ1 2

¶_x

<

µ1 2

¶₋₅

⇔ x > −5 quindi la soluzione `e data da x ∈ (−5, +∞);

Esempio 17 2^x+1+ 2^x > 48 ⇔ 2^x(2 + 1) > 48 ⇔ 2^x· 3 > 48 ⇔ 2^x >

2⁴ ⇔ x > 4 quindi la soluzione `e data da x ∈ (4, +∞);

Esempio 18 3^x+1+ 3^x < 36 ⇔ 3^x(3 + 1) < 36 ⇔ 3^x· 4 < 36 ⇔ 3^x <

3² ⇔ x < 2 quindi la soluzione `e data da x ∈ (−∞, 2);