Esprimi in forma trigonometrica i numeri complessi (1 + i) e (1 − i) e successivamente i numeri (1 + i)3e (1 − i)5

ESERCIZI DI MATEMATICA

Per chi deve ancora lavorare sui “fondamentali” dei numeri complessi:

1. Scrivi in forma algebrica (a + ib) i seguenti numeri complessi:

(a) z₁=⁵⁺²ⁱ_1−2i (b) z₂=²⁺⁵ⁱ_1−i +²⁻⁵ⁱ_1+i (c) z₃= − ²

1−√ 3i

(d) z₄=(1+2i)·(3−i)¹

(e) z₅=¹⁺²ⁱ

1−2i

2. Scrivi in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:

(a) z₁= 3 + 3i (b) z₂= −1 −√

3i (c) z₃= −⁴₃i (d) z₄= −2

3. Esprimi i coniugati dei seguenti numeri complessi e trovane il modulo:

(a) z₁=p2(1 + i) (b) z₂= (1 − 3i)(1 + 2i) (c) z₃= ¹

(2i+1)²

4. Esprimi in forma trigonometrica i numeri complessi (1 + i) e (1 − i) e successivamente i numeri (1 + i)³e (1 − i)⁵. Deducine l’espressione trigonometrica del numero ⁽¹⁺ⁱ⁾³

(1−i)⁵. 5. Risolvi le seguenti equazioni in campo complesso:

(a) _1+i^2z = −1 (b) z²+ iz^∗= −1 (c) √

5 + 12i = x + iy

Per chi è a posto sui “fondamentali”:

1. Sia z_nuna successione di numeri complessi così definita:

(z₀= 16

z_n+1=¹⁺ⁱ₂ z_n ∀n ∈ N

Sia r_nil modulo di z_n: r_n= |z_n|. Nel piano complesso sia A_nil punto associato al numero complesso z_n. (a) calcola z₁, z₂e z₃e traccia i punti A₁, A₂e A₃sul grafico;

(b) scrivi il numero ¹⁺ⁱ₂ in forma trigonometrica;

(c) dimostra che il triangolo OA₁A2è isoscele e rettangolo in A₁;

(d) dimostra che la successione dei moduli r_nè una progressione geoemtrica di ragione

√ 2 2 ;

(e) sia L_nla lunghezza della poligonale che congiunge A₀con A_npassando per tutti i punti intermedi:

L_n=

n−1 i=0∑

A_iAi+1= A₀A₁+ A₁A₂+ .... + A_n−1A_n

dopo aver dimostrato che A_nA_n+1= r_n+1, esprimi L_nin funzione di n (termine generale);

(f) determine l’eventuale limite della successione L_nal tendere di n a ∞.