Programma del corso di Analisi Matematica 1 CdL Ingegneria Civile e Ambientale - a.a. 2011/2012
- Numeri Reali: Assioma di completezza, retta reale e funzione ascissa. Intervalli.
Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed inferiormente limitato, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore. Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dim). Proprieta' Archimedea (dim). Teorema di densità dei numeri razionali (dim).
Principio di induzione. Identita’ di Gauss (dim), Diseguaglianza di Bernoulli (dim).
Somma delle prime n-potenze.
- Successioni numeriche: limite di successione. Teorema di unicitaʼ del limite (dim).
Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim). Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (dim). Algebra dei limiti finiti (dim.
somma). Successioni divergenti e successioni regolari. Algebra dei limiti infiniti e forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno e conseguenze (dim).
Teorema del confronto tra limiti finiti (dim). Limiti notevoli di seno e coseno (dim).
Successioni monotone. Teorema di regolaritaʼ delle successioni monotone (dim). Il numero di Nepero. Diseguaglianza di Nepero e limiti notevoli coinvolgenti esponenziale e logaritmo. Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti.
Ordine di infinito. Relazione di asintotico e proprietà' elementari.
- Funzioni reali: Dominio, codominio, immagine, controimmagine e grafico.
Operazioni tra funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente. Funzione composta. Funzione iniettiva, suriettiva e bijettiva. Funzione inversa.
Limite di funzioni. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim).
Funzioni limitate e Teorema sul limite di una funzione limitata per una funzione infinitesima. Algebra dei limiti. Teorema sul limite delle funzioni composte (dim).
Funzioni asintotiche e proprietaʼ elementari. Teoremi della permanenza del segno (dim) e del confronto. Estremo superiore ed inferiore, Teorema sul limite di funzioni monotone (dim). Funzioni trascurabili (“o” piccolo) e proprietaʼ elementari. Ordine di infinitesimo.
- Funzioni continue e Teorema di caratterizzazione sequenziale della continuitàʼ.
Continuitaʼ delle funzioni elementari (dim). Continuitaʼ di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue. Teorema sulla continuitaʼ della funzione composta.
Classificazione delle discontinuitaʼ, prolungamento per continuità. Teorema di esistenza degli zeri (dim) e metodo di bisezione. Primo Teorema dei valori intermedi (dim). Secondo Teorema dei valori intermedi (dim). Massimi e minimi, punti di massimo e di minimo e Teorema di Weierstrass. Terzo Teorema dei valori intermedi. Teorema sulla continuità' delle funzioni monotone. Teorema sull'iniettivita' delle funzioni continue (dim). Teorema sulla continuità' della funzione inversa (dim)
- Funzioni derivabili: interpretazione cinematica e geometrica: rette secanti e retta tangente.
Derivabilitaʼ delle funzioni elementari (dim). Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale. Funzioni differenziabili,Teorema del differenziale (dim) e Formula degli incrementi finiti. Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni (dim. di somma e prodotto). Regola di derivazione della funzione composta (dim) e della funzione inversa (dim). Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (dim). Teorema di Rolle (dim), Teorema di Lagrange (dim) e di Cauchy. Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (dim). Criterio di monotonia (dim) e Criterio di monotonia stretta. Risoluzione di equazioni trascendenti. Funzioni convesse su un intervallo aperto. Criterio di convessitaʼ per funzioni derivabili (dim). Derivata seconda e Criterio di convessitaʼ per funzioni derivabili due volte. Teorema di De lʼ Hopital nel caso 0/0 (dim). Condizione sufficiente allʼesistenza della derivata in un punto (dim). Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano. Formula di Taylor delle funzioni elementari.
- Funzioni integrabili: partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore, funzione integrabile secondo Riemann e integrale di Riemann. Criterio di integrabilitaʼ (dim). Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni monotone (dim). Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni continue. Proprietaʼ di additivitaʼ, di linearitaʼ e di monotonia dellʼintegrale. Integrale definito e Funzione integrale. Teorema di continuità della funzione integrale (dim). Teorema della media integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Primitiva di una funzione continua e Teorema di caratterizzazione delle primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale (dim). Integrale indefinito. Integrali immediati.
Integrali riconducibili ad integrali immediati. Proprietaʼ di linearitaʼ dellʼintegrale
indefinito. Regole di integrazione per parti e per sostituzione.Integrale di funzioni razionali. Calcolo di aree e lunghezze.
- Integrali impropri su intervalli limitati: integrali impropri convergenti e divergenti.
Criterio del confronto (dim). Teorema sullʼassoluta convergenza dellʼintegrale (dim). Criterio del confronto asintotico (dim. prima affermazione). Integrali impropri su intervalli illimitati: integrali impropri convergenti e divergenti. Criterio del confronto. Condizione necessaria alla convergenza (dim). Teorema sullʼassoluta convergenza dellʼintegrale. Criterio del confronto asintotico. Studio di funzioni integrali.
- Somme parziali e serie numeriche. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
Serie geometrica e serie armonica generalizzata. Condizione necessaria alla convergenza (dim). Serie a termini non negativi: Criterio del confronto integrale (dim). Criterio del confronto asintotico. Esempi. Criterio del rapporto (dim). Criterio della radice (dim). Teorema sulla convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e Criterio di Leibniz (dim).
- Serie di potenze. Teorema di Abel di convergenza in intervalli (dim). Raggio di convergenza. Teorema sul raggio di convergenza. Metodo del rapporto di D'Alembert (dim) e metodo della radice di Cauchy-Hadamard. Serie derivata e integrata. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze. Teorema di sviluppabilita' in serie di taylor della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor e Teorema di sviluppabilita' in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari(dim).
Dispense del docente disponibili all'indirizzo www.dipmat.univpm.it/~alessio
