Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 1 - Ing. Civile e Ambientale - a.a. 2020/2021
SETTIMANA 1:
Numeri Reali: assiomi algebrici e d’ordine, assioma di completezza. Definizione di radice quadrata di 2. Numeri naturali, interi e razionali. L’insieme dei numeri razionali non verifica l’assioma di completezza. Retta reale, funzione ascissa e valore assoluto. Maggiorante e minorante, insieme superiormente e inferiormente limitato, massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dim). Caratterizzazione di estremo superiore e inferiore. Estremo inferiore e superiore infiniti. Proprietà Archimedea (dim).
SETTIMANA 2:
Definizione di parte intera (dim). Teorema di densità dei numeri razionali. Principio di induzione (dim), somma delle prime n-potenze (dim) e disuguaglianza di Bernoulli (dim).
Numeri Complessi: forma algebrica e forma polare. Somma e prodotto. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Soluzioni di un’equazione algebrica di secondo grado complessa. Esponenziale complesso e forma esponenziale di un numero complesso, formule di Eulero.
Successioni numeriche: limite di successione. Successioni convergenti.
SETTIMANA 3:
Teorema di unicità del limite (dim). Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim). Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (dim). Successioni divergenti e regolari. Limiti di successioni potenza ed esponenziale. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno (dim) e conseguenze. Teorema del confronto tra limiti finiti (dim). Limiti notevoli di seno e coseno (dim).
SETTIMANA 4:
Teorema del confronto tra limiti infiniti. Successioni monotone. Teorema di regolarità delle successioni monotone (dim). Il numero di Nepero e disuguaglianza di Nepero. Limiti notevoli di esponenziale, logaritmo e potenze a esponente reale (dim). Relazione di asintotico e proprietà. Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti (dim). Ordine di infinito.
SETTIMANA 5:
Limite di funzioni reali. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim). Limiti notevoli. Funzioni limitate. Prodotto di una funzione limitata per una infinitesima. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Teorema sul limite delle funzioni composte. Funzioni asintotiche e proprietà elementari. Funzioni trascurabili (“o”
piccolo) e proprietà elementari.
SETTIMANA 6
Ordine di infinitesimo. Teoremi della permanenza del segno (dim) e conseguenze.
Teorema del confronto tra limiti finiti e infiniti. Funzioni monotone. Estremo superiore e inferiore. Teorema sul limite di funzioni monotone (dim).
Funzioni continue, continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle
discontinuità, prolungamento per continuità.Continuità di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue e della funzione composta. Continuità di funzioni definite a tratti. Teorema di esistenza degli zeri (dim) e metodo di bisezione.
Approssimazione di radice di 2.
SETTIMANA 7:
Primo Teorema dei valori intermedi (dim). Secondo Teorema dei valori intermedi (dim). Teorema di Weierstrass eTerzo Teorema dei valori intermedi. Teorema sulla continuità delle funzioni monotone. Funzione inversa. Teorema sulla monotonia delle funzioni iniettive continue e Teorema sulla continuità della funzione inversa (dim).
Limiti notevoli di arcoseno e arcotangente. Funzioni inverse delle funzioni iperboliche.
Funzioni derivabili, interpretazione cinematica e geometrica: rette secanti e retta tangente.
SETTIMANA 8:
Formula degli incrementi finiti. Derivabilità delle funzioni elementari (dim). Derivata destra e sinistra. Continuità delle funzioni derivabili (dim). Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale. Derivabilità di funzioni definite a tratti. Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni (dim. prodotto). Funzioni differenziabili, Teorema del differenziale (dim). Regola di derivazione della funzione composta (dim) e della funzione inversa (dim). Derivate delle funzioni inverse fondamentali. Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (dim). Teoremi di Rolle (dim), Lagrange (dim). Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (dim).
Criterio di monotonia (dim) Criterio di monotonia stretta. Condizione sufficiente per l’esistenza di punti di massimo e di minimo relativo. Risoluzione di equazioni trascendenti. Funzioni convesse su un intervallo aperto.
SETTIMANA 9:
Primo Criterio di convessità per funzioni derivabili (dim). Derivata seconda e Secondo Criterio di convessità per funzioni derivabili due volte. Studi di funzione, asintoti obliqui. Teorema di Cauchy e Teorema di De l’Hopital. Condizione sufficiente all’esistenza della derivata in un punto (dim). Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano. Formula di Taylor delle funzioni elementari e applicazioni per il calcolo dell’ordine di infinitesimo e di limiti.
SETTIMANA 10:
Funzioni integrabili: partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale superiore e inferiore, funzione integrabile secondo Riemann e integrale di Riemann.
Criterio di integrabilità (dim) e Teorema di integrabilità delle funzioni monotone.
Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Proprietà di additività, di linearità e di monotonia dell’integrale. Integrale definito e funzione integrale. Teorema di continuità della funzione integrale (dim), Teorema della media integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Primitiva di una funzione continua e Teorema di caratterizzazione delle primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale (dim). Integrale indefinito. Integrali notevoli e integrali immediati. Proprietà di linearità dell’integrale indefinito. Integrali riconducibili ad integrali immediati.
Integrale di funzioni razionali: decomposizione in fratti semplici (DISPENSA). Regola di integrazione per parti.
SETTIMANA 11:
Regole di integrazione per parti e per sostituzione per l’integrale definito. Calcolo di aree.
Integrali impropri su intervalli limitati: integrali impropri convergenti e divergenti.
Criterio del confronto (dim). Teorema sull’assoluta convergenza dell’integrale.
Condizione sufficiente alla convergenza. Criterio del confronto asintotico. Integrali impropri su intervalli illimitati: integrali impropri convergenti e divergenti. Criterio del confronto. Teorema sull’assoluta convergenza dell’integrale. Condizione necessaria alla convergenza (dim). Criterio del confronto asintotico.
