Caratterizzazione temporale
III.1 Introduzione
Uno scenario urbano tipicamente è caratterizzato dalla presenza di un canale di tipo
multipath. Di conseguenza ad ogni ricevitore giungeranno un certo numero di raggi, numero che dipende dalle caratteristiche dello scenario, dalla posizione del trasmettitore e dalla posizione del ricevitore; ogni raggio compie un determinato percorso, e conseguentemente sarà affetto da un certo ritardo, che dipende dalla lunghezza del percorso. La risposta impulsiva di canale risulterà dispersa nel tempo, causando il fenomeno di selettività in frequenza.
In ricezione si avrà perciò un segnale costituito da tutti gli echi del segnale iniziale, purché questi abbiano una potenza abbastanza rilevante da essere percepita dal ricevitore. E’ quindi importante conoscere il comportamento statistico dei ritardi per maglio progettare un sistema di radiocomunicazioni.
III.2 Dispersione
temporale
ottenuta con il simulatore
Utilizzando il file DELAY_GENERALE.TXT si è in grado di valutare per ciascun ricevitore la risposta impulsiva del canale. Infatti per tutti i raggi è noto il modulo del campo elettrico e il ritardo assoluto, inteso come il tempo impiegato dal raggio a giungere al ricevitore; occorre quindi rendere relativi i ritardi rispetto a quello più breve.
Andiamo quindi a considerare due ricevitori nello scenario di Manhattan e per entrambi si valuta la risposta impulsiva di canale che sarà diversa nei due casi. Essi sono infatti in due posizioni molto diverse: il RX1 è in condizioni di visibilità, LOS,
Line of Sight, mentre il RX2 è in condizioni NLOS, Non Line of Sight.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 X-[m] Y-[m ] BTS RX1 RX2 Scenario Manhattan
Figura III.2.1 – Scenario di Manhattan con due ricevitori
0 50 100 150 200 250 300 350 400 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 ritardo [nsec] P o tenza R ic e v it a [ d B ]
Profilo Temporale di Canale
Figura III.2.2 – Risposta impulsiva di canale per due ricevitori
Istogrammi di questo tipo sono chiamati profili di potenza/ritardo, Power Delay
Profile (PDP), e la dispersione dei ritardi sull’asse delle ascisse descrive il delay spread, inteso in questo caso come differenza tra il ritardo massimo e il ritardo minimo.
Si nota un diverso profilo di canale nei due casi: per il RX1 si osserva un tipico profilo urbano in cui le potenze vanno gradualmente diminuendo con la lunghezza del cammino, per il RX2 questa regola non è rispettata perché siamo in condizioni NLOS, si parla perciò di profilo di canale “cattivo”. [9]
III.3 Analisi
teorica
Per caratterizzare il canale in termini di dispersione temporale, si utilizza un parametro molto importante: l’RMS delay spread , definito come la radice quadrata del momento centrale del secondo del profilo temporale di potenza.
Il momento del primo ordine, cioè il ritardo medio, risulta essere:
2 1 2 1 N l l l N k k a a τ τ = = =
∑
∑
; (3.3.1)dove τl e al sono i ritardi e la potenza di ciascun raggio. Da cui l’RMS delay spread viene definito:
2 2 2 1 2 1 ( ) N l l l RMS N k k a a τ τ 2 τ = τ τ = − =
∑
=∑
− (3.3.2)in cui i vari ritardi relativi sono pesati dal valore della potenza trasportata da ciascun raggio.A volte si può fare riferimento ad un’altra definizione di dispersione temporale, intesa come il massimo ritardo temporale entro cui si ricevono valori di potenza significativi. In particolare si parla di Excess Delay Spread (XdB):
τX :∀ >τk τX ⇒10 log10 ak 2 < X; (3.3.3)
in pratica τX rappresenta quel valore del ritardo massimo a partire dal quale l’ampiezza del profilo scende definitivamente al di sotto di un livello di riferimento pari a X (in dB).
La dispersione temporale causa in frequenza il fenomeno della selettività: se la dispersione temporale è più corta del tempo di simbolo , il canale risulta piatto e gli effetti della propagazione si avranno solo in termini di perdite, di SNR (Signal to Nois
Ratio), si parla di “fading piatto”. Mentre se la dispersione temporale è più grande
S
T
in termini di ISI (Interference Inter Symbol) peggiorando la BER (Bit Error Rate) . In termini di frequenza, per comprendere se si ha fading piatto o meno, si fa riferimento alla banda di coerenza. Essa è definita come la massima distanza frequenziale entro cui le componenti frequenziali hanno una correlazione almeno di 0.5 ( ) o di 0.9 ( ) [10]. La relazione tra banda di coerenza e RMS delay spread è data da: 0.5 c B Bc0.9 0.5 1 ; 5 c RMS B τ = 0.9 1 . 50 c RMS B τ = (3.3.4)
Si afferma quindi che il parametro più importante a cui si fa riferimento è l’RMS
delay spread il quale dà una misura dell’entità della dispersione temporale del profilo di
canale. Esso è inoltre direttamente collegato alla degradazione delle prestazioni causata dall’interferenza intersimbolica derivante dai cammini multipli ed ha un impatto anche sulla complessità del modem. Ovviamente, essendo dipendente dai coefficienti , la dispersione temporale
l
a
RMS
τ risulta anch’essa una variabile aleatoria, la cui distribuzione può essere ricavata sperimentalmente per vari scenari di propagazione. Tipicamente, in letteratura, si trova riportata la Funzione di Distribuzione Cumulativa (CDF) di τRMS:
F x
( )
=Pr{
τRMS ≤x}
. (3.3.5)Altro valore che viene spesso riportato è il valore mediano τMED, valore che viene superato dal 50% dei valori di dispersione ottenuti da tutte le misure effettuate in quel dato ambiente:
(
)
Pr{
}
1 2MED RMS MED
F τ = τ ≤τ = . (3.3.6)
Nella fase di studio e progetto di un collegamento radio si ha infatti interesse a garantire un corretto funzionamento per almeno il 90%, o preferibilmente il 99%, dei possibili canali di un certo ambiente. Si parla di τ90% o di τ99% definiti come segue:
(
)
{
}
(
)
{
}
90% 90% 99% 99% Pr 0.90; Pr 0.99. RMS RMS F F τ τ τ τ τ τ = ≤ = = ≤ = (3.3.7)Tuttavia dalle campagne di misura viene riportato il valore massimo di dispersione temporale relativo al caso peggiore, τMAX; ma questo non porta gravi limitazioni perché spesso il valore di RMS delay spread massimo risulta di poco superiore a τ99% [11].
Figura III.3.1 – Esempio di risposta impulsiva del canale
con alcuni importanti parametri
III.4 Risultati ottenuti con il simulatore
Per ciascun ricevitore si hanno a disposizione tutte le informazioni necessarie per caratterizzare il canale in termini temporali. Si può calcolare l’RMS delay spread e l’Excess delay spread (XdB): l’excess delay spread viene spesso utilizzato perché effettuando delle misure avremo un valore minimo di potenza sotto il quale non siamo in grado di andare, in termini di canale è però più significativo concentrarsi sull’ rms
delay spread che è inversamente legato alla banda di coerenza
0 50 100 150 200 250 300 350 400 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 P o te n z a R ic e v it a [ d B ] ritardo [nsec]
Excess Delay Spread (20dB) RMS Delay Spread Poten z a Ri ce vut a [ d B]
Figura III.4.1 – Profilo di canale LOS
0 50 100 150 200 250 300 350 400 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 P o te n z a R ic e v ita [d B ] ritardo [nsec] RMS Delay Spread
Excess Delay Spread (20dB)
Poten z a Ri ce vut a [ d B]
Figura III.4.2 – Profilo di canale NLOS
Come si osserva dalle figure in condizioni LOS l’Excess Delay Spread a 20dB risulta molto più basso della durata della risposta impulsiva. Infatti essendoci il raggio diretto con potenza molto superiore alle altre componenti, si verificano subito valori inferiori di
20dB alla potenza massima. Invece per un canale NLOS non si verifica una netta
differenza tra la potenza portata dalle diverse componenti, da cui un valore di Excess
Delay Spread molto alto.
Scenario di Manhattan – influenza dell’ordine dei contributi
E’ stato valutato l’RMS delay spread nello scenario di Manhattan per quattro diversi ordini: i contributi di secondo, terzo, quarto e quinto ordine. In tutti i casi τRMS non supera i 200nsec. E’ inoltre evidente che valori di dispersione temporale più alti si hanno per le zone NLOS. Infatti nel calcolo di τRMS i ritardi dei vari raggi vengono pesati con i rispettivi valori di potenza, per cui il raggio diretto avrà un peso maggiore degli altri, riducendo il valore della dispersione temporale.
Aumentando l’ordine dei contributi si ha infatti un numero di raggi superiore per ciascun ricevitore e quindi maggiore precisione nel calcolo della dispersione temporale (fig. III.4.3). Ovviamente di contro aumenta la complessità di calcolo, saranno quindi necessari tempi più lunghi per ottenere i risultati.
In particolare i valori massimi di rms delay spread ottenuti sono 166nsec, 156nsec,
174nsec, 160nsec con i contributi di secondo, terzo, quarto, quinto ordine
rispettivamente; mentre il valore mediano τMED vale 74nsec, 50nsec, 41nsec, 44nsec per i diversi ordini di contributi. Si osserva soprattutto dal valore mediano che grosse differenze nel passaggio da contributi di terzo, quarto, quinto ordine non ci sono, mentre i tempi di calcolo cambiano. Per lo scenario di Manhattan si può perciò ritenere sufficiente fermarsi ai contributi di terzo ordine.
In generale l’ordine scelto dipende molto dal tipo di configurazione che si vuole analizzare. Se sono presenti punti particolarmente oscurati, può essere utile spingersi a ordini più alti.
Figura III.4.3 - RMS delay spread per diverso ordine di contributi - Manhattan
Dalla curva funzione distribuzione, fig. III.4.4, si osserva un brusco passaggio da valori di delay spread inferiori ai 50nsec a valori superiori agli 80nsec. Tale discontinuità si verifica perché essendo uno scenario molto regolare il passaggio da zone LOS a zone NLOS non avviene in maniera graduale ma netta. Aumentando però l’ordine dei contributi la curva sembra addolcirsi e fornire quindi risultati più realistici.
0 50 100 150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CD F Contributi di ordine 2 Contributi di ordine 3 Contributi di ordine 4 Contributi di ordine 5
Figura III.4.4 – Funzione di distribuzione cumulativa - Manhattan
contributi di secondo e quinto ordine
In termini frequenziali ci si riferisce alla banda di coerenza, si ricavano quindi le seguenti mappe colorate (fig.III.4.5). Anche in questo caso è evidente che aumentando l’ordine dei contributi la superficie con valori di banda di coerenza più alta si allarga. Valori più bassi si hanno nelle zone NLOS, nelle quali la banda di coerenza resta mediamente inferiore a 200KHz. Il valore minimo che si ottiene è di 120KHz.
Figura III.4.5 – Banda di coerenza per i diversi contributi - Manahttan
Scenario di Manhattan – due diverse altezze della BTS
Portare la BTS al di sopra degli edifici può portare benefici in termini di hand off e ridurre il numero delle base station [4]. Inoltre alzare l’antenna trasmittente sopra gli edifici provoca un abbassamento del path loss exponent e un calo della dispersione temporale, migliorando perciò le prestazioni in termini di attenuazione e di selettività in frequenza [5]. La recente copertura cellulare considera microcelle con BTS inferiore agli edifici per ridurre l’interferenza intercella. Infatti, a causa dell’aumento della frequenza portante, aumenta l’attenuazione per propagazione, vengono quindi progettate celle di dimensione inferiori ad 1Km, tipicamente di 250m-500m [10].
Per lo scenario di Manhattan sono state considerate due posizioni della BTS: 10m, inferiore agli edifici, e 55m, posta al di sopra del tetto delle case.
Figura III.4.6 – RMS delay spread per due diverse altezza della BTS
Come si osserva dalla figura variando l’altezza della BTS, per i punti in visibilità ottica non si osservano grosse differenze, l’RMS delay spread in entrambi i casi non supera gli 80nsec. Per le zone NLOS invece è evidente che alzando il trasmettitore al di sopra dei tetti degli edifici, aumenta molto la dispersione temporale. Con antenna alta
10m non si superane valori di τRMS =180 secn , mentre a 55m si superano molto i
200nsec di dispersione temporale fino a picchi di 340nsec. Alzando la BTS al di sopra
dei tetti delle case si hanno raggi che si propagano al di sopra degli edifici e raggi che si propagano lungo le strade. La diversa lunghezza di percorsi si ripercuote nell’avere diversi ritardi, da cui maggiore dispersione temporale. Invece se la BTS è posta a 10m i raggi si propagano solo lungo le strade arrivando al ricevitore meno dispersi nel tempo. In genere per microcelle urbane la BTS sta al di sotto dell’altezza media degli edifici. Invece in aree suburbane la base station può trovarsi al di sopra degli edifici.
Nella pratica però il segnale che si propaga lungo le strade è oggetto a fluttuazioni per la presenza di oggetti, veicoli, che aumentano la dispersione temporale del segnale. Perciò è stato verificato che aumentando l’altezza della BTS si verifica un calo del
delay spread. Dalle simulazioni invece portando la BTS a 55m sono presenti onde
diffratte sui tetti che possono pesare significativamente sul calcolo del delay spread
tetti, la dispersione temporale può essere ridotta utilizzando antenne direttive [5].
Dalla curva funzione di distribuzione, fig. III.4.7, si osserva che le due curve coincidono per valori di delay spread inferiori a 80nsec, che sono quelli ottenuti dai ricevitori in visibilità ottica. Mentre per valori superiori agli 80nsec si verifica un distaccamento delle due curve, infatti per i punti no line of sight aumentando l’altezza della base station la dispersione temporale del canale cresce notevolmente.
0 50 100 150 200 250 300 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CDF
Manhattan - h. BTS 10m Manhattan - h. BTS 55m
Figura III.4.7 – Funzione di distribuzione cumulativa del delay spread
per due altezze della BTS
Scenario di Viareggio con tre diverse posizioni della BTS
Nello scenario di Viareggio Piazza – Mazzini, la valutazione dell’rms delay spread appare più difficoltosa: è uno scenario più grande, molto irregolare, in cui sono presenti dei punti in forte oscuramento nei quali arriva o uno o nessun raggio.
Per avere tempi di calcolo adeguati ci siamo fermati a considerare i contributi fino al terzo ordine. Nei punti in cui arriva uno o nessun raggio non siamo in grado di calcolare la dispersione temporale, è stato posto l’rms delay spread nullo e la banda di coerenza è a 1GHz. Per tre diverse posizioni della BTS, si distinguono in blu le zone
raggiunte da nessun raggio, in verde quelle nelle quali arriva un solo raggio, in rosso tutte le altre.
Figura III.4.8 – Numero di raggi per tre diverse posizioni della BTS
di terzo ordine, infatti nella maggior parte dei casi si ha un numero di raggi tale da riuscire a calcolare adeguatamente la dispersione temporale. Si può calcolare che la posizione peggiore di BTS per la quale si ha un maggior numero di ricevitori particolarmente nascosti è di coordinate (100,430,10). In questo caso si ha comunque che nel 94% dei casi siamo in grado di ricevere più di un raggio.
Per le tre posizioni della BTS si possono osservare le mappe dell’rms delay spread e dalla banda di coerenza con la rispettiva finzione di distribuzione cumulativa.
Figura III.4.9 – RMS delay spread - Viareggio BTS(100,430,10)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CDF
Figura III.4.10 – Funzione di distribuzione cumulativa del delay spread –
Viareggio (100,430,10)
Valori più alti di dispersione temporale si hanno in una zona lontana dalla BTS e in condizioni NLOS. Essendo un’area in cui non è presente il raggio diretto, la potenza dei vari raggi sarà all’incirca la stessa, per cui tutti i ritardi dei vari raggi peseranno nel calcolo dell’ rms delay spread, da cui dispersione alta. Valore massimo di dispersione temporale è 740 nsec, da cui il valore minimo di banda di coerenza è di 29KHz. Dalla funzione di distribuzione si ricava τMED =100 secn , τ90% =280 secn , τ99% =560 secn .
Figura III.4.11 – RMS Delay Spread – Viareggio (249,56,10)
Anche in questo caso valori in alti di dispersione temporale si hanno in zone lontane dalla BTS e in condizioni no line of sight.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CDF
Figura III.4.12 – Funzione di distribuzione cumulativa del delay spread –
Viareggio (249,56,10)
Si ottengono valori molto alti di dispersione temporale, il valore massimo è di 980
nsec da cui valori minimi di Bc0.9 =20KHz. Dalla CDF si ricava τMED=120 secn , 90% 440 secn
τ = , τ99% =680 secn .
Analizziamo infine il caso in cui la base station sia posizionata al centro della piazza:
Figura III.4.13 – RMS Delay Spread – Viareggio (300,400,10)
La dispersione temporale massima è sempre lontana dalla BTS e in zone NLOS. In questo caso però la zona con RMS delay spread più alto si ha lungo una strada molto stretta nella quale per l’effetto tunnel ci sano molti raggi con diversi ritardi con uguale potenza.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CDF
Figura III.4.14 – Funzione di distribuzione cumulativa dei valori del delay spread -
Viareggio (300,400,10)
Valore massimo di RMS delay spread è di 820 nsec, da cui valori minimi di banda di coerenza Bc0.9 =23KHz. Si trova ricava inoltre che τMED =158 secn ,
90% 300 secn
τ = , τ99% =560 secn . La banda di coerenza assume in quasi tutta la configurazione valori abbastanza alti, eccetto che in una strada in cui non supera i
50KHz.
Figura III.4.15 – Banda di coerenza – Viareggio (300,400,10)
Scenario di Lucca
Si analizza anche l’andamento della dispersione temporale per lo scenario di Lucca. E’ una configurazione particolare, sono presenti strade molto strette e punti in cui non arriva nessun raggio. Finora valori di dispersione temporale più alti si sono avuti si sono verificati nelle zone più distanti dalla BTS e in condizioni NLOS, in questo caso si hanno valori di dispersione alti anche vicino alla base station. Questo perché a causa delle mura, ho aree vicine all’antenna trasmittente nella quali non è presente il raggio diretto. Si hanno quindi raggi con stesse potenza e diversi ritardi, da cui maggiore dispersione temporale. I risultati riportati considerano i contributi fino al terzo ordine. Si osservano la diverse aree LOS e NLOS nella seguente mappa:
Figura III.4.16 – Distinzione tra zone LOS e NLOS – Lucca
Figura III.4.17 – RMS Delay Spread –Lucca
Nell’area vicina e NLOS si raggiungono valori massimi di dispersione temporale di
300 nsec, da cui banda di coerenza di 66KHz. Valori più alti si hanno però nella zona
lontana e NLOS, dove si raggiunge un RMS delay spread massimo di 519 nsec da cui . Inoltre dalla funzione di distribuzione cumulativa si ricava che 0.9 38 c B = KHz 60 sec MED n τ = , τ90% =200 secn e τ99% =390 secn . 0 100 200 300 400 500 600 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CD
F
Figura III.4.18 – Funzione di distribuzione cumulativa del delay spread – Lucca
Tabella riassuntiva dei risultati:
Median Mean 90% 99% Max
Manhattan h. BTS 10m 44 60 104 135 160 Manhattan h. BTS 55m 88 92 197 247 324 Viareggio (100,430,10) 100 125 280 560 740 Viareggio (249,56,10) 120 168 440 680 980 Viareggio (300,400,10) 150 160 300 560 820 Lucca h. BTS 25m 60 200 390 519
Tabella III.4.1 – Valori di delay spread in nanosecondi per diversi scenari
III.5
Confronto tra valori sperimentali e valori simulati
In letteratura sono presenti molti articoli che descrivono misure delay spread effettuate in diverse aree urbane. Tali misure sono spesso descritte da curve di distribuzione cumulativa di probabilità che possono essere confrontati con i nostri risultati. Si può quindi verificare l’affidabilità dei valori di dispersione temporale forniti dal simulatore. E’ opportuno prima descrivere brevemente le aree in cui sono state effettuate le misure da noi considerate:
• St Louis Country: scenario irregolare, altezza media edifici è di 15m, trasmettitore è a 5.5m con f=1.9GHz, altezza dei ricevitori è 2.5m, distanza dal trasmettitore varia tra i 100m e i 600m [12].
• Area residenziale del New Jersey: scenario regolare, altezza media degli edifici è di 15m, trasmettitore è a 8.2m con f=850MHz, altezza dei ricevitori è 2.5m [12].
• Brooklyn: scenario regolare, trasmettitore è a 6.1m con f=1.9GHz, altezza dei ricevitori è 2.5m [12].
distanza. In particolari valore più bassi si ottengono da scenari regolari, mentre in condizioni irregolari si verifica più dispersione. Questo può essere intuitivamente spigato dal fatto che se si alternano zone di spazi aperti con zone densamente abitate, raggi diversi effettueranno diversi percorsi, risultando quindi dispersi nel tempo.
Per le configurazioni di Lucca, Viareggio, Manhattan si sono considerati i valori medi a distanza fissata. Anche da queste simulazioni si ricava che τRMS tende a crescere con l’aumento della distanza trasmettitore-ricevitore.
distanza dalla BTS 75m 150m 300m 450m 600m
*St. Louis Country h. BTS 5.5m 158nsec 354nsec 566nsec
Lucca h. BTS 25m 150nsec 130nsec 450nsec
*New Jersey h. BTS 8.2m 300nsec 660nsec
Viareggio (100, 430 10) 80nsec 300nsec 320nsec 480nsec
*Brooklyn h. BTS 6.1m 103nsec 194nsec
Manhattan h. BTS 10m 48nsec 151nsec 156nsec
Tabella III.5.1 – Valori di RMS delay spread per varie distanze TX-RX –
valori misurati(*) e simulati
Confrontando i risultati simulati con le misure, si nota una somiglianza maggiore tra i valori di dispersione temprale che si hanno per le cittadine di Brooklyn e Manhattan, essa infatti presentano uno scenario simile, molto regolare, e le posizioni dalla BTS e dei ricevitori sono grossomodo le stesse. Inoltre in tutti i casi indipendentemente dall’altezza del trasmettitore si verifica che aumentando la distanza cresce il delay
spread. Queste deduzioni sperimentali hanno portato allo sviluppo di un modello
statistico, confermato da molte misure, che descrive la dispersione temporale in funzione della distanza.
III.6 Modello
dell’
RMS Delay Spread
Nel modello di attenuazione si afferma che in condizioni LNOS, a distanza fissata, la potenza ricevuta può essere modellata come una variabile aleatoria di tipo lognormale. Ricordando la definizione di RMS delay spread:
2 2 2 2 1 1 raggi raggi N N l l l l l l RMS T T p p P P τ τ τ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∑
∑
(3.6.1)è noto che la potenza totale ricevuta PT a distanza fissata è un variabile lognormale. Inoltre, dato che la potenza di ciascun raggio è causata da una serie di effetti casuali indipendenti tra loro, applicando il teorema del limite centrale è possibile supporre che le potenze p sono variabili lognormali [13]. Mantenendosi la lognormalità attraverso l
sottrazioni e addizioni, la lognormalità si preserva anche per la variabile aleatoria τRMS. Questi risultati teorici sono stati verificati sperimentalmente, dimostrando che l’RMS
delay spread segue una distribuzione lognormale e che il valor medio di questa
distribuzione cresce con la distanza. Il modello è stato sviluppato per ambienti rurali, suburbani, urbani e montuosi. Il modello segue la seguente forma:
τRMS =T0
(
D D0)
εY (3.6.2)dove T0 rappresenta il valore del rms delay spread alla distanza di riferimento
0 10
D = m, ε è il coefficiente di regressione lineare, Y è una variabile aleatoria lognormale [8]. In scala logaritmica diventa:
log10
(
τRMS)
=log10( )
T0 + ⋅ε log10(
D D0)
+log10( )
Y (3.6.3) risulta che l’RMS delay spread è una variabile aleatoria lognormale il cui valor medio cresce con la distanza. Tipicamente ε =0.5 per ambiente urbano, mentre ε =1.0 per aree suburbane [8], [13]. Nelle nostre aree urbane ci si aspetta quindi che la dispersione temporale cresca come la radice della distanza.con la distanza, in particolare in scala logaritmica ci aspettiamo un crescita lineare. Grazie al consistente numero di ricevitori in condizione NLOS ci si concentra sulla configurazione di Viareggio - Piazza Mazzini con BTS di coordinate (100.430,10).
Figura III.6.1 – Modello dell’ RMS delay spread – Viareggio (100,430,10)
Si verifica una evidente crescita dell’RMS delay spread con la distanza, in particolare si ricava che ε =0.33. Per cui dato T0 =40 secn alla distanza di riferimento di 10m, considerando un microcella di raggio 600m, a distanza massima dalla BTS si arriva a valori massimi di dispersione angolare pari a:
0.33 0 40 150 sec RMS D n D τ = ⋅⎛⎜ ⎞⎟ = ⎝ ⎠ (3.6.4)
I valori alti di RMS delay spread si piegano perché attorno alla retta i punti sono molto dispersi, raggiungendo picchi di 740nsec.
Considerando altre configurazioni, per Viareggio con base station di coordinate
(249,56,10) si ottiene ε =0.12
.
Per Manhattan con BTS a 10m di altezza si calcola0.38
ε = , mentre con BTS a 50m si ricava ε =0.73. Questo si spiega perché portando la BTS al di sopra degli edifici, a causa di raggi diffratti sugli spigoli superiori degli edifici, si ricava maggiore dispersione, anche se nella pratica non è così, come precedentemente detto. Per lo scenario di Lucca si verifica una decrescita della dispersione temporale con la distanza, questo però è fisicamente giustificabile, infatti è una cella molto piccola in cui si hanno punti molto vicini NLOS al di sotto delle mura con delay spread alto 300nsec, perciò aumentando la distanza il delay spread cala.
III.6.1 Aleatorietà dei risultati
Secondo il modello dell’RMS dealy spread i valori sono dispersi intorno alla retta di regressione secondo una distribuzione lognormle. Si vuole valutare quanto sono dispersi attorno alla retta di regressione, si determina quindi la deviazione standard. In scala logaritmica possiamo scrivere che:
log10
(
τRMS)
=log10( )
T0 + ⋅ε log10(
D D0)
+ Z (3.6.5) dove Z è una varabile gaussiana con valor medio nullo e varianza σZ.E’ stato considerato lo scenario di Viareggio, fissata la distanza si è valutata la dispersione dei valori attorno al valor medio. Nonostante i pochi valori a disposizione il modello che meglio approssima le nostre curve è una variabile gaussiane. Inoltre variando la distanza, proseguendo a passi di 10m, la deviazione standard resta abbastanza costante pari σZ =0.37 (fig. III.6.4).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 log10(DS) [nsec] dens it à di pr oba bi li tà σ = 0.45
Figura III.6.2 – Densità di probabilità del log10(RMS Delay Spread)
a distanza fissata di 100m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 log10(DS) [nsec] CDF Simulazione Gaussiana
Figura III.6.3 – Funzione di distribuzione cumulativa del log10(RMS Delay Spread)
a distanza fissata di 100m
Figura III.6.4 – Modello dell’RMS delay spread con deviazione standard
I risultati di dispersione di τRMS attorno alla retta possono essere confrontati con misure effettuate in diversi ambienti urbani. Nella seguente tabella sono riportate alcune misure di
RMS dB τ
σ a confronto con i nostri risultati. In particolare un valore tipico misurato in quattro città americane è pari a 3.7dB, valore molto vicino a quello simulato per lo scenario di Viareggio con BTS di coordinate (100,430,10). Interessante è confrontare i risultati dello scenario di Manhattan: dalle simulazioni proseguendo a
passi di 10m si ottiene mediamente 1.5
RMS dB
τ
σ = , proseguendo a passi di 50m si ha
1.7dB, allargando i passi a 100m si ricava deviazione pari a 1.94dB, che è un risultato molto vicino alle misure dalle quali è stato ricavato un valore pari a 2dB.
In generale valori tipici di
RMS dB
τ
σ sono compresi tra 2 e 5 dB [13].
σ (dB) *4 città US 3.7 *Toronto 2 *Denver 2 *Red Bank 2.4 *Manhattan 2 Manhattan 1.9 Viareggio (100.430.10) 3.7 Viareggio (249,56,10) 4 Lucca 2.4
Tabella III.6.1 - Confronto valori di deviazione standard misurati (*) e simulati
Da molte misure effettuate in zone NLOS si è osservato il comportamento dei valori empirici di dispersione temporale possono essere approssimati con una variabile aleatoria di tipo lognormale [6]. Si può verificare che se τRMS è una variabile lognormale a distanza fissata e se la posizione del ricevitore è una variabile uniformemente distribuita su una cella circolare di raggio dMAX, anche l’intera popolazione di tutti i valori del delay spread segue una distribuzione lognormale indipendentemente dalla distanza [12].
Indipendentemente dalla distanza si vuole verificare che anche i nostri risultati seguano una distribuzione lognomrale:
10DZ D
RMS
ε µ
τ = +
, (3.6.6)
dove Z è una variabile normale standard, con valor medio nullo e varianza unitaria,
(
)
{
log10}
D E
µ = τRMS è il valor medio globale di tutti i valori dell’RMS delay spread, e
(
)
{
log10}
D Std
ε = τRMS è la deviazione standard di tutti valori.
Effettuando questa analisi si osserva una forte somiglianza tra la curva di distribuzione ricavata sperimentalmente e la curva di distribuzione lognormale teorica con valor medio µD =1.41 e deviazione εD=0.46.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CD
F
Distribuzione sperimentale Distribuzione log-normale
Figura III.6.5 – Confronto con funzione di distribuzione lognormale –
Viareggio (100,430,10)
Si può osservare anche la curva funzione di distribuzione di Lucca a confronto con la curva teorica. Si calcola che µD=1.57 e εD=0.73.
0 100 200 300 400 500 600 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
RMS delay spread [nsec]
CD
F
Distribuzione sperimentale Distribuzione log-normale
Figura III.6.6 – Confronto con funzione di distribuzione lognormale – Lucca
III.7 Profilo temporale di potenza
Dalla letteratura è noto che la potenza ricevuta in un canale con multipath ha profilo esponenziale nel tempo, ovvero la potenza ricevuta decade esponenzialmente nel tempo. Riprendendo la risposta impulsiva:
0 ( ) ( ) ( ) exp( 2 ) Nraggi n n h t p tδ t τ j π f t = =
∑
− − c (3.7.1)dove f è la frequenza portante e c τn sono i ritardi dei vari percorsi. La potenza nel tempo si comporta nel seguente modo:
( )p t =αexp(−t β); (3.7.2)
La dispersione temporale del canale è descritta da diversi parametri, tra i quali il più importante è l’ RMS delay spread. Intuitivamente infatti valori di τRMS alti corrisponderanno ad un profilo temporale con durata maggiore, e viceversa. In particolare è stato verificato che il decadimento esponenziale di potenza è legato al
delay spread in questo modo:
(
)
( ) exp RMS
p t =α −t τ . (3.7.3)
Più spesso ci si riferisce alla potenza espressa in dB:
( )
10 10 10 log 10 log ( ) dB RMS t P α e τ = − . (3.7.4)Per conoscere un adeguato comportamento della potenza nel tempo sono state effettuate molte misure della risposta impulsiva di canale o power delay profile. Per trarne conclusioni statistiche di queste misure viene spesso effettuata una media, in pratica ciò che viene calcolato è l’ Averaged Power Delay Profile (APDP):
( )
( )
1 1 N i k k i APDP t PDP t N = =∑
(3.7.5) 74Siamo andati a verificare tale comportamento anche con il simulatore. Per valutare l’APDP sono stati considerati tutti i ricevitori e, per ciascun ricevitore , sono stati considerati tutti i raggi. Proseguendo ad intervalli temporali di 10nsec, 20nsec o
100nsec…, sono stati considerati i ritardi dei raggi che cadono nei vari intervalli, con il rispettivo valore di potenza. Effettuando una media, si ha perciò la potenza media ricevuta per ciascun intervallo temporale.
I risultati ottenuti confermano l’andamento esponenziale del profilo e la stretta dipendenza del decadimento con τRMS. In particolare, riferendoci alla potenza in dB, ci si aspetta un decadimento lineare nel tempo.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Profilo Temporale di Potenza Medio
ritardo [nsec] P o te nza R icevut a [ d B ] Simulazione Modello
Figura III.7.1 – APDP - Viareggio (100,430,10)
E’ stato valutato l’APDP considerando tutti i ricevitori dello scenario, ci si aspetta quindi che il profilo decada secondo il valor medio dei valori di delay spread precedentemente calcolati. Si ricava che:
( )
1 exp 200 177 t p t = ⎛⎜− ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (3.7.6) 750 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Pot enza R icev u ta ritardo [nsec]
Profilo Temporale di Potenza Medio
Figura III.7.2 – Profilo di potenza – Viareggio (100,430,10)
Considerando una diversa posizione del trasmettitore:
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Profilo Temporale di Potenza Medio
ritardo [nsec] P o te nza R icevut a [ d B ] Simulazione Modello
Figura III.7.3 – APDP – Viareggio (249,56,10)
In questo caso si ricava che:
( )
exp 260 t p t ∝ ⎛⎜− ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (3.7.7)ed è stato calcolato che il valore medio di dispersione temporale è di 170nsec. Per la configurazione di Lucca:
0 500 1000 1500 2000 2500 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Po te nz a Ri c e vu ta [ d B] ritardo [nsec]
Profilo Temporale di Potenza Medio
Simulazione Modello
Figura III.7.4 – APDP –Lucca
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 10 -3 P o te n z a R ice vu ta ritardo [nsec]
Profilo Temporale di Potenza Medio
Figura III.7.5 – Profilo temporale di potenza – Lucca
confermato dalla teoria. Si verifica infatti che i raggi che impiegano minor tempo ad arrivare al ricevitore sono quelli che trasportano più potenza. Per alcuni canali dello scenario di Lucca si ha che raggi che impiegano minor tempo sono in realtà molto attenuati, si hanno infatti raggi diffratti sugli spigoli orizzontali delle mura: impiegano minor tempo ma trasportano poca potenza. Questo aspetto è confermato dall’APDP di Lucca.
III.8 Potenza
vs
RMS Delay Spread
E’ stato verificato che la potenza ricevuta diminuisce con la distanza e che la dispersione temporale aumenta con la distanza. E’ quindi interessante andare a verificare la relazione che c’è tre potenza e RMS delay spread. Ad una distanza fissata la potenza ricevuta tende a calare se siamo in condizioni di oscuramento. D’altra parte il profilo temporale di potenza risulta uniformemente distribuito nel tempo perché tutte le componenti avranno un basso valore di potenza. Si verifica quindi un aumento della dispersione temporale. Viceversa è confermato dal modello statistico dell’APDP che valori di delay spread alti coincidono a profili temporali di potenza più lunghi e con minore potenza. In fase di progetto è importante considerare che un peggioramento della dispersione temporale è spesso accompagnato da un aumento dell’attenuazione che riduce notevolmente l’SNR. In letteratura sono presenti molti articoli che confermano la correlazione negativa tra potenza ricevuta e RSM delay spread [13], [6]. . Si vuole verificare tale comportamento anche con il simulatore elettromagnetico. Siamo quindi andati a tracciare le coppie di punti
(
log ( ), log (10 P 10τRMS))
, facendo un fitting di questi valor ci si aspetta una retta decrescente. Si ottiene giustamente un correlazione negativa tra le due variabili aleatorie gaussiane, in particolare per lo scenario di Viareggio con BTS di coordinate (100,430,10) si ricava coefficiente di correlazione ρ= −0.0952. In letteratura si trovano valori di correlazione0.4, 0.5, 0.7
ρ = − − − , ad esempio nella città di Aarhus è stato calcolato ρ = −0.38 [6].
Per lo scenario di Viareggio, non si verifica un chiara correlazione negativa tra potenza e dispersione temporale, però giustamente il coefficiente di correlazione è negativo.
Figura III.8.1 – Retta di regressione tra la potenza ricevuta e l’RMS dealy spread –
Viareggio (100,430,10)
Per la configurazione di Manhattan si ottengono valori più vicini alle misure. Per BTS alta 10m si ricava ρ= −0.78, mentre per BTS posta a 55m di altezza si ha
0.85
ρ= − . Tali risultati sono direttamente paragonabili a un tipico valore proposto da Greenstein considerando diverse misure: ρ= −0.75 [13].
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 log1 0( P ) log10(DS)
Figura III.8.2 – Retta di regressione tra la potenza ricevuta e l’RMS dealy spread -
Manhattan h. BTS 55m
